中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一元二次方程及其应用

中考数学 教材知识梳理 方程组与不等式组时 一元二次方程及其应用

河北 6 年中考真题 河北中考考点梳理 河北中考题型突破 第二单元 方程（组）与 不等式（组） 第 9 课时 一元二次方程及其应用 河北中考考点梳理 温馨提示：点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 考点 2 考点 3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的应用 考点 1 一元二次方程及其解法 河北中考题型突破 温馨提示：点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 题组二 题组三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的应用 题组一 一元二次方程的解法 【导学号： 79700044 】 (2016 ， T 14 ， 2 分 ) 已知 a ， b ， c 为常数，且 ( a － c ) 2 ＞ a 2 ＋ c 2 ，则关于 x 的方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根的情况是 ( ) A ．有两个相等的实数根　 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为 0 河北 6 年中考真题 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 B ( 一 ) 河北 6 年中考真题 化简 ( a － c ) 2 ＞ a 2 ＋ c 2 ，得 ac ＜ 0.∴ 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根的判别式＝ b 2 － 4 ac ＞ 0 ， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． ( 一 ) 河北 6 年中考真题 2. 【导学号： 79700045 】 (2015 ， T 12 ， 2 分 ) 若关于 x 的 方程 x 2 ＋ 2 x ＋ a ＝ 0 不存在实数根，则 a 的取值范围 是 ( ) A ． a ＜ 1 　 B ． a ＞ 1 C ． a ≤1 D ． a ≥1 3. 【导学号： 79700046 】 (2012 ， T 8 ， 3 分 ) 用配方法解 方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 1 ＝ 0 ，配方后的方程是 ( ) A ． ( x ＋ 2) 2 ＝ 3 B ． ( x － 2) 2 ＝ 3 C ． ( x － 2) 2 ＝ 5 D ． ( x ＋ 2) 2 ＝ 5 B A ( 一 ) 河北 6 年中考真题 4. 【导学号： 79700047 】 (2014 ， T 21 ， 10 分 ) 嘉淇同学 用配方法推导一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 的 求根公式时，对于 b 2 － 4 ac ＞ 0 的情况，她是这样做 的： 由于 a ≠0 ，方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 变形为： x 2 ＋ x ＝－ ， ………… 第一步 x 2 ＋ x ＋ ＝ ， ………… 第二步 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 ， ………… 第三步 ( b 2 － 4 ac ＞ 0) ， ………… 第四步 .………… 第五步 (1) 嘉淇的解法从第 _____ 步开始出现错误；事实上， 当 b 2 － 4 ac ＞ 0 时，方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 的求根 公式是 ____________________ ； 四 (2) 用配方法解方程： x 2 － 2 x － 24 ＝ 0. 解： (2) x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 25 ， ( x － 1) 2 ＝ 5 2 ， x － 1 ＝ ±5 ， x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝－ 4. 返回 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 1. 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是 ____ 的整式方程叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( 其中 a ， b ， c 为常数， a ≠0) ，其中 ax 2 ， bx ， c 分别叫做二次项、一次项和 常数项， a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数． 考点 1 一元 二 次方程及其解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 2 3 ．