2019-2020学年北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷附答案

2019-2020学年北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷附答案

2019 年北师大版数学八年级下册 第一章综合测试卷 一、选择题。 01 如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，∠BAD=35º，则∠C 的度数为 ( ) A．35º B．45º C．55º D．60º 02 若等腰三角形的周长为 10 cm，其中一边长为 2 cm，则该等腰三角形的底边长为 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 03（黔南中考）如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D．如果∠A=30º， AE=6 cm，那么 CE 等于 ( ) A． 3 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 04 如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B,C 为圆心，以大于 1 2 BC 的长为 半径作弧，两弧相交于 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD.若 CD=AC，∠A=50º，则∠ ACB 的度数为 ( ) A．90º B．95º C 100º D．105º 05 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB，垂足为点 E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面 积为 ( ) A．8 B 10 C．12 D．24 06 如图，∠A=50º，P 是等腰△ABC 内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC 为 ( ) A．100º B．140º C．130º D．115º 07（张家界中考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=60º，DE 是斜边 AC 的垂直平分线，分别交 AB，AC 于 D，E 两点，若 BD=2，则 AC 的长是 ( ) A．4 B．4 3 C．8 D．8 3 08 将一个有 45º角的直角三角尺的直角顶点 C 放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶 点 A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边 AC 与纸带的一边所在的直线成 30º角，如图， 则三角尺的最长边的长为 ( ) A．6 cm B．3 2 cm C．4 2 cm D．6 2 cm 09 如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点 E，BD⊥CE，交 CE 的延长线于点 D，AE=5 cm， BD=2 cm，则 DE 的长是( ) A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm 10 如图，AD⊥BC 于 D，且 DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC 的平分线；④△ABC 为等边三角形．其中正确的有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11 如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF 等于( ) A．90º B．75º C．70º D．60º 12 如图，在△ABC 中，BC=10，DH，EF 分别为 AB、AC 的垂直平分线，则△ADE 的周长是 ( ) A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题。 13 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48º，则该等腰三角形的底角的度数为 ___________. 14 如图，已知 AC⊥BD，垂足为点 P，AP=CP，请添加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加 辅助线），你添加的条件是_______________． 15 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的 4 倍多 15º，则这两个锐角分别为 ___________. 16 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠A=30º，CD 是斜边 AB 上的高，AB=8，则 BD=___________. 17 如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于 E，交 BC 于 D，连接 AD，已经△ABD 的周长 是 12 cm，AC=5 cm，则 AB+BD+AD=______cm；AB+BD+DC=_____cm；△ABC 的周长是______cm. 18 如图，已知△ABC 的周长是 22，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，垂足为点 D， 且 OD=3，则△ABC 的面积是___________． 三、解答题。 19 如图，AD 与 BC 相交于点 O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE 垂直平分 BD． 20 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形，请一一列出． (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 21 已知甲村和乙村靠近公路 a，b，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商， 工厂必须满足以下要求： (1)到两村的距离相等； (2)到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定工厂的位置吗？写出作图过程． 22 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的两条高． (1)求证：∠ABD=∠ACE． (2)若 AB=AC，求证：DE∥BC. 23 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE，BE，延长 AE 交 BC 的延长 线于点 F．若 AE⊥BE，求证： (1)FC=AD; (2)AB=BC+AD． 24 如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=CB，点 E 为 BD 的中点，点 F 为 AC 的中点，连 接 EF 交 CD 于点 M，连接 AM. (1)求证：EF= 1 2 AC． (2)若∠BAC=45º，求线段 AM，DM，BC 之间的数量关系． 25 （东营中考）(1)如图①，在△ABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，垂足分别为点 D，E,求证：DE=BD+CE. (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在直线 m 上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，则结论 DE=BD+CE 是否仍然成立？若成 立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展与应用：如图③，D，E 是过点 A 的直线 m 上的两动点(D，A，E 三点互不重合)， 点 F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接 BD，CE，若∠BDA= ∠AEC=∠BAC，试判断△DFF 的形状. 第一章综合测试卷 01 C 解析：∵AB=AC，D 为 BC 的中点，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD⊥BC.∵∠BAD=35°，∴ ∠DAC=35°，∴∠C=90°-∠DAC=90°- 35°=55°． 02 A 解析：若 2 cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 10-2-2=6(cm)，2+2＜6，不符合三角 形的三边关系；若 2 cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（10-2）÷2=4(cm)，此时三角形的 三边长分别为 2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系． 03 C 解析：∵ED⊥AB,∠A=30°，∴AE=2ED, ∵AE=6 cm．∴ED=3 cm． 又∵∠ACB=90°，BE 平分∠ABC， ∴ED=CE．∴CE=3 cm 04 D 解析：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°， 根据题意，得 MN 是 BC 的垂直平分线， ∴CD=BD,∴∠BCD=∠B， ∴∠B= 1 2 ∠ADC=25°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°. 05 C 解析：如图，作 DF⊥AC，垂足为点 F，∵AD 是∠BAC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥ AC， ∴DF=DE=4． ∴△ACD 的面积= 1 2 AC•DF=12． 