【数学】2018届一轮复习北师大版(理)排列与组合教案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习北师大版(理)排列与组合教案

‎1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用A表示.‎ ‎(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C表示.‎ ‎3.排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)‎ ‎= ‎(2)C== ‎= 性质 ‎(1)0!=1;A=n!‎ ‎(2)C=C;C=C+C__‎ ‎                   ‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × )‎ ‎(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )‎ ‎(4)(n+1)!-n!=n·n!.( √ )‎ ‎(5)A=nA.( √ )‎ ‎(6)kC=nC.( √ )‎ ‎1.(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.48‎ C.60 D.72‎ 答案 D 解析 由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况,再将剩下的4个数字排列得到A种情况,则满足条件的五位数有C·A=72(个).故选D.‎ ‎2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ 答案 D 解析 “插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A=4×3×2=24.‎ ‎3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数,其中偶数的个数为(  )‎ A.8 B.24 C.48 D.120‎ 答案 C 解析 末位数字排法有A种,其他位置排法有A种,‎ 共有AA=48(种).‎ ‎4.某高三毕业班有40人,同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)‎ 答案 1 560‎ 解析 依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1 560(条)留言.‎ ‎5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有________种.‎ 答案 14‎ 解析 分两类:①有1名女生:CC=8.‎ ‎②有2名女生:CC=6.‎ ‎∴不同的选派方案有8+6=14(种).‎ 题型一 排列问题 例1 (1)3名男生,4名女生,选其中5人排成一排,则有________种不同的排法.‎ ‎(2)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.‎ 答案 (1)2 520 (2)216‎ 解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A=2 520(种)排法.‎ ‎(2)当最左端排甲时,不同的排法共有A种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A+CA=120+96=216(种).‎ 引申探究 ‎1.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排,前排3人,后排4人”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ 解 前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A=5 040(种)排法.‎ ‎2.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男、女各站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ 解 相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法;女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法.根据乘法原理,共有A·A·A=288(种)排法. ‎ ‎3.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男生不能站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ 解 不相邻问题(插空法):先安排女生共有A种排法,男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法,故共有A·A=1 440(种)排法.‎ ‎4.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,甲不站排头也不站排尾”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ 解 先安排甲,从除去排头和排尾的5个位置中安排甲,有A=5(种)排法;再安排其他人,有A=720(种)排法.所以共有A·A=3 600(种)排法.‎ 思维升华 排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. ‎ ‎ 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.‎ 求:(1)有多少个含2,3,但它们不相邻的五位数?‎ ‎(2)有多少个含数字1,2,3,且必须按由大到小顺序排列的六位数?‎ 解 (1)先不考虑0是否在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A个,2,3去排四个空档,有A个,即有AA个;而0在首位时,有AA个,即有AA-AA=252(个)含有2,3,但它们不相邻的五位数.‎ ‎(2)在六个位置先排0,4,5,先不考虑0是否在首位,则有A个,去掉0在首位,即有A-A个,0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位,1,2,3必须由大到小进入相应位置,并不能自由排列,所以有A-A=100(个)六位数.‎ 题型二 组合问题 例2 (1)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法的种数是(  )‎ A.60 B.63‎ C.65 D.66‎ ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动,A,B,C三人必须入选,则有________种不同选法.‎ 答案 (1)D (2)36‎ 解析 (1)因为1,2,3,…,9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数,故有C+C+CC=66(种)不同的取法.‎ ‎(2)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,即有C=36(种)不同的选法.‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人都不能入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ 解 由A,B,C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有C=C=126(种)不同的选法.‎ ‎2.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人只有一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ 解 可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C种选法,再从余下的9人中选4人,有C种选法,所以共有C×C=378(种)不同的选法.‎ ‎3.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人至少一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ 解 可考虑间接法,从12人中选5人共有C种,再减去A,B,C三人都不入选的情况C 种,共有C-C=666(种)不同的选法.‎ 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.‎ ‎ 某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ 解 (1)从余下的34种商品中,‎ 选取2种有C=561(种),‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5 984(种).‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有CC=2 100(种).‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2件假货有CC种,选取3件假货有C种,共有选取方式CC+C=2 100+455=2 555(种).‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C,因此共有选取方式 C-C=6 545-455=6 090(种).‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ 题型三 排列与组合问题的综合应用 命题点1 相邻问题 例3 (2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(  )‎ A.3×3! B.3×(3!)3‎ C.(3!)4 D.9!‎ 答案 C 解析 把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家,所以有(3!)4种坐法.‎ 命题点2 相间问题 例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是________.‎ 答案 120‎ 解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”,“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有ACA=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有AA=48(种)安排方法.根据加法原理,共有36+36+48=120(种)安排方法.‎ 命题点3 特殊元素(位置)问题 例5 (2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有________个.‎ 答案 51‎ 解析 分三类:第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有A=6(个);‎ 第二类,只有2或3其中的一个,需从1,4,5中选两个数字组成三位数,有2CA=36(个);‎ 第三类,2,3均有,再从1,4,5中选一个,因为2需排在3的前面,所以可组成CA=9(个).