一元二次方程必备的三个条件： (1) 必须是 ______ 方程； (2) 必须只含有 ______ 未知数； (3) 所含未知数的最高次数是 ______ ． ( 二 ) 河北中考考点梳理 整式 一个 2 4 ．一元二次方程的四种解法 ( 二 ) 河北中考考点梳理 解法 适用题型 方法或步骤 配方法 所有有实根的一元二次方程 1. 将二次项 系数 ___ ____ _ ； 2 . 移项 ，使方程左边只含有二次项和一 次 项 ，右边 为 ___ ____ _ _ ； 3 . 方程 两边都加上一次项系数一半的平方； 4 . 原 方程 变为 __________________ ； 5 . 直接 开平方，得两个一元一次方程； 6 . 解 这两个一元一次方程，得原方程的 两 个 根 化为 1 常数项 ( x ± m ) 2 ＝ n ( n ≥0) 续表 ( 二 ) 河北中考考点梳理 解法 适用题型 方法或步骤 直接开 平方法 x 2 ＝ m ( m ≥0) 或 ( x ± m ) 2 ＝ n ( n ≥0) 1. 观察方程是否符合 x 2 ＝ m ( m ≥0) 或 ( x ± m ) 2 ＝ n ( n ≥0) 的形式； 2. 直接 开平方，得两个一元一次方程； 3. 解 这两个一元一次方程，得原 方程 的 两个根 公式法 所有有实根的一元二次方程 1. 把方程化为一般形式； 2. 确定 a ， b ， c 的值； 3. 求 出 b 2 － 4 ac 的值； 4. 将 a ， b ， c 的值代入 x ＝ ___ _______ _ 续表 ( 二 ) 河北中考考点梳理 返回 解法 适用题型 方法或步骤 因式 分解法 左边能分解因式，右边为 0 的一元二次方程 1. 将方程右边化为 0 ； 2. 将 方程左边进行因式分解； 3 . 令 每个 因式 ___ _____ ， 得两 个 一元一次方程 ； 4 . 解 这两个一元一次方程，得 原 方程 的两个根 等于 0 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠0) 的根的判别 式为 b 2 － 4 ac . (1) 当 b 2 － 4 ac ____0 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 当 b 2 － 4 ac ____0 时，方程有两个相等的实数根； (3) 当 b 2 － 4 ac ____0 时，方程无实数根． 考点 2 一元二次方程根的判别式 ( 二 ) 河北中考考点梳理 ＞ ＝ ＜ 返回 1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 ( 组 ) 解应用题的步骤一样，共分审、设、列、解、 验、答六步． 2. 列一元二次方程解应用题时，经济类和面积类问题 是常考内容： (1) 增长率等量关系： A ．增长率＝ ×100% ； 考点 3 一元二 次方程的应用 ( 二 ) 河北中考考点梳理 B . a 为基础量，当 m 为平均增长率， n 为增长次数， b 为 增长后的量时， a (1 ＋ m ) n ＝ b ；当 m 为平均下降率， n 下降次数， b 为下降后的量时， a (1 － m ) n ＝ b . (2) 面积类问题中的常见图形 ( 如图 ① ) ： 平移转化法：设阴影部分的宽为 x ，通过平移可将图 ① 转化为图 ② ，由图 ② 易知空白部分的面积 为 ( a － x )( b － x ) ． ( 二 ) 河北中考考点梳理 返回 题组一 一元 二 次方程的解法 1. ( 2016 河北预测 ) 方程 ( x － 1) 2 ＝ 2 的根是 ( ) A ．－ 1 ， 3 　　　　　　 B ． 1 ，－ 3 C ． 1 － ， 1 ＋ D. － 1 ， ＋ 1 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 2. ( 2016 邢台模拟 ) 解方程： x 2 － 3 x － 2 ＝ 0. 解： ∵ a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， c ＝－ 2 ， ∴ b 2 － 4 ac ＝ ( － 3) 2 － 4×1×( － 2) ＝ 17 ， ∴ ∴ ( 三 ) 河北中考题型突破 3. ( 2015 兰州 ) 解方程： x 2 － 1 ＝ 2( x ＋ 1) ． ( 三 ) 河北中考题型突破 解法二： 因式分解法： x 2 － 1 ＝ 2 x ＋ 2 ， x 2 － 2 x － 3 ＝ 0 ， ( x － 3)( x ＋ 1) ＝ 0 ， x 1 ＝ 3 ， x 2 ＝－ 1. 解法一： 配方法： x 2 － 1 ＝ 2 x ＋ 2 ， x 2 － 2 x ＝ 3 ， x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 4 ， ( x － 1) 2 ＝ 4 ， x － 1 ＝ ±2 ， x 1 ＝ 3 ， x 2 ＝－ 1. 一元二次方程的解法主要有： (1) 直接开平方法； (2) 配方法； (3) 公式法： x ＝ ； (4) 因式分解法．解一元二次方程的关键是根据方程 的特点选择合适的方法，一般情况下优先考虑因 式分解法． 