2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第九节 函数模型及应用
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第九节 函数模型及应用
最新考纲
考情分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．
2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．
3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
知识点二 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函
数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函
数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使ax0
1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )
解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元．
∴每件赔1元，(1)错．
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确．
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错．
2．小题热身
(1)函数模型y1＝0.25x，y2＝log2x＋1，y3＝1.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是y3>y1>y2.
解析：根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得．
(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是S＝＋.
解析：由题意知，每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S＝＋.
(3)某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12：00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃.
解析：由题意知，上午8时即t＝－4，因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)．
(4)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只．
解析：由题意知100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，
当x＝8时，y＝100log39＝200.
(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：由题意可得12 000＝2 000ln，则ln＝6，解得1＋＝e6，所以＝e6－1，故填e6－1.
考点一 一次函数、二次函数模型的应用
【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x
＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000.
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，
S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．
方法技巧
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
1．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( C )
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.
2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( B )
A．8元/件 B．10元/件
C．12元/件 D．14元/件
解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(040时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7 360.
所以，W＝
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5 760.
综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6 104万美元．
方法技巧
(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.
(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S元，则S＝200x－x2－200x＋80 000＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该项目不会获利．当x＝300时，S取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为
＝
当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，所以当x
＝120时，取得最小值240.
当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥
2－200＝200，当且仅当x＝.
即x＝400时，取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
考点三 指数函数、对数函数模型的应用
【例3】 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
【解】 (1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，
即m·2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．令＝y，则0
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