2019届二轮复习 直线与圆学案(全国通用)

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文档介绍

2019届二轮复习 直线与圆学案(全国通用)

第1讲 直线与圆 ‎[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题).此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.‎ 热点一 直线的方程及应用 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.‎ ‎2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.‎ ‎3.两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,‎ l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0).‎ ‎(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0).‎ 例1 (1)(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)已知直线l1:x·sin α+y-1=0,直线l2:x-3y·cos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α等于(  )‎ A. B.± C.- D. 答案 D 解析 因为l1⊥l2,‎ 所以sin α-3cos α=0,‎ 所以tan α=3,‎ 所以sin 2α=2sin αcos α= ‎==.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为________.‎ 答案 3 解析 由题意得,当k≠0时,直线l1:kx-y+2=0的斜率为k,且经过点A(0,2),直线l2:x+ky-2=0的斜率为-,且经过点B(2,0),且直线l1⊥l2,所以点P落在以AB为直径的圆C上,其中圆心坐标为C(1,1),半径为r=,‎ 由圆心到直线x-y-4=0的距离为d==2,‎ 所以点P到直线x-y-4=0的最大距离为 d+r=2+=3.‎ 当k=0时,l1⊥l2,此时点P(2,2).‎ 点P到直线x-y-4=0的距离d==2.‎ 综上,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3.‎ 思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况.‎ ‎(2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究.‎ 跟踪演练1 (1)(2018·上海市虹口区模拟)直线ax+(a-1)y+1=0与直线4x+ay-2=0互相平行,则实数a=________.‎ 答案 2‎ 解析 当a≠0时,=≠,解得a=2.‎ 当a=0时,两直线显然不平行.故a=2.‎ ‎(2)(2018·齐齐哈尔模拟)圆x2+y2-2x-4y+3=0的圆心到直线x-ay+1=0的距离为2,则a等于(  )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 答案 B 解析 因为(x-1)2+2=2,‎ 所以=2,所以a=0.‎ 热点二 圆的方程及应用 ‎1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.‎ ‎2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以为圆心,为半径的圆.‎ 例2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则C的方程为(  )‎ A.x2+y2+4x+2=0‎ B.x2+y2-4x+2=0‎ C.x2+y2+4x=0‎ D.x2+y2-4x=0‎ 答案 D 解析 圆x2+y2+4x-6y+4=0,‎ 即(x+2)2+(y-3)2=9,‎ 圆心为(-2,3),半径为3.‎ 设圆C的半径为r.‎ 由两圆外切知,圆心距为=5=3+r,‎ 所以r=2.‎ 故圆C的方程为(x-2)2+y2=4,‎ 展开得x2+y2-4x=0.‎ ‎(2)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为(  )‎ A.2+(y-1)2=1‎ B.2+2=1‎ C.2+2=1‎ D.2+(y-1)2=1‎ 答案 C 解析 到两直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得两平行线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M的方程为2+2=1.故选C.‎ 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法 ‎(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.‎ ‎(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.‎ 跟踪演练2 (1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.‎ 答案 (-2,-4) 5‎ 解析 由已知方程表示圆,则a2=a+2,‎ 解得a=2或a=-1.‎ 当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.‎ 当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0,‎ 化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,‎ 表示以(-2,-4)为圆心,5为半径的圆.‎ ‎(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.‎ 答案 x2+y2-2x=0‎ 解析 方法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.‎ ‎∵圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),‎ ‎∴解得 ‎∴圆的方程为x2+y2-2x=0.‎ 方法二 画出示意图如图所示,‎ 则△OAB为等腰直角三角形,‎ 故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,‎ ‎∴所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,‎ 即x2+y2-2x=0.‎ 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法.‎ ‎(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr⇔直线与圆相离.‎ ‎(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),方程组消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0.‎ ‎2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.