返回 方法点拨 ( 三 ) 河北中考题型突破 1. ( 2016 邯郸二模 ) 下列一元二次方程中有两个不相等 的实数根的是 ( ) A ． ( x － 1) 2 ＝ 0 B ． x 2 ＋ 2 x － 19 ＝ 0 C ． x 2 ＋ 4 ＝ 0 D ． x 2 ＋ x ＋ 1 ＝ 0 题组二 一 元 二 次方程 根 的 判别式 ( 三 ) 河北中考题型突破 B 2. ( 2016 泰安 ) 一元二次方程 ( x ＋ 1) 2 － 2( x － 1) 2 ＝ 7 的根 的情况是 ( ) A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根 ( 三 ) 河北中考题型突破 C 原方程化为一般形式得 x 2 － 6 x ＋ 8 ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ 4 ；也可由 Δ ＝ 4 ＞ 0 进行判断． 3. ( 2016 沧州一模 ) 若关于 x 的一元二次方程 ( k － 1) x 2 ＋ 2 x － 2 ＝ 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A ． k ＞ B ． k ≥ C ． k ＞ 且 k ≠1 D ． k ≥ 且 k ≠1 ( 三 ) 河北中考题型突破 D 4. ( 2016 成都 ) 已知关于 x 的方程 3 x 2 ＋ 2 x － m ＝ 0 没有 实数根，求实数 m 的取值范围． 解： ∵ 原方程为一元二次方程，一元二次方程无 实数根， ∴ Δ ＝ 2 2 － 4×3·( － m ) ＜ 0 ， 解得 m ＜－ . ( 三 ) 河北中考题型突破 方法点拨 利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情 况，也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的 取值情况；判别根的情况时必须先将方程化为一般 形式． ( 三 ) 河北中考题型突破 返回 1.( 2016 河北考试说明 ) 某中学准备建一个面积为 375 m 2 的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短 10 m ．设游泳 池的长为 x ( 单位： m ) ，则可列方程为 ( ) A ． x ( x － 10) ＝ 375 B ． x ( x ＋ 10) ＝ 375 C ． 2 x (2 x － 10) ＝ 375 D ． 2 x (2 x ＋ 10) ＝ 375 题组三 一元二次方程的应用 ( 三 ) 河北中考题型突破 A 2. ( 2016 台州 ) 有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场， 每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的 是 ( ) A. x ( x － 1) ＝ 45 B. x ( x ＋ 1) ＝ 45 C ． x ( x － 1) ＝ 45 D ． x ( x ＋ 1) ＝ 45 ( 三 ) 河北中考题型突破 A 每两队之间比赛一场，为单循环赛，所以选 A. 若分主客场，每两队之间比赛两场，则为 C. 3. ( 2016 石家庄模拟 ) 某商店准备进一批季节性小家电， 单价为 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可 售出 180 个．定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个； 定价每减少 1 元，销售量净增加 10 个．因受库存的影 响，每批次进货个数不得超过 180 个，商店若准备获 利 2 000 元，则应进货多少个？销售定价为多少元？ ( 三 ) 河北中考题型突破 解： 设销售定价为 x 元，则进货 180 － 10( x － 52) ＝ 180 － 10 x ＋ 520 ＝ 700 － 10 x ( 个 ) ，所以 ( x － 40)(700 － 10 x ) ＝ 2 000 ，解得 x 1 ＝ 50 ， x 2 ＝ 60. ∵ 每批次进货个数不得超过 180 个， ∴ 700 － 10 x ≤180 ， 解得 x ≥52 ， ∴ x ＝ 60. 当 x ＝ 60 时， 700 － 10 x ＝ 700 － 10×60 ＝ 100( 个 ) ． 答： 商店若准备获利 2 000 元，则应进货 100 个，销售 定价为 60 元． ( 三 ) 河北中考题型突破 4. ( 2015 广州 ) 某地区 2013 年投入教育经费 2 500 万元， 2015 年投入教育经费 3 025 万元． (1) 求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平 均增长率； (2) 根据 (1) 所得的年平均增长率，预计 2016 年该地 区将投入教育经费多少万元． ( 三 ) 河北中考题型突破 解： (1) 设 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平 均增长率为 x ， 由题意得 2 500(1 ＋ x ) 2 ＝ 3 025 ， 解得 x 1 ＝ 0.1 ， x 2 ＝ － 2.1( 舍去 ) ． 所以，年平均增长率为 0.1 ＝ 10%. 答： 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均 增长率为 10%. (2) 由题意得 2 500×(1 ＋ 10%) 3 ＝ 3 327.5( 万元 ) ． 答： 预计 2016 年该地区将投入教育经费 3 327.5 万元． ( 三 ) 河北中考题型突破 方法点拨 一元二次方程的根通常有两个，在解实际问题 时，有时要根据具体情况进行取舍，通常舍掉负值 的那个根． ( 三 ) 河北中考题型突破