2020届二轮复习二项分布与正态分布教案（全国通用）

2020届二轮复习二项分布与正态分布教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 二项分布与正态分布 教案（全国通用）‎ 类型一、条件概率 ‎【例1】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？‎ ‎【思路点拨】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则从1号箱中取出一球放入2号箱，可能是红球，也可能是白球，分别计算概率，再利用条件概率公式即可得到结论。‎ ‎【解析】事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球。‎ 则,,‎ ‎,‎ 从而 ‎【总结升华】本题以摸球为素材，考查条件概率，考查独立事件的概率，解题的关键是分清从1号箱中取出一球放入2号箱的球，是红球，还是白球。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：‎ ‎① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率. ‎ ‎【答案】记事件A={甲下雨}，事件B={乙下雨}.‎ ‎ 按题意有，，.‎ ‎①乙市下雨时甲市也下雨的概率为：. ‎ ‎②甲乙两市至少一市下雨的概率为：.‎ ‎【例2】在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：‎ ‎ (1)第1次抽到理科题的概率；‎ ‎ (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；‎ ‎ (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．‎ ‎【思路点拨】前两问利用古典概型解题步骤求解，第3问有不同方法：可以利用条件概率求解，也可以利用缩小样本空间的方法求解。‎ ‎【解析】设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，‎ 则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB．‎ ‎（1）从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为，‎ 根据分步乘法计数原理，得，‎ 于是 ‎(2) ∵ ‎ ‎∴‎ ‎ (3) ‎ 法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到理科题的情况下，‎ 第二次抽到理科题的概率为 ‎ 法二：∵， ‎ ‎∴‎ 法三：‎ 在第1次抽到理科题的条件下，‎ 第2次抽到理科题相当于在3道理科题和2道文科题中抽到理科题的概率，‎ ‎∴.‎ ‎【总结升华】对于问题3，解法一是依据条件概率的定义去求；在实际应用中，解法二是一种重要的求条件概率的方法．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．‎ ‎【答案】记“第一次取到白球”为事件A，‎ ‎“第二次取到黄球”为事件B,‎ ‎“第二次才取到黄球”为事件C,‎ 则.‎ ‎【变式2】已知：男人中有5%患色盲，女中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一个.‎ ‎ （1）求此人患色盲的概率.‎ ‎ （2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）此人患色盲的概率；‎ ‎（2）事件A：从100个男人和100个女人中任选一人，此人患色盲；‎ 事件B：从100个男人和100个女人中任选一人，此人是男人 P（A）=‎ 故 类型二、相互独立事件 ‎【例3】有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.‎ ‎（1）求恰有一件不合格的概率；‎ ‎（2）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001)‎ ‎【思路点拨】（1）要求恰有一件不合格的概率，可以根据相互独立事件同时发生的概率求解。‎ ‎（2）可以根据至少有两件不合格的概率公式求解，还可以根据对立事件概率求解。‎ ‎【解析】设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.‎ ‎（1）∵P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95，‎ ‎∴.‎ 因为事件A，B，C相互独立，‎ ‎∴恰有一件不合格的概率为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 法一：至少有两件不合格的概率为：‎ 法二：三件产品都合格的概率为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.90×0.952=0.812.‎ 由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，‎ 所以至少有两件不合格的概率为1-(0.812+0.176)=0.012.‎ ‎【总结升华】本题考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用互斥事件加法和相互独立事件乘法公式求解。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.‎ ‎（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，‎ 则，，，，‎ ‎∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率：‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率：‎ ‎．‎ ‎【例4】在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.‎ ‎（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；‎ ‎（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ ‎）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．‎ ‎（Ⅱ）用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．‎ ‎【解析】（Ⅰ）记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.‎ 由题意， 得．‎ 答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是． ‎ ‎（Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则 ‎， ，‎ ‎， ．‎ 所以，的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望. ‎ ‎【总结升华】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？‎ 解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次 记事件＝“射击一次，击中目标”，则．‎ ‎∵射击次相当于次独立重复试验，‎ ‎∴事件至少发生1次的概率为．‎ 由题意，令，∴，∴，‎ ‎∴至少取5．‎ 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次 ‎【例5】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ ‎【思路点拨】（1）由题意知乙投球两次均命中的概率为p，根据乙投球两次均为命中的概率值，又有乙两次投球是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率写出关于p的方程，得到结果．‎ ‎（2）甲投2次至少有1次命中的对立事件是甲投2次都不命中，甲投2次都不命中是一个相互独立事件同时发生的概率，根据对立事件的概率得到结果．‎ ‎（3）甲乙两人各投2次，共命中2次包括甲和乙各命中一次，甲命中两次乙没有命中，甲没有命中乙命中2次，这3种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式得到结果。‎ ‎【解析】 ‎ ‎（Ⅰ）‎ 法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ 法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得，于是或（舍去），‎ 故．‎ 所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）‎ 法一：由题设和（Ⅰ）知．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为 法二：‎ 由题设和（Ⅰ）知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 ‎（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，‎ 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：‎ 甲、乙两人各中一次, 概率为:，‎ 甲中两次，乙两次均不中, 概率为:，‎ 甲两次均不中，乙中2次,概率为:‎ 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．‎ ‎ 【总结升华】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率公式，是一个运算量比较大的题目，特别是第三问用到的数字比较多，容易出错。‎ 类型三、独立重复试验及其概率公式 ‎【例6高清视频离散型随机变量及其分步列、均值与方差例题2】一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有4个红灯,假设他在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟。‎ ‎(1)求这名学生在途中到底三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎(2)求这名学生在途中因遇到红灯停留的的总时间的分布列与期望。