【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题07等差数列与等比数列的运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题07等差数列与等比数列的运算学案

专题七 等差数列与等比数列的运算 ‎【等差数列】‎ 等差数列的定义：‎ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 ‎ 等差数列的通项公式:‎ an=a1+（n-1）d，n∈N*。  an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；  an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 ‎ 等差数列的前n项和的公式：‎ ‎（1），（2），（3），（4） 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 ‎ ‎【等比数列】‎ 等比数列的定义：‎ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 ‎ 等比数列的通项公式:‎ an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。‎ 等比数列的前n项和公式：‎ ‎。 ‎ ‎【2017年高考全国Ⅰ卷，文17】‎ 记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎【考点】等比数列 ‎【点拨】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考查等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式，考查运算求解能力、函数方程思想及等价转换思想在解题中的应用.‎ ‎【命题规律】等差数列、等比数列是高考必考内容，从命题情况看，主要围绕求通项公式、求和等运算进行考查.2015年通过两道小题，分别对等差数列、等比数列进行考查，内容均涉及到通项公式及求和公式，难度不大.2016年和2017年均在解答题首题（17题）的位置，综合考查了等差数列及等比数列，题目为中等难度，预计这将成为一种较为固定的命题模式.应该注意的是，随着“数学文化”的考查要求的提出，一些涉及数列的“古老”题目应予关注.‎ ‎【答题模板】‎ 第一步：按“知三求二”的指导思想，根据已知条件列方程(组)；‎ 第二步：解方程（组）求得基本量首项、公差（比）；‎ 第三步：求通项公式、求和.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.等差数列证明方法：或；‎ ‎2.等比数列的证明方法：或（）‎ ‎3.等差数列的通项公式：, ‎ ‎ 或 。‎ ‎4.等差数列的前项和公式（由倒序相加法推得）： ‎ ‎ ，。‎ ‎5.数列是等差数列（为常数）‎ ‎6.数列是等差数列 （为常数）‎ ‎7.等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．‎ ‎8.等差数列中，若，则 ‎9.等比数列的通项公式：，().‎ ‎10.当时： 或；‎ 当时：（有关等比数列的求和问题，当不能确定“”时，应分来讨论）.‎ ‎11.等比数列中，若，则 ‎12.等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列．‎ ‎13.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．‎ ‎14.两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．‎ ‎1. 【2017年高考全国Ⅱ卷，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， ‎ ‎(1)若 ，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，.当时，.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.‎ 试题解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得 d+q=3. ①‎ ‎【点拨】‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅲ卷，文17】设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和.‎ ‎【考点】数列通项公式，裂项法求和 ‎【点拨】裂项相消法是指 将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎3.【2017年高考北京卷，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎【点拨】‎ ‎4.【2017年高考天津卷，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.‎ ‎【点拨】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，‎ ‎,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎5．【2017年高考浙江卷6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】 等差数列、充分必要性 ‎【点拨】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若 ‎，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．‎ ‎6．【2017陕西汉中二模】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 ‎【答案】B ‎7．【2017安徽阜阳二模】等比数列中， ，则数列前项和 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意可知： ，解得： ，‎ 由等比数列的求和公式有： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．【2017湖南娄底二模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ）‎ A. 多斤 B. 少斤 C. 多斤 D. 少斤 ‎【答案】D ‎9．【2017重庆二诊】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）‎ A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列， ， ， ，设其公差为，则，故选C.‎ ‎10．【2017福建4月质检】若公差为2的等差数列的前9项和为81，则（ ）‎ A. 1 B. 9 C. 17 D. 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列求和公式可得： ，再由等差数列通项公式可知： ‎ ‎11．【2017四川资阳4月模拟】已知等差数列中， ，则，则数列的公差为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由等差数列的性质可知：‎ ‎ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎12.【2017安徽马鞍山三模】已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎∴ ‎ ‎=‎ ‎13.【2017北京西城区5月模拟】设是首项为，公差为的等差数列， 是首项为，公比为的等比数列.记，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）若是等差数列，求的值.‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ）因为是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以 ．‎ 因为 是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以．‎ 所以．‎ 因为 是等差数列，‎ 所以，‎ 即 ，解得 ．‎ 经检验， 时， ，所以是等差数列．‎ ‎14.【2017四川泸州四诊】已知数列的前项和满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以，即（），即数列是以2为公比的等比数列，又成等差数列，所以，即，解得，所以数列的通项公式为 ‎（2）由（1）得，因为 ‎，所以.‎ ‎15.【2017福建三明5月质检】已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎(2)由数列的特点错位相减可得．‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 当时， ，则，‎ 当时， ， ，‎ 两式相减，得，所以．‎ 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，即得 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，所以．‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅰ卷，文17】已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【点拨】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为 解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅱ卷，文17】等差数列{}中，.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.‎ 试题解析：（Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有.‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 ‎【点拨】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.‎ ‎18.【2016年高考全国Ⅲ卷，文17】已知各项都为正数的数列满足，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意，得. ‎ ‎（Ⅱ）由得.‎ 因为的各项都为正数，所以.‎ 故是首项为，公比为的等比数列，因此. ‎ ‎【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式 ‎【点拨】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