丹东中考数学试题及答案

丹东中考数学试题及答案

‎2016年辽宁省丹东市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）‎ ‎1．﹣3的倒数是（　　）‎ A．3B． C．﹣D．﹣3‎ ‎2．‎2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（　　）‎ A．6.76×106B．6.76×‎105C．67.6×105D．0.676×106‎ ‎3．如图所示几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（　　）‎ A．8，6B．7，‎6C．7，8D．8，7‎ ‎5．下列计算结果正确的是（　　）‎ A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a‎6C．（a3）2=a6D．（﹣‎2a2）3=‎8a6‎ ‎6．二元一次方程组的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）‎ A．8B．‎10C．12D．14‎ ‎8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）‎ A．1个B．2 个C．3 个D．4个 ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎9．分解因式：xy2﹣x=　　　　　　．‎ ‎10．不等式组的解集为　　　　　　．‎ ‎11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　　　　　　．‎ ‎12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=　　　　　　．‎ ‎13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　　　　　　．‎ ‎14．观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　　　　　　．‎ ‎15．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为　　　　　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎17．计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．‎ ‎18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．‎ ‎（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．‎ ‎　‎ 四、（每小题10分，共20分）‎ ‎19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）此次共调查了多少人？‎ ‎（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；‎ ‎（3）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？‎ ‎20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．‎ ‎（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；‎ ‎（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．‎ ‎　‎ 五、（每小题10分，共20分）‎ ‎21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠BDC=∠A；‎ ‎（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．‎ ‎　‎ 六、（每小题10分，共20分）‎ ‎23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进‎6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到‎0.1米）‎ ‎（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）‎ ‎24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？‎ ‎（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？‎ ‎　‎ 七、（本题12分）‎ ‎25．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．‎ ‎（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；‎ ‎（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．‎ ‎　‎ 八、（本题14分）‎ ‎26．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；‎ ‎（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．‎ ‎　‎ ‎2016年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）‎ ‎1．﹣3的倒数是（　　）‎ A．3B． C．﹣D．﹣3‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．‎ ‎【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，‎ ‎∴﹣3的倒数是﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．‎2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（　　）‎ A．6.76×106B．6.76×‎105C．67.6×105D．0.676×106‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将676000用科学记数法表示为6.76×105．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．如图所示几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（　　）‎ A．8，6B．7，‎6C．7，8D．8，7‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，‎ ‎8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；‎ 最中间的数是7，‎ 则这组数据的中位数是7．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．下列计算结果正确的是（　　）‎ A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a‎6C．（a3）2=a6D．（﹣‎2a2）3=‎8a6‎ ‎【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a8÷a4=a4，故A错误；‎ B、a2•a3=a5，故B错误；‎ C、（a3）2=a6，故C正确；‎ D、（﹣‎2a2）3=﹣‎8a6，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．二元一次方程组的解为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二元一次方程组的解．‎ ‎【分析】根据加减消元法，可得方程组的解．‎ ‎【解答】解：‎ ‎①+②，得 3x=9，‎ 解得x=3，‎ 把x=3代入①，‎ 得3+y=5，‎ y=2，‎ 所以原方程组的解为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）‎ A．8B．‎10C．12D．14‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，‎ ‎∴∠AFB=∠FBC，‎ ‎∵BF平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABF=∠FBC，‎ 则∠ABF=∠AFB，‎ ‎∴AF=AB=6，‎ 同理可证：DE=DC=6，‎ ‎∵EF=AF+DE﹣AD=2，‎ 即6+6﹣AD=2，‎ 解得：AD=10；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）‎ A．1个B．2 个C．3 个D．