06 D 解析：∵∠A=50°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠ACB= 1 2 (180°-∠A)= 1 2 ×(180°-50°)=65°, ∵∠PBC=∠PCA, ∴∠PCB+∠PBC=∠PCB+∠PCA=∠ACB=65°, ∴∠BPC=180°-(∠PCB+∠PBC)=180°-65°=115°. 07 B 解析：∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=60°，∴∠A=30°. ∵DE 垂直平分斜边 AC,∴AD=CD, ∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°. ∵BD=2,∴AD=CD=4.∴AB=2+4=6. 在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 CB=2 3 ， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC= 2 2 4 3AB BC  ． 08 D 解析：如图，作 AH⊥CH. 在 Rt△ACH 中，∵AH=3 cm,∠AHC=90°,∠ACH=30°, ∴AC=2AH=6 cm, 在 Rt△ABC 中,AB= 2 2 2 26 6 6 2AC BC    . 09 C 解析：∵∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE,BD⊥CE,交 CE 的延长线于点 D, ∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD, 又∵∠AEC=∠CDB=90°,AC=BC, ∴△AEC≌△CDB. ∴CE=BD=2 cm,CD=AE=5 cm, ∴ED=CD-CE=5-2=3(cm). 10 C 11 D 解析：∵AB=BC=CD=DE=EF,∠A=15°, ∴∠BCA=∠A=15°, ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°, ∴∠BCD=180°-(∠CBD+∠BDC)=180°-60°=120°, ∴∠CED=∠ECD=180°-∠BCD- ∠BCA=180°- 120°-15°=45°, ∴∠CDE=180°-(∠ECD+∠CED)=180°-90°=90°, ∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°, ∴∠DEF=180°-(∠EDF+∠EFD)=180°-120°=60°. 12 C 解析：∵DH 垂直平分 AB,EF 垂直平分 AC, ∴AD=BD,AE=EC. ∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10. 13 69°或 21° 解析：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图①所示， ∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°, ∴∠ABD=48°,∴∠A=90°-48°=42°, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C= 1 2 ×(180°-42°) =69°, ②若∠A＞90°，如图②所示， 同①可得∠DAB=90°-48°=42°，∴∠BAC=180°-42°=138°． ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C= 1 2 ×（180°-138°）=21°. 综上所述，该等腰三角形的底角的度数为 69°或 21°． 14 AB=CD(答案不唯一) 解析：∵AC⊥BD．垂足为点 P，AP=CP，AB=CD，∴△ABP≌△CDP．故 添加的条件为 AB=CD． 15 75°，15° 解析：设较小锐角是 x，则另一个锐角是 4x+15°， 根据题意，得 x+4x+15°=90°，解得 x=15°， 4x+15°=4×15°+15°=75°, 所以这两个锐角分别为 75°，15°． 16 2 解析：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8， ∴BC= 1 2 AB=4，在 Rt△BCD 中， ∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BD= 1 2 BC=2． 17 12 12 17 解析：∵DE 是线段 AC 的垂直平分线，∴AD=CD,∴AD+BD=CD+BD, ∵△ABD 的周长是 12 cm， ∴AB+BD+AD=12 cm,AB+BD+DC=12 cm, ∵AC=5 cm， ∴△ABC 的周长=(AB+BD+DC)+AC=12+5=17 (cm)． 18 33 解析：∵BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴点 O 到 AB，AC，BC 的距离都相等， ∵△ABC 的周长是 22，OD⊥BC，垂足为点 D，且 OD=3， ∴S△ABC= 1 2 ×22×3=33． 19 证明：在△AOB 与△COD 中， A C OA OC AOB COD           ， ， ， ∴△AOB≌△COD(ASA)， ∴OB=OD，∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上， ∵BE=DE，∴点 E 在线段 BD 的垂直平分线上， ∴OE 垂直平分 BD． 20 解：(1)3 对．分别是△ABD≌△ACD，△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF. (2)以△BDE≌△CDF 为例． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 又∵D 是 BC 的中点，∴BD=CD. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， , , BD CD BE CF      ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). 21 解：如图， 设直线 a、b 相交于点 O，甲村为点 E，乙村为点 D.①以 O 为圆心，以任意长为半径画弧， 分别交直线 a，b 于点 A，B；②分别以 A，B 为圆心，以大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧相交 于点 C，作射线 OC;③连接 ED，分别以 E，D 为圆心，以大于 1 2 ED 为半径画圆，两圆相交于 F,G 两点，作直线 FG;④直线 FG 与射线 OC 相交于点 H，则点 H 即为工厂的位置． 22 证明：(1)∵BD,CE 是△ABC 的两条高， ∴∠AEC=∠ADB=90°, ∴∠A+∠ACE=90°,∠A+∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠ACE. (2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. 在△BDC 与△CEB 中， , , , BDC CEB DCB EBC BC CB           ∴△BDC≌△CEB(AAS)， ∴BE=CD，∵AB=AC．∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE， ∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠AED=∠ABC，∴DE∥BC 23 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF， ∵E 是 CD 的中点，∴DE=EC, 在△ADE 与△FCE 中， ADE FCE DE CE AED FEC           ， ， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD. (2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF, 又∵AE⊥BE， ∴BE 是线段 AF 的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF． ∵AD=CF.∴AB=BC+AD. 24(1)证明：∵CD=CB，点 E 为 BD 的中点，∴CE⊥BD， ∵点 F 为 AC 的中点，∴EF= 1 2 AC. (2)解：∵∠BAC=45°,CE⊥BD, ∴△AEC 是等腰直角三角形， ∵点 F 为 AC 的中点， ∴EF 垂直平分 AC，∴AM=CM, ∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB, ∴BC=AM+DM. 25 (1)证明：∵BD⊥直线 m,CE⊥直线 m， ∴∠BDA=∠CEA=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中， , , , BDA AEC ABD CAE AB CA           ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：成立，证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α, ∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB 和△CEA 中， ,BDA AEC ABD CAE AB CA           ， ， ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE (3)解：由②知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠EAC. ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF．即∠DBF=∠FAE 在△DBF 和△EAF 中， , FB FA FBD FAE BD AE         ， ， ∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°，∴△DEF 为等边三角形．