‎ 根据加法原理,这样的三位数共有51个.‎ 思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下,将几个相关元素视为一个元素来考虑,待整个问题排好之后,再考虑它们“内部”的排列.‎ ‎(2)相间问题插空法.先把一般元素排好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中,它与捆绑法有同等作用.‎ ‎(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置,然后再排列其他一般元素或位置.‎ ‎(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类,而每一类的排列数较易求出,然后根据分类加法计数原理求出排列总数.‎ ‎ (1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(  )‎ A.150 B.180‎ C.200 D.280‎ ‎(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有(  )‎ A.150种 B.114种 C.100种 D.72种 答案 (1)A (2)C 解析 (1)分两类:一类,3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1,则有·A=90(种)分派方法;另一类,3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3,则有C·A=60(种)分派方法,所以不同分派方法种数为90+60=150,故选A.‎ ‎(2)先将五人分成三组,因为要求每组至少一人,所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1,所以共有+=25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大,所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有25×4=100(种).‎ ‎14.排列、组合问题 典例 有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有________种.‎ 错解展示 解析 先从一等品中取1个,有C种取法;再从余下的19个零件中任取2个,有C种不同取法,共有C×C=2 736(种)不同取法.‎ 答案 2 736‎ 现场纠错 解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等品”,根据加法原理,‎ 有CC+CC+C=1 136(种).‎ 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接法:C-C=1 136(种).‎ 答案 1 136‎ 纠错心得 (1)解排列、组合问题的基本原则:特殊优先,先分组再分解,先取后排;较复杂问题可采用间接法,转化为求它的对立事件.‎ ‎(2)解题时要细心、周全,做到不重不漏.‎ ‎                   ‎ ‎1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为(  )‎ A.48 B.36 C.24 D.12‎ 答案 C 解析 (捆绑法)爸爸排法有A种,两个小孩排在一起故看成一体,有A种排法,妈妈和孩子共有A种排法,‎ ‎∴排法种数共有AAA=24(种).故选C.‎ ‎2.(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(  )‎ A.16 B.18 C.24 D.32‎ 答案 C 解析 将四个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在三个车位上任意排列,有A=6(种)排法,再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6=24(种)方法.‎ ‎3.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有(  )‎ A.34种 B.48种 C.96种 D.144种 答案 C 解析 程序A有A=2(种)结果,将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA=48(种),‎ 根据乘法原理,实验编排共有2×48=96(种)方法.‎ ‎4.将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有(  )‎ A.12种 B.20种 C.40种 D.60种 答案 C 解析 (消序法)五个元素没有限制全排列为A,‎ 由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),‎ 故除以这三个元素的全排列A,‎ 可得×2=40(种).‎ ‎5.(2017·长沙质检)某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为(  )‎ A.AC B.AC C.AA D.2A 答案 B 解析 方法一 将4人平均分成两组有C种方法,将此两组分配到6个班级中的2个班有A种.‎ 所以不同的安排方法有CA种.‎ 方法二 先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法,然后安排学生有CC种,故CC=AC种.‎ ‎6.(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(  )‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 答案 C 解析 正方体中共有12条面对角线,任取两条作为一对共有C=66(对),12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角.相对两面上的4条对角线组成的C=6(对)组合中,平行有2对,垂直有4对,所以所有的平行和垂直共有3C=18(对).所以成60°角的有C-3C=66-18=48(对).‎ ‎7.(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有________种.(用数字作答)‎ 答案 54‎ 解析 第一类,把甲、乙看作一个复合元素,另外3人分成两组,再分配到3个小组中,有CA=18(种);第二类,先把另外的3人分配到3个小组,再把甲、乙分配到其中2个小组,有AA=36(种).根据加法原理,共有36+18=54(种)不同的带队方案.‎ ‎8.(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答)‎ 答案 60‎ 解析 分两类:第一类:3张中奖奖券分给3个人,共A种分法;‎ 第二类:3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人,共有CA种分法.‎ 总获奖情况共有A+CA=60(种).‎ ‎9.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.‎ 答案 36‎ 解析 先考虑产品A与B相邻,把A,B作为一个元素有A种方法,而A,B可交换位置,所以有2A=48(种)摆法,又当A,B相邻且又满足A,C相邻,有2A=12(种)摆法,故满足条件的摆法有48-12=36(种).‎ ‎10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有________种.‎ 答案 11‎ 解析 把g、o、o、d 4个字母排一列,可分两步进行,第一步:排g和d,共有A种排法;第二步:排两个o,共一种排法.所以总的排法种数为A=12,其中正确的有一种,所以错误的共有A-1=12-1=11(种).‎ ‎11.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.(用数字作答)‎ 答案 480‎ 解析 从左往右看,若C排在第1位,共有A=120(种)排法;若C排在第2位,A和B有C右边的4个位置可以选,共有A·A=72(种)排法;若C排在第3位,则A,B可排C的左侧或右侧,共有A·A+A·A=48(种)排法;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有2×(120+72+48)=480(种)排法.‎ ‎12.2016年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定:凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”,“8685”为“金猴卡”,求这组号码中“金猴卡”的张数.‎ 解 ①当后四位数恰有2个6时,“金猴卡”共有C×9×9=486(张);‎ ‎②当后四位数恰有2个8时,“金猴卡”也共有C×9×9=486(张).‎ 但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况,所以要减掉C=6,即“金猴卡”共有486×2-6=966(张).‎ ‎13.有9名学生,其中2名会下象棋但不会下围棋,3名会下围棋但不会下象棋,4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生,一名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法?‎ 解 设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3‎ 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类:‎ 第一类:A中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为C·C=6(种);‎ 第二类:C中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为C·C=12(种);‎ 第三类:C中选1人参加围棋比赛,A中选1人参加象棋比赛,方法数为C·C=8(种);‎ 第四类:C中选2人分别参加两项比赛,方法数为A=12(种).‎ 根据加法原理,不同的选派方法共有 ‎6+12+8+12=38(种).‎ ‎14.(2017·洛阳预测)设三位数n=,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有多少个?‎ 解 a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0,即a,b,c∈{1,2,3,…,9}.①若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为n1,由于三位数中三个数字都相同,所以n1=C=9;②若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为n2,由于三位数中只有2个不同数字,设为a,b,注意到三角形腰与底可以互换,所以可取的数组(a,b)共有2C组,但当大数为底时,设a>b,必须满足b
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