4个 ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；‎ 证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；‎ 证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；‎ 由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，‎ ‎∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，‎ ‎∵点F是AB的中点，‎ ‎∴FD=AB，‎ ‎∵∠ABE=45°，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∵点F是AB的中点，‎ ‎∴FE=AB，‎ ‎∴FD=FE，①正确；‎ ‎∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，‎ 在△AEH和△BEC中，，‎ ‎∴△AEH≌△BEC（ASA），‎ ‎∴AH=BC=2CD，②正确；‎ ‎∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，‎ ‎∴△ABD～△BCE，‎ ‎∴=，即BC•AD=AB•BE，‎ ‎∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，‎ ‎∴BC•AD=AE2；③正确；‎ ‎∵F是AB的中点，BD=CD，∴‎ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎9．分解因式：xy2﹣x=　x（y﹣1）（y+1）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：xy2﹣x，‎ ‎=x（y2﹣1），‎ ‎=x（y﹣1）（y+1）．‎ 故答案为：x（y﹣1）（y+1）．‎ ‎　‎ ‎10．不等式组的解集为　2＜x＜6　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：，由①得，x＞2，由②得，x＜6，‎ 故不等式组的解集为：2＜x＜6．‎ 故答案为：2＜x＜6．‎ ‎　‎ ‎11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　frac{2}{5}　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球，‎ ‎∴球的总数=2+3=5，‎ ‎∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=　7　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），‎ ‎∴k﹣1=2×3，‎ 解得：k=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　60（1+x）2=100　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．‎ ‎【解答】解：设平均每月的增长率为x，‎ 根据题意可得：60（1+x）2=100．‎ 故答案为：60（1+x）2=100．‎ ‎　‎ ‎14．观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　﹣frac{122}{11}　．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，‎ ‎∴第11个数据是：﹣=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为　6sqrt{2}　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ ‎【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，‎ ‎∴AC=3，‎ ‎∵AE平分∠CAD，‎ ‎∴∠CAE=∠DAE，‎ ‎∵AD∥CE，‎ ‎∴∠DAE=∠E，‎ ‎∴∠CAE=∠E，‎ ‎∴CE=CA=3，‎ ‎∵FA⊥AE，‎ ‎∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，‎ ‎∴∠FAC=∠F，‎ ‎∴CF=AC=3，‎ ‎∴EF=CF+CE=3=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为　（3，4）或（frac{96}{25}，frac{72}{25}）或（﹣frac{21}{25}，frac{28}{25}）　．‎ ‎【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎①∵OA=3，OB=4，‎ ‎∴P1（3，4）；‎ ‎②连结OP2，‎ 设AB的解析式为y=kx+b，则 ‎，‎ 解得．‎ 故AB的解析式为y=﹣x+4，‎ 则OP2的解析式为y=x，‎ 联立方程组得，‎ 解得，‎ 则P2（，）；‎ ‎③连结P2P3，‎ ‎∵（3+0）÷2=1.5，‎ ‎（0+4）÷2=2，‎ ‎∴E（1.5，2），‎ ‎∵1.5×2﹣=﹣，‎ ‎2×2﹣=，‎ ‎∴P3（﹣，）．‎ 故点P的坐标为（3，4）或（，）或（﹣，）．‎ 故答案为：（3，4）或（，）或（﹣，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎17．计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0‎ ‎=4×+2﹣3﹣2+1‎ ‎=2+2﹣4‎ ‎=4﹣4‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．‎ ‎（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；‎ ‎（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；‎ ‎（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．‎ ‎　‎ 四、（每小题10分，共20分）‎ ‎19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）此次共调查了多少人？‎ ‎（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；‎ ‎（3）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数．‎ ‎（2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题．‎ ‎（3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图．‎ ‎（4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）80÷40%=200（人）． ‎ ‎∴此次共调查200人． ‎ ‎（2）×360°=108°．‎ ‎∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为108°． ‎ ‎（3）补全如图，‎ ‎（4）1500×40%=600（人）． ‎ ‎∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．‎ ‎　‎ ‎20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．‎ ‎（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；‎ ‎（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．‎ ‎【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；‎ ‎（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：‎ 从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；‎ ‎（2）不公平．‎ 从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，‎ 所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．‎ ‎∵＞，‎ ‎∴甲获胜的概率大，游戏不公平．‎ ‎　‎ 五、（每小题10分，共20分）‎ ‎21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．‎ ‎【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，‎ 根据题意，得﹣=15，‎ 解这个方程，得x=6，‎ 经检验，x=6是所列方程的根，‎ ‎∴2x=2×6=12（元），‎ 答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．‎ ‎　‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠BDC=∠A；‎ ‎（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．