云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试文科数学试题 Word版含解析

云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试文科数学试题 Word版含解析

昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试 文科数学 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.‎ ‎3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，若，则集合B可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集运算即得解.‎ ‎【详解】集合，满足条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎2. 若复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎3. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数对数函数的单调性，确定a，b，c的范围，进而比较大小即可.‎ ‎【详解】由题可得，，.所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.‎ ‎4. cos300°=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意结合诱导公式有：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 已知正项等比数列中，，若，则（ ）‎ A. 32 B. 48 C. 64 D. 128‎ - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为，根据等比数列通项公式由条件列方程求解即可.‎ ‎【详解】由得，所以，‎ 又因为，得，所以，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力.‎ ‎6. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义可判断函数是奇函数，且，故可采用排除法选出正确答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为，‎ 又，‎ 所以函数是奇函数，故排除A，C；‎ 又因为，故排除D.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数图象的判断与应用，考查函数的特殊值的计算，是中档题.‎ - 20 -‎ 已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.‎ ‎7. 已知双曲线的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线中离心率公式和，即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线可知，‎ 因为，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率公式，属于基础题.‎ ‎8. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 与分别为平行四边形的两条对角线，对角线相等，则.‎ ‎【详解】因为与分别为平行四边形的两条对角线，‎ ‎，对角线相等，所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量和差运算的平行四边形法则，属于基础题.‎ ‎9. 如图所示的程序框图，是为计，则在空白判断框中应填入的是（ ）‎ - 20 -‎ A. B. ？ C. ？ D. ？‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，确定，由框图的作用，即可得出结果.‎ ‎【详解】由程序框图可得，中的，，‎ 则空白判断框应填，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，属于基础题型.‎ ‎10. 函数的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将原式整理，得到，进而可求出结果.‎ - 20 -‎ ‎【详解】因，‎ 由得，所以当时，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型.‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果.‎ ‎【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，‎ 所以，又，‎ 所以为正三角形，所以，‎ 记准线与轴交于点，则，‎ 所以，‎ 所以该抛物线方程为：.‎ - 20 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，熟记抛物线的定义，以及抛物线方程的标准形式即可，属于基础题.‎ ‎12. 已知函数，若对任意，使，则a的最大值为（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的解析式化为，再构造函数，利用导数可知，当时，函数取得最小值0，所以当时，的最小值为，所以，所以的最大值为.‎ ‎【详解】，‎ 令，则，‎ 由，得，得，由，得，得，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以当时，，即，‎ 所以，‎ 当时取“”，所以的最小值为，所以，‎ - 20 -‎ 所以的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，解题关键是将看做一个整体构造函数，再利用导数处理.属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．‎ ‎【详解】解：令 ， ，‎ 切线方程 ．‎ 故填： ．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．‎ ‎14. 若变量，满足约束条件，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】满足约束条件可行域如图所示，‎ 目标函数对应直线，‎ 当最小时，纵截距最小，‎ - 20 -‎ 所以平移直线过点时，纵截距最小，此时.‎ 故答案为：‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15. 棱长为1的正方体中，若E、F、G分别是AB、AD、的中点，则该正方体的过E、F、G的截面面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意找出截面为正六边形，进而求得正六边形的面积即可.‎ - 20 -‎ ‎【详解】‎ 由图可知，截面为一个的正六边形，正六边形的边长为，‎ 所以截面的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体截面问题，解题时要准确找出截面形状.‎ ‎16. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：‎ ‎①曲线C关于直线对称；‎ ‎②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；‎ ‎③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；‎ ‎④曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积等于1.‎ 其中，正确结论的序号是___________.‎ - 20 -‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的方程进行分析、求解、判断．‎ ‎【详解】在曲线C上任取一点P（x，y），关于对称的点为Q，‎ 显然也满足方程，故①正确；‎ 显然曲线关于y＝x对称，令y＝x，代入曲线C的方程，解得，‎ 显然点不在一个以原点为中心，边长为1的正方形内，‎ 所以存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界），②错误；‎ 由，‎ 所以，即：，‎ 当取等号，此时，点在曲线上，‎ 而，所以③正确，‎ 因为，所以④错误，‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线与方程的应用，不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：‎ 日最高气温（单位：‎ - 20 -‎ ‎）‎ 天数 ‎7‎ ‎11‎ 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.‎ ‎（1）求Y，Z的值；‎ ‎（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.‎ 高温天气 非高温天气 合计 旺销 不旺销 合计 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.0010‎ 旺销 ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），；（2）填表见解析；没有；答案见解析.‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8，得到日最高气温高于的频率为，由求解. ‎ ‎（2）根据列联表，利用求得，对照临界表下结论.‎ ‎【详解】（1）由已知得：日最高气温高于的频率为，‎ 所以，.‎ ‎（2）‎ 高温天气 非高温天气 合计 旺销 不旺销 合计 因为，所以没有％的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验，属于基础题.‎ ‎18. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，，.‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】（1）；（2）选择见解析；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理结合已知即得解；‎ ‎（2）选择①，利用正弦定理求出，再利用即得解；选择②，利用即得解.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ ‎，‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）选择①作为已知条件.‎ 在△中，由，以及正弦定理，‎ 得，解得，‎ 由，得为锐角，所以，‎ 因为在△中，，所以 ‎，‎ 所以.‎ 选择②作为已知条件，‎ 因为在△中，，‎ 所以 - 20 -‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19. 设数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）166650.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用累乘法即可求数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法求出.‎ ‎【详解】（1）因为（），‎ 所以（），‎ 当时，，所以数列的通项公式为；‎ ‎（2）因为（），‎ 所以 ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和数列的前项和的计算，考查了累乘法和分组求和法，考查学生的运算求解能力.‎ - 20 -‎ ‎20. 如图，直三棱柱中，，，，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的高.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，根据线面垂直的判定定理，直接证明即可得出结论成立；‎ ‎（2）设三棱锥的高为，根据，由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由已知得：，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 又因为，是的中点，‎ 所以，‎ 因为直三棱柱中，侧棱和底面垂直，所以平面；‎ 因此，‎ - 20 -‎ 又，平面；‎ 所以平面，所以，‎ 而，平面，所以平面；‎ ‎（2）设三棱锥的高为，‎ 因为，，‎ 由题意可得，，，‎ 因此， ‎ 所以，‎ 由，，，得：‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由，得：，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查等体积法求三棱锥的高，属于常考题型.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）求得函数的导数，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）中函数的单调性，证得，再由，令，结合二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，‎ 所以时，；时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）得：在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，即：，所以.‎ 由于，‎ 令，‎ 因为，所以，所以，‎ 即：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆E交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）由题干条件可知：，，结合即可求出的值，从而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆联立可求出，，又，可求出，根据直线方程可知，从而解出的值.‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的方程为：，‎ 由已知：得：，，‎ 所以，椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，，‎ 由，得 所以，，‎ 而，‎ 由已知得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 化简得：，所以，‎ - 20 -‎ 所以直线的方程为：或.‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆的性质去椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积，考查韦达定理的应用，同时考查了学生的转化能力与计算能力，属于中档题.‎ - 20 -‎