江苏省高考数学试题

江苏省高考数学试题

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学（理工农医类） ‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎（1）如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区域（不包含边界）为（ ）‎ ‎（2）抛物线的准线方程是，则a的值为 （ ）‎ ‎ （A） （B）－ （C）8 （D）－8‎ ‎（3）已知 （ ）‎ ‎ （A） （B）－ （C） （D）－‎ ‎（4）设函数的取值范围是（ ）‎ ‎ （A）（－1，1） （B）‎ ‎ （C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）‎ ‎（5）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 的轨迹一定通过的 ‎ （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 ‎（6）函数的反函数为（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 （ ）‎ ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，）‎ ‎（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ ‎ （A） （B）4 （C） （D）‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 ‎（13）的展开式中系数是 ‎ ‎（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆 ‎2‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）‎ ‎（16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验 ‎（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数求的值 ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G ‎（Ⅰ）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（Ⅱ）求点到平面AED的距离 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知常数经过原点O以为方向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知为正整数 ‎（Ⅰ）设，证明；‎ ‎（Ⅱ）设，对任意，证明 ‎（22）（本小题满分14分）‎ 设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列 ‎（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；‎ O c y l x Q1‎ Q2‎ Q3‎ a1‎ a2‎ a3‎ r2‎ r1‎ ‎（Ⅱ）当时，证明 ‎（Ⅲ）当时，证明 ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题（江苏卷）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.‎ ‎1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.‎ ‎13． 14．6,30,10 15．120 16．①④‎ 三、解答题 ‎17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.‎ 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.‎ ‎（Ⅰ）， ‎ 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 答：恰有一件不合格的概率为0.176.‎ 解法一：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件产品都合格的概率为 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 答：至少有两件不合的概率为0.012.‎ ‎（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。‎ 解：由 ‎19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. ‎ 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.‎ 设F为AB中点，连结EF、FC，‎ ‎（Ⅱ）连结A1D，有 ‎, 设A1到平面AED的距离为h，则 ‎ 解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.‎ 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=‎2a，‎ 则A(‎2a,0,0),B(0,‎2a,0),D(0,0,1) ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)‎ ‎（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；‎ ‎（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点 ‎（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.‎ ‎（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，证明：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ‎（Ⅱ）对函数求导数:‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 即对任意 ‎22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.‎ ‎ （Ⅰ）解：∵‎ ‎∴ ∴‎ ‎， ∴‎ ‎ （Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴‎ ‎∵当 ‎ ‎∴‎ ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，‎ 因此 ‎ = ‎