‎ ‎【思路点拨】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．‎ ‎（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎【总结升华】相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不可能同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率。‎ ‎【例7】某射击手射击1次，击中目标的概率为0.8，他连续射击5次，且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算（结果保留到小数点后第2位）：‎ ‎（1）5次射击中恰有2次击中的概率；‎ ‎（2）5次射击中至少有2次击中的概率；‎ ‎（3）5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中的概率．‎ ‎【思路点拨】（1）5次射击中恰有2次击中的概率，即5次实验中恰有2次发生的概率，计算可得答案，‎ ‎（2）分析可得，“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件，计算“最多击中2次”的概率，即P5（0）+P5（1），再由对立事件的概率计算可得答案；‎ ‎（3）根据题意，“5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中”即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生，进而计算可得答案。‎ ‎【解析】根据题意，设P5（k）（0≤k≤5）为5次射击中恰有k次击中的概率，‎ ‎（1）5次射击中恰有2次击中的概率P5（2）=C52×0.82（1-0.8）3=10×0.64×0.23≈0.05；‎ ‎（2）“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件，‎ 则5次射击中至少有2次击中的概率P=1-P5（0）-P5（1）‎ ‎=1-C500.80×（1-0.8）5-C51×0.81×（1-0.8）4≈0.99；‎ ‎（3）5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中 即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生，‎ 故其概率P=0.8×[C41×0.8×（1-0.8）3]≈0.02．‎ ‎【总结升华】本题考查相互独立事件、对立的概率的乘法公式与n次重复试验中恰有k次发生的概率，概率问题经常涉及多个关系的事件组合，解题时要分清事件之间的关系。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.‎ ‎（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；‎ ‎（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.‎ ‎【解析】（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为 ‎（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1－p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1－p2)，故所求的概率为 ‎（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为，故至少换4只灯泡的概率为 ‎ ‎【例8】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.‎ ‎（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；‎ ‎（Ⅲ）求比赛局数的分布列。‎ ‎【思路点拨】（I）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．‎ ‎（II）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．B包括乙以4：2获胜和乙以4：3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．‎ ‎（III）设比赛的局数为，则的可能取值为4,5,6,7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 ‎ 记“甲以4比1获胜”为事件，‎ 则． ‎ ‎（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件.‎ ‎ 因为，乙以4比2获胜的概率为， ‎ ‎ 乙以4比3获胜的概率为， ‎ 所以 ． ‎ ‎（Ⅲ）设比赛的局数为，则的可能取值为4,5,6,7. ‎ ‎， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ． ‎ 比赛局数的分布列为：‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎【总结升华】本题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，考查概率思想的应用意识和创新意识。‎ ‎【例9】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．‎ ‎（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．‎ ‎（2）按比赛规则甲获胜的概率．‎ ‎【解析】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．‎ 记事件=“甲打完3局才能取胜”，记事件=“甲打完4局才能取胜”，‎ 记事件=“甲打完5局才能取胜”．‎ ‎①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ‎∴甲打完3局取胜的概率为．‎ ‎②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负 ‎∴甲打完4局才能取胜的概率为．‎ ‎③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负 ‎∴甲打完5局才能取胜的概率为．‎ ‎(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，‎ 又因为事件、、彼此互斥，‎ 故．‎ 答：按比赛规则甲获胜的概率为．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？‎ ‎【解析】从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ‎∴从低层到顶层停不少于3次的概率 设从低层到顶层停次，则其概率为，‎ ‎∴当或时，最大，即最大，‎ 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．‎ ‎【例10】现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: ‎ ‎(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ‎ ‎(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎ 【思路点拨】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. ‎ ‎【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则. ‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为. ‎ ‎(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. ‎ ‎(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 随机变量的数学期望. ‎ ‎【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）‎ ‎【解析】记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 ‎1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，‎ ‎1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，‎ 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．‎ ‎ “至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法 ‎【变式2】加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、、，且各道工序互不影响。‎ ‎ (1) 求该种零件的合格率；‎ ‎ (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。‎ ‎【解析】（Ⅰ）；‎ ‎ （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为，由独立重复试验的概率公式得：‎ ‎ 恰好取到一件合格品的概率为 ，‎ ‎ 至少取到一件合格品的概率为 ‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 恰好取到一件合格品的概率为，‎ ‎ 至少取到一件合格品的概率为 ‎ ‎【例11】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．‎ ‎ (Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．‎ ‎(i)求恰好摸5次停止的概率；‎ ‎(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列。‎ ‎ (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．