2019届二轮复习复数学案(全国通用)

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2019届二轮复习复数学案(全国通用)

第十四讲 复数 一、 知识要点 1. 复数的三角形式 ‎ ①定义:复数表示成的形式叫复数的三角形式。其中,,为辐角,若,则称为辐角主值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ② 非零复数辐角的多值性:‎ ‎ 如右图,以轴正半轴为始边,向量所在的射线为终边的角叫复数的辐角。‎ 因此,复数的辐角是 ‎ ③ 辐角主值:‎ ‎ 表示法:用表示复数的辐角主值。‎ ‎ 定 义:当时,叫辐角主值,即 。‎ ‎ 唯一性:复数的辐角主值是确定的,唯一的。‎ ‎ ④不等于零的复数的模是唯一的。‎ ‎ ⑤时,其辐角是任意的。‎ 2. 复数三角形式的运算 复数三角形式的运算其实是辅角的三角运算。具体规则如下:‎ ①‎ 证明:‎ ‎ ②‎ 证明: ‎ ③又若复数,则它的次方根是以下个复数:‎ 1. 复数的几何意义 ‎(1)复数的向量表示 在复平面内与复数、对应的点分别 为、(如图) 向量,‎ 向量, ‎ 向量 ‎(2)常见几何图形的复数表达式:设复数已知,,则 ‎ ①线段的中垂线方程;‎ ‎ ②以为圆心,半径为的圆的方程;‎ ‎ ③以为焦点,长轴长为的椭圆方程;‎ ‎ ④以为焦点,实轴长为的双曲线方程;‎ 2. 欧拉公式: ‎ 小结: 复数的三种表示方法: ‎ 代数表示: , ‎ 三角表示: , ‎ 指数表示: , ( = , )‎ 二、 典型例题 例1.(五校2010选拔样题)已知是实数,,且当时,.则 ( )‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ 解析:设 (,则 所以,‎ 又,所以,即。选C.‎ 例2.(交大2006保送推优)已知,是实数,是复数,求的最大值.‎ 解析:利用性质 立即得.‎ 例3.(同济2004自招)已知复平面上段A与点B非别对应复数2与,线段AB上的动点P对应复数,若复数对应点Q,点Q坐标为,则点Q的轨迹方程为 .‎ 解析:设,则.‎ 由P在线段AB上可得.‎ 又,‎ 消参可得, (.‎ 例4(复旦2009自招),则在复平面内的轨迹为 .‎ 解析:设,‎ 则 所以复数对应的点满足:‎ 消去参数可得 所以点P的轨迹是椭圆,其焦距.选A.‎ 例5(清华2006)求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.‎ 解析:是纯虚数,‎ 因此,所求的最小值为3,此时.‎ 例6、(清华2009自招)求的模.‎ 解析:利用欧拉公式.‎ 三、练习巩固 A组:‎ ‎1.(11卓越)为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.(11复旦)设有复数,令,则复数( A )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3.(08复旦)在复平面上,满足方程的复数所对应的点构成的图形是( A )‎ ‎(A)圆 (B)两个点 (C)线段 (D)直线 ‎4.(07复旦)已知,若,则的值是( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.(07复旦)复数在复平面上对应的点不可能位于( A )‎ ‎(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎6.(07复旦)设为复平面上一定点,为复平面上的动点,其轨迹方程为,为复平面上另一个动点满足,则在复平面上的轨迹形状是( B )‎ ‎(A)一条直线 (B)以为圆心,为半径的圆 ‎(C)焦距为的双曲线 (D)以上均不对 ‎7.(06复旦)设、为一对共轭复数,如果,且为实数,那么( A )‎ ‎(A) (B)2 (C)3 (D)‎ ‎8.(09复旦)复平面上点关于直线的对称点的复数表示是( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎9.(10复旦)已知复数,则复数的辐角是( A )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎10.(10复旦)设复数,满足,则( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11.(10复旦)复平面上圆周的圆心是( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ B组 ‎1.(06复旦)在实数范围内分解因式: 。‎ ‎2.(08交大)复数,若存在负数使得,那么 。‎ ‎3.(06交大)是的非实数根, 。‎ ‎4.(05复旦)复数满足,则 2 。‎ ‎5.(05交大)若,且,则 19或25 。‎ ‎6.(04复旦)的非零解是 。‎ ‎7.(03复旦)已知,则 。‎ ‎8.(09南大)为模大于1的复数,,则 。‎ ‎9.(11华约)已知,,求。‎ ‎10.(03复旦)已知,求的最小值。‎ ‎11.(10五校),的实部为2,求虚部。‎
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