【数学】2018届一轮复习人教A版 直接证明与间接证明 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 直接证明与间接证明 学案

第5讲　直接证明与间接证明 最新考纲　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 文字语言 因为……所以……‎ 或由……得……‎ 要证……只需证……‎ 即证……‎ ‎2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.‎ ‎(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.‎ ‎(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)‎ ‎(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aab>b2‎ C.< D.> 解析　a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.①‎ 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②‎ 由①②得a2>ab>b2.‎ 答案　B ‎4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于‎1”‎，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.‎ 答案　A ‎5.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.‎ 解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－‎2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形.‎ 答案　等边三角形 ‎6.(2017·绍兴检测)完成反证法证题的全过程.设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)为偶数.‎ 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.‎ 解析　∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数，即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数.又∵a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，∴奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.‎ 答案　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)　(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)‎ 考点一　综合法的应用 ‎【例1】 (2017·东北三省三校模拟)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：‎ ‎(1)＋＋≤；‎ ‎(2)＋＋≥.‎ 证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，‎ ‎∴＋＋≤.‎ ‎(2)∵a＞0，∴‎3a＋1＞0，‎ ‎∴＋(‎3a＋1)≥2＝4，‎ ‎∴≥3－‎3a，同理得≥3－3b，≥3－‎3c，‎ 以上三式相加得 ‎4≥9－3(a＋b＋c)＝6，‎ ‎∴＋＋≥.‎ 规律方法　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：‎ ‎(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；‎ ‎(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.‎ ‎【训练1】 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设知(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为a＞0，b＞0，c＞0，‎ 所以＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ 考点二　分析法的应用 ‎【例2】 已知a＞0，证明：－≥a＋－2.‎ 证明　要证－≥a＋－2，‎ 只需证≥－(2－).‎ 因为a＞0，所以－(2－)＞0，‎ 所以只需证≥，‎ 即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.‎ 因为a＞0，a＋≥2显然成立，所以要证的不等式成立.‎ 规律方法　(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.‎ ‎【训练2】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ 证明　要证＋＝，‎ 即证＋＝3也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2acos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，‎ 故c2＋a2＝ac＋b2成立.‎ 于是原等式成立.‎ 考点三　反证法的应用 ‎【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎(1)解　由已知得解得d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r＋).‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，∴ ‎∴＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾.‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ 规律方法　(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.‎ ‎(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎【训练3】 (2017·郑州一中月考)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ 证明　假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，‎ 这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误.‎ 所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ ‎[思想方法]‎ 分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，‎ 缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.‎ ‎2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等. ‎