‎ ‎（I） (i) ‎ ‎(ii) 随机变量的取值为0, 1, 2, 3. ‎ 由n次独立重复试验概率公式得 随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（II） 设袋子A有m个球，则袋子B中有‎2m个球。由得 ‎【点评】摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型，对于此种问题的解决关键是抓住是放回式摸球还是不放回式摸球，以便于选择概率模型进行解决。‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（）‎ ‎【解析】记事件＝“种一粒种子，发芽”，则，，‎ ‎（1）设每穴至少种粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．‎ ‎∵每穴种粒相当于次独立重复试验，记事件＝“每穴至少有一粒发芽”，则 ‎．‎ ‎∴．‎ 由题意，令，所以，两边取常用对数得，‎ ‎．即，‎ ‎∴，且，所以取．‎ 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．‎ ‎（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，‎ ‎∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为，‎ 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 ‎ 类型四、二项分布 ‎【例12】重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．‎ ‎【思路点拨】首先分析题目重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，可得到随机变量ξ～B（5，），则求ξ＞3可分为2种情况ξ=4与ξ=5，分别求出它们的概率再相加即可得到答案 ‎【解析】依题意，随机变量ξ～B ．‎ ‎　　∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．‎ ‎∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)= ‎ ‎【总结升华】本题考查二项分布概念性的试题，涵盖知识点少，计算量小，‎ 注意对基础知识的把握牢固。‎ ‎【例13】在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．‎ ‎（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. ‎ 依条件可知X~B(6，). ‎ ‎ ()‎ ‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以=.‎ 或因为X~B(6，)，所以. 即X的数学期望为4． ‎ ‎ （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，‎ ‎ 则 ‎ 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 ‎ ‎（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，‎ ‎ 则.‎ 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.‎ 显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】‎ 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。‎ ‎(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；‎ ‎(Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差。‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，利用相互独立事件的概率，‎ 其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．‎ ‎(Ⅱ)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布 则期望望，‎ 方差 ‎【例14】今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：‎ 高一年级 高二年级 高三年级 ‎10人 ‎6人 ‎4人 ‎（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；‎ ‎（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【思路点拨】（I）利用古典概型的概率公式，求恰好有1人是高一年级学生的概率；‎ ‎（II）确定的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可得随机变量的分布列和数学期望；利用随机变量服从二项分布，也可以求解。‎ ‎【解析】（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则 答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为. ‎ ‎（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.所以 ‎ ‎; ;‎ ‎;;‎ ‎. ‎ ‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 所以 解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为. ‎ 则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～. ‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以 ‎ ‎【思路点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率。‎ ‎【例15】某批n件产品的次品率为1%，现从中任意地依次抽出2件进行检验，问：‎ ‎（1）当n=100，1000，10000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精确到0.00001）‎ ‎（2）根据（1），谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．某批n件产品的次品率为1%，现在从中任意地依次抽出2件进行检验，问：‎ ‎【解析】（1）当n=100时，如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为 •0.01•0.99=0.0198．‎ 如果不放回，这是超几何分布．100件产品中次品数为1，正品数是99，‎ 从100件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．‎ 所以概率为=0.2．‎ 当n=1000时，‎ 如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为 ‎ ‎•0.01•0.99=0.0198．‎ 如果不放回，这是超几何分布．1000件产品中次品数为10，正品数是990，‎ 从1000件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．‎ 所以概率为是≈0.0198．‎ 如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为 ‎ ‎•0.01•0.99=0.0198．‎ 如果不放回，这是超几何分布．10000件产品中次品数为1000，正品数是9000，‎ 从10000件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．‎ 所以概率为≈0.0198．‎ ‎（2）对超几何分布与二项分布关系的认识：‎ 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．‎ 不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；‎ ‎        2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；‎ 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．‎ ‎【总结升华】本题考查二项分布和超几何分布的性质和应用，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意区分超几何分布与二项分布的区别和联系。‎ 类型五、正态分布的性质 ‎【例16】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 ‎(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；‎ ‎(2)求正态总体在(－4,4]的概率．‎ ‎【思路点拨】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关。‎ ‎【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 ‎ (2)P(－4110)＝(1－0.6826)＝0.1587，‎ ‎∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.‎ ‎∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．‎ ‎【总结升华】解决此类问题，首先要确定μ与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x＝μ对称的区间上概率相等这一性质的应用。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？‎ ‎【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝.‎ ‎∴不属于区间(3,5]的概率为 P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3

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