‎ 设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:‎ ‎(1)d>r1+r2⇔两圆外离.‎ ‎(2)d=r1+r2⇔两圆外切.‎ ‎(3)|r1-r2|1+1,‎ 故两圆外离.‎ ‎(2)(2018·揭阳模拟)已知直线4x-3y+a=0与⊙C:x2+y2+4x=0相交于A,B两点,且∠ACB=120°,则实数a的值为(  )‎ A.3 B.10‎ C.11或21 D.3或13‎ 答案 D 解析 圆的方程整理为标准方程即(x+2)2+y2=4,‎ 作CD⊥AB于点D,由圆的性质可知△ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|,‎ 则|CD|=|CA|×sin 30°=2×=1,‎ 即圆心(-2,0)到直线4x-3y+a=0的距离为d=1,‎ 据此可得=1,‎ 即|a-8|=5,解得a=3或a=13.‎ 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.‎ ‎(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.‎ 跟踪演练3 (1)(2018·广州名校联考)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于两点A,B,且△CAB为等边三角形,则圆C的面积为________.‎ 答案 6π 解析 圆C化为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,‎ 且圆心C(a,1),半径R=(a2>1).‎ ‎∵直线y=ax和圆C相交,且△ABC为等边三角形,‎ ‎∴圆心C到直线ax-y=0的距离为Rsin 60°=×,‎ 即d==.‎ 解得a2=7.‎ ‎∴圆C的面积为πR2=π(7-1)=6π.‎ ‎(2)如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)‎ C.[1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]‎ 答案 D 解析 圆心(a,a)到原点的距离为|a|,半径r=2,圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点到原点的距离为,则圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有公共点,r′=,所以r-r′≤|a|≤r+r′,即1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3].‎ 真题体验 ‎1.(2016·山东改编)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是________.‎ 答案 相交 解析 ∵圆M:x2+(y-a)2=a2,‎ ‎∴圆心坐标为M(0,a),半径r1=a,‎ 圆心M到直线x+y=0的距离d=,‎ 由几何知识得2+()2=a2,解得a=2.‎ ‎∴M(0,2),r1=2.‎ 又圆N的圆心坐标为N(1,1),半径r2=1,‎ ‎∴|MN|==.‎ 又r1+r2=3,r1-r2=1,‎ ‎∴r1-r2<|MN|0,所以t≥1+,所以mn≥3+2.故mn有最小值3+2,无最大值.故选B.‎ ‎3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为2,则a=________.‎ 押题依据 本题已知公共弦长,求参数的范围,情境新颖,符合高考命题的思路.‎ 答案  解析 联立两圆方程 可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0,‎ 故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为 =(a>0).‎ 故2=2,‎ 解得a2=,‎ 因为a>0,所以a=.‎ A组 专题通关 ‎1.若<α<2π,则直线+=1必不经过(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,直线过(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限.‎ ‎2.(2018·呼和浩特调研)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为P,Q的中点,若|AM|=|PQ|,则m的值为(  )‎ A.2 B.-2 C.3 D.-3‎ 答案 A 解析 根据题意画出图形,如图所示.‎ 直线l1:x-2y+1=0 与直线l2:mx+y+3=0 的交点为A,M 为PQ 的中点,‎ 若|AM|=|PQ|,则PA⊥QA,‎ 即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.‎ ‎3.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,也就是用内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长,这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(  )‎ A.x+(-1)y-=0 B.(1-)x-y+=0‎ C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0‎ 答案 C 解析 如图所示可知A(,0),‎ B(1,1),C(0,),D(-1,1),‎ 所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=(x-),‎ y=(1-)x+,‎ y=(-1)x+ 整理为一般式即 x+y-=0,‎ x-y+=0,‎ x-y+=0,‎ 故选C.‎ ‎4.(2018·吴忠模拟)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(  )‎ A.(x+1)2+2=2 B.(x-1)2+2=4‎ C.(x-1)2+2=2 D.(x+1)2+2=4‎ 答案 C 解析 圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求圆的半径为,设所求圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合半径最小,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+2=2.‎ ‎5.(2018·孝义模拟)已知点P是直线l:x+y-b=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点分别为M,N,且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则b等于(  )‎ A.2 B.±2 C. D.± 答案 B 解析 由题意得∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,‎ ‎|MO|=|ON|=1,‎ ‎∴四边形PMON是正方形,∴|PO|=,‎ ‎∵满足以上条件的点P有且只有一个,‎ ‎∴OP垂直于直线x+y-b=0,‎ ‎∴=,∴b=±2.