‎ ‎【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；‎ ‎（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O切线，‎ ‎∴∠ODC=90°，‎ 即∠ODB+∠BDC=90°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即∠ODB+∠ADO=90°，‎ ‎∴∠BDC=∠ADO，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ADO=∠A，‎ ‎∴∠BDC=∠A；‎ ‎（2）∵CE⊥AE，‎ ‎∴∠E=∠ADB=90°，‎ ‎∴DB∥EC，‎ ‎∴∠DCE=∠BDC，‎ ‎∵∠BDC=∠A，‎ ‎∴∠A=∠DCE，‎ ‎∵∠E=∠E，‎ ‎∴△AEC∽△CED，‎ ‎∴，‎ ‎∴EC2=DE•AE，‎ ‎∴16=2（2+AD），‎ ‎∴AD=6．‎ ‎　‎ 六、（每小题10分，共20分）‎ ‎23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进‎6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到‎0.1米）‎ ‎（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°‎ 在Rt△ADB中，tan64°=，‎ 则BD=≈AB，‎ 在Rt△ACB中，tan48°=，‎ 则CB=≈AB，‎ ‎∴CD=BC﹣BD 即6=AB﹣AB 解得：AB=≈14.7（米），‎ ‎∴建筑物的高度约为‎14.7米．‎ ‎　‎ ‎24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？‎ ‎（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．‎ ‎（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．‎ ‎（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，‎ ‎（2）根据题意，得，‎ ‎（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，‎ 解得，x1=10，x2=70‎ ‎∵投入成本最低．‎ ‎∴x2=70不满足题意，舍去．‎ ‎∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．‎ ‎（3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） ‎ ‎=﹣0.5 x2+40 x+6400‎ ‎=﹣0.5（x﹣40）2+7200‎ ‎∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ‎∴当x=40时，w最大值为7200千克．‎ ‎∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．‎ ‎　‎ 七、（本题12分）‎ ‎25．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．‎ ‎（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；‎ ‎（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；‎ ‎（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；‎ ‎（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：‎ ‎∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．‎ 在△ACE和△BCD中 ‎，‎ ‎∴△ACE≌△BCD（SAS），‎ ‎∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，‎ ‎∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，‎ ‎∴PM=BD，PN=AE，‎ ‎∴PM=PM，‎ ‎∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，‎ ‎∴∠MPA+∠NPC=90°，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ 即PM⊥PN；‎ ‎（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，EC=CD，‎ ‎∠ACB=∠ECD=90°．‎ ‎∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．‎ ‎∴∠ACE=∠BCD．‎ ‎∴△ACE≌△BCD．‎ ‎∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． ‎ 又∵∠AOC=∠BOE，‎ ‎∠CAE=∠CBD，‎ ‎∴∠BHO=∠ACO=90°．‎ ‎∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，‎ ‎∴PM=BD，PM∥BD；‎ PN=AE，PN∥AE．‎ ‎∴PM=PN．‎ ‎∴∠MGE+∠BHA=180°．‎ ‎∴∠MGE=90°．‎ ‎∴∠MPN=90°．‎ ‎∴PM⊥PN． ‎ ‎（3）PM=kPN ‎ ‎∵△ACB和△ECD是直角三角形，‎ ‎∴∠ACB=∠ECD=90°．‎ ‎∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．‎ ‎∴∠ACE=∠BCD．‎ ‎∵BC=kAC，CD=kCE，‎ ‎∴=k．‎ ‎∴△BCD∽△ACE．‎ ‎∴BD=kAE． ‎ ‎∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，‎ ‎∴PM=BD，PN=AE．‎ ‎∴PM=kPN．‎ ‎　‎ 八、（本题14分）‎ ‎26．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；‎ ‎（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；‎ ‎（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；‎ ‎（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；‎ ‎（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，‎ 得 解得：，‎ ‎∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；‎ ‎（2）点C的坐标为（3，3），‎ 又∵点B的坐标为（1，3），‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴S△ABC=×2×3=3； ‎ ‎（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，‎ 设点P（m，﹣m2+4m），‎ 根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，‎ ‎∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，‎ ‎6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣‎4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣‎4m），‎ ‎∴‎3m2‎﹣‎15m=0，‎ m1=0（舍去），m2=5，‎ ‎∴点P坐标为（5，﹣5）． ‎ ‎（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：‎ ‎①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，‎ 则△CBM≌△MHN，‎ ‎∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，‎ ‎∴M（1，2），N（2，0），‎ 由勾股定理得：MC==，‎ ‎∴S△CMN=××=；‎ ‎②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，‎ 得Rt△NEM≌Rt△MDC，‎ ‎∴EM=CD=5，MD=ME=2，‎ 由勾股定理得：CM==，‎ ‎∴S△CMN=××=；‎ ‎③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，‎ 同理得：CN==，‎ ‎∴S△CMN=××=17；‎ ‎④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==，‎ ‎∴S△CMN=××=5；‎ ‎⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；‎ 综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．‎ ‎　‎