2018届二轮复习函数与方程学案（全国通用）

2018届二轮复习函数与方程学案（全国通用）

‎ 2.8　函数与方程 考情考向分析　利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．‎ ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ ‎3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 知识拓展 有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)‎ ‎(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　×　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)‎ ‎(5)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．‎ ‎4．[P97习题T8]已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－2,0)‎ 解析　结合二次函数f(x)＝x2＋x＋a的图象知 故所以－20)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．‎ 答案　x21时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，‎ 又因为x>1，所以此时方程无解．‎ 综上函数f(x)只有1个零点．‎ 题型一　函数零点所在区间的判定 ‎1．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)(其中n∈N)，则n＝________.‎ 答案　1‎ 解析　令g(x)＝x3－22－x，易知g(x)为单调增函数．‎ 又g(1)<0，g(2)>0，‎ 易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．故n＝1.‎ ‎2．若a0，‎ f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，‎ 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．‎ ‎3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是________．‎ ‎①(0,1)；②(1,2)；③(2,4)；④(4，＋∞)．‎ 答案　③‎ 解析　因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)‎ 的零点所在区间为(2,4)．‎ 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 ‎(1)利用函数零点存在性定理．(2)数形结合法．‎ 题型二　函数零点个数的判断 典例 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．‎ 答案　2‎ 解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数是2.‎ ‎(2)(2015·江苏)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．‎ 答案　4‎ 解析　令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝‎ 当10，即a2－10a＋9>0，‎ 解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴09.‎ 引申探究 本例中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如图所示．‎ 当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，‎ 由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，00)，‎ 则a＝－＝－ ‎＝2－，其中t＋1>1，‎ 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，‎ 当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.‎ 答案　(1)(－1,0)　(2)(－∞，2－2]‎ ‎1．已知函数f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点共有________个．‎ 答案　1‎ 解析　由f(x)＝0，得2x＝3－x，作出函数y＝2x与y＝3－x的图象，得1个交点，即f(x)只有1个零点．‎ ‎2．关于x的方程lg x＝3－x的唯一解在区间(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝________.‎ 答案　2‎ 解析　分别画出函数y＝lg x和y＝3－x的图象(图略)．‎ 记f(x)＝lg x＋x－3，则f(x)单调递增．‎ 可证f(2)f(3)<0.故k＝2.‎ ‎3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(0,3)‎ 解析　因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得00时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．‎ ‎5．(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是________．‎ 答案　(0,1]∪[3，＋∞)‎ 解析　在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．‎ 分两种情形：‎ ‎(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．‎ ‎(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．‎ 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．‎ ‎6．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．‎ ‎7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________________．‎ 答案　 解析　∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3，‎ ‎∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，‎ 由根与系数的关系知 ‎∴ ‎∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，‎ 即－(4x2＋2x－6)>0，即2x2＋x－3<0，‎ 解集为.‎ ‎8．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ 解析　令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．‎ ‎9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．‎ 答案　3‎ 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数，‎ 所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，‎ 因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．‎ 根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，‎ 从而函数f(x)在R上的零点个数为3.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．‎ 答案　－ 解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.‎ ‎11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．‎ 解　显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，‎ 当00)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)当01，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，‎ 则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．‎ 因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，‎ 所以A，B两点关于直线y＝x对称．‎ 又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，‎ 所以m＋n＝4.‎ 又m>0，n>0，‎ 所以＋＝· ‎＝≥＝1.‎ 当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．‎ 所以＋的最小值为1.‎ ‎16．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ ‎(1)求g(f(1))的值；‎ ‎(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，‎ 即所求a的取值范围是.‎