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,圆O的方程为x2+y2=4,直线l的方程为y=k(x+2),若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 根据直线与圆的位置关系可知,若圆O:x2+y2=4上至少存在三点到直线l:y=k(x+2)的距离为1,则圆心(0,0)到直线kx-y+2k=0的距离d应满足d≤1,即≤1,解得k2≤,即-≤k≤,故选B.‎ ‎7.(2018·安阳模拟)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由x2+y2-kx+2y=0与x2+y2+ky-4=0,相减得公共弦所在直线方程kx+y-4=0,‎ 即k(x+y)-=0,‎ 所以由得x=2,y=-2,‎ 即P,因此2m+2n-2=0,‎ 所以m+n=1,mn≤2=(当且仅当m=n时取最大值).‎ ‎8.(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)直线x+ysin α-3=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是_____.‎ 答案  解析 若sin α=0,则直线的倾斜角为;‎ 若sin α≠0,‎ 则直线的斜率k=-∈,‎ 设直线的倾斜角为θ,‎ 则tan θ∈,‎ 故θ∈∪ ,‎ 综上可得直线的倾斜角的取值范围是.‎ ‎9.(2018·安徽省“皖南八校”联考)若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 (-1,1)‎ 解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,‎ 则点(2,0)在圆外,即22-2×2+m+1>0,解得m>-1;‎ 由方程x2+y2-2x+2y+m+1=0表示圆,‎ 则(-2)2+22-4(m+1)>0,解得m<1.‎ 综上,实数m的取值范围是(-1,1).‎ ‎10.已知直线l:mx-y=1.若直线l与直线x-my-1=0平行,则m的值为________;动直线l被圆x2+2x+y2-24=0截得的弦长的最小值为________.‎ 答案 -1 2 解析 当m=0时,两直线不平行;‎ 当m≠0时,由题意得=,‎ 所以m=±1.‎ 当m=1时,两直线重合,所以m=1舍去,故m=-1.‎ 因为圆的方程为x2+2x+y2-24=0,‎ 所以(x+1)2+y2=25,‎ 所以它表示圆心为C(-1,0),半径为5的圆.‎ 由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),‎ 所以过点P且与PC垂直的弦长最短,‎ 且最短弦长为2=2.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2≤10,则点M的纵坐标的取值范围是________.‎ 答案  解析 设点M(x,y),因为|MA|2+|MO|2≤10,‎ 所以(x-2)2+y2+x2+y2≤10,‎ 即x2+y2-2x-3≤0,‎ 因为(x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2,‎ 所以x2+2-(x+1)2-2x-3≤0,‎ 化简得x≥-.‎ 因为y2=2-(x+1)2,所以y2≤,‎ 所以-≤y≤.‎ ‎12.设圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为d.当d最小时,圆C的面积为________.‎ 答案 2π 解析 如图,设圆心坐标为C(a,b),‎ 则 即2b2=a2+1,‎ 所以圆心C(a,b)到直线x-2y=0的距离 d=,‎ 故d2==(a2+4b2-4ab).‎ 由于a2+b2≥2ab,即-4ab≥-2a2-2b2,‎ 故d2=(a2+4b2-4ab)≥(2b2-a2)= ‎(当且仅当a=b时取等号),‎ 此时r2=a2+1=2,故圆的面积S=πr2=2π.‎ B组 能力提高 ‎13.已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)且|AB|=2,过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是(  )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ 答案 D 解析 根据题意,利用圆中的特殊三角形,求得圆心及半径,即得圆的方程为(x-1)2+(y-)2=2,并且可以求得A(0,-1),B(0,+1),‎ 因为M,N在圆O:x2+y2=1上,‎ 所以可设M(cos α,sin α),‎ N(cos β,sin β),‎ 所以|NA|= ‎=,‎ ‎|NB|= ‎=,‎ 所以=-1,‎ 同理可得=-1,‎ 所以=,‎ -=-(-1)=2,‎ +=2,‎ 故①②③都正确.‎ ‎14.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a≤-4 B.-4≤a≤6‎ C.a≤-4或a≥6 D.a≥6‎ 答案 D 解析 表示圆上的点到直线l1:3x-4y-9=0的距离的5倍,表示圆上的点到直线l2:3x-4y+a=0的距离的5倍,‎ 所以的取值与x,y无关,即圆上的点到直线l1,l2的距离与圆上点的位置无关,所以直线3x-4y+a=0与圆相离或相切,并且l1和l2在圆的两侧,所以d=≥1,并且a>0,解得a≥6,故选D.‎ ‎15.(2018·合肥质检)为保护环境,建设美丽乡村,镇政府决定为A,B,C三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理A,B,C三个自然村的垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km,且与C村相距 km的地方.已知B村在A村的正东方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,则垃圾处理站M与B村相距________ km.‎ 答案 2或7‎ 解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(3,0),C(3,3).‎ 由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心,5为半径的圆A上,同时又在以C(3,3)为圆心,为半径的圆C上,两圆的方程分别为x2+y2=25和(x-3)2+(y-3)2=31.‎ 由 解得或 ‎∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或,‎ ‎∴|MB|=2或|MB|= =7,‎ 即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.‎ ‎16.点P(x,y)是直线2x+y+4=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+(y-1)2=1的两条切线,A,B是切点,则△PAB面积的最小值为________.‎ 答案  解析 由圆的方程C:x2+(y-1)2=1,‎ 可得圆心C(0,1),半径r=1,‎ 则圆心到直线2x+y+4=0的距离为d==,‎ 设|PC|=m,则m≥,‎ 则S△PAB=|PA|2sin 2∠APC ‎=|PA|2sin∠APCcos∠APC ‎=|PA|2··=,‎ 令S=,m≥,‎ 所以S′= ‎=>0,‎ 所以函数S在上单调递增,‎ 所以Smin=S=.即(S△PAB)min=.‎
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