高中数学总复习题总结(有答案)高考必备+专项排列组合题库(带答案)+圆锥曲线练习题及答案
高中数学总复习题总结(有答案)
高考必备+专项排列组合题库(带答案)+圆锥曲线练习题及答案
数学总复习题总结(附参考答案)
第一章 集合与函数概念
一、选择题
1．设全集 U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合 M＝
1＝
2－
3－|),( x
yyx ，
P＝{(x，y)| y≠x＋1}，那么 CU(M∪P)等于( )．
A． B．{(2，3)}
C．(2，3) D．{(x，y)| y＝x＋1}
2．若 A＝{a，b}，B⊆A，则集合 B 中元素的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．0 或 1 或 2
3．函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的公共点数目是( )．
A．1 B．0 C．0 或 1 D．1 或 2
4．设函数 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)的表达式是( )．
A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
5. 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图 象 如 图 所 示 ， 则
( )．
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0，1)
C．b∈(1，2) D．b∈(2，＋∞)
6．设函数 f(x)＝
0
0＋＋2
xc
x cbxx
，
， ≤ ， 若 f( － 4) ＝ f(0) ，
f(－2)＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设集合 A＝{x | 0≤x≤6}，B＝{y | 0≤y≤2}，下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是
( )．
A．f:x→y＝
2
1 x B．f:x→y＝
3
1 x C．f:x→y＝
4
1 x D．f:x→y＝
6
1 x
8．有下面四个命题：
①偶函数的图象一定与 y 轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于 y 轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数 y＝x2－6x＋10 在区间(2，4)上是( )．
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
10．二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象的对称轴是 x＝2，则有( )．
A．f(1)＜f(2)＜f(4) B．f(2)＜f(1)＜f(4)
(第 5 题)
＞
C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)
二、填空题
11．集合{3，x，x2－2x}中，x 应满足的条件是 ．
12．若集合 A＝{x | x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素 a，则 a＝___，b＝___．
13．建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别
为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 元．
14．已知 f(x＋1)＝x2－2x，则 f(x)＝ ；f(x－2)＝ ．
15．y＝(2a－1)x＋5 是减函数，求 a 的取值范围 ．
16．设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当 x∈
(－∞，0］时，f(x)＝ ．
三、解答题
17．已知集合 A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中 a 为常数，且 a∈R．
①若 A 是空集，求 a 的范围；
②若 A 中只有一个元素，求 a 的值；
③若 A 中至多只有一个元素，求 a 的范围．
18．已知 M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且 M＝N，求 a，b 的值．
19．证明 f(x)＝x3 在 R 上是增函数．
20．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x4＋ 2
1
x
； (2)f(x)＝(x－1)
x
x
－
＋
1
1 ；
(3)f(x)＝ 1－x ＋ x－1 ； (4)f(x)＝ 12－x ＋ 21 x－ ．
第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题
1．B
解析：集合 M 是由直线 y＝x＋1 上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合 P 是坐标平面
上不在直线 y＝x＋1 上的点组成的集合，那么 M P 就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的
集合．因此 CU(M P)就是点(2，3)的集合．
CU(M P)＝{(2，3)}．故选 B．
2．D
解析：∵A 的子集有，{a}，{b}，{a，b}．∴集合 B 可能是，{a}，{b}，{a，b}中的某一
个，∴选 D．
3．C
解析：由函数的定义知，函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 是有可能没有交点的，如果有交点，
那么对于 x＝1 仅有一个函数值．
4．B
解析：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1．
5．A
解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．
解法 1：设 f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax，比较系数得 b＝－3a，c＝2a，d＝0．由
f(x)的图象可以知道 f(3)＞0，所以
f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a＞0，即 a＞0，所以 b＜0．所以正确答案为 A．
解法 2：分别将 x＝0，x＝1，x＝2 代入 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 中，求得 d＝0，a＝
－
3
1 b，c＝－
3
2 b. ∴f(x)＝b(－
3
1 x3＋x2－
3
2 x)＝－
3
bx ［(x－
2
3 )2－
4
1 ］．
由函数图象可知，当 x∈(－∞，0)时，f(x)＜0，又［(x－
2
3 )2－
4
1 ］＞0，∴b＜0．
x∈(0，1)时，f(x)＞0，又［(x－
2
3 )2－
4
1 ］＞0，∴b＜0．
x∈(1，2)时，f(x)＜0，又［(x－
2
3 )2－
4
1 ］＜0，∴b＜0．
x∈(2，＋∞)时，f(x)＞0，又［(x－
2
3 )2－
4
1 ］＞0，∴b＜0．
故 b∈(－∞，0)．
6．C
解：由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
得 22
4 2 2
b
b c
，∴ 4
2
b
c
．
∴f(x)=
)0 ( 2
)0 (2＋4＋2
x，
x，xx
由
得 x＝－1 或 x＝－2； 由 得 x＝2．
综上，方程 f(x)＝x 的解的个数是 3 个．
7．A
解：在集合 A 中取元素 6，在 f：x→y＝
2
1 x 作用下应得象 3，但 3 不在集合 B＝
｛y｜0≤y≤2｝中，所以答案选 A．
8．A
提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0；③正确；④不对，既是
奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)＝0，x∈(－a，a)．所以答案选 A．
9．C
解析：本题可以作出函数 y＝x2－6x＋10 的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递
增．答案选 C．
10．B
解析：∵对称轴 x＝2，∴f(1)＝f(3). ∵y在〔2，＋∞〕上单调递增，
∴f(4)＞f(3)＞f(2)，于是 f(2)＜f(1)＜f(4)． ∴答案选B．
二、填空题
11．x≠3 且 x≠0 且 x≠－1．
解析：根据构成集合的元素的互异性，x 满足
解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠－1．
x＞0
x＝2
≤
＞
x≤0
x2＋4x＋2＝x
x≠3，
x2－2x≠3，
x2－2x≠x．
(第 5 题)
12．a＝
3
1 ，b＝
9
1 ．
解析：由题意知，方程 x2＋(a－1)x＋b＝0 的两根相等且 x＝a，则△＝(a－1)2－4b＝0①，将
x＝a 代入原方程得 a2＋(a－1)a＋b＝0 ②，由①②解得 a＝
3
1 ，b＝
9
1 ．
13．1 760 元．
解析：设水池底面的长为 x m，水池的总造价为 y 元，由已知得水池底面面积为 4 m2
.，水池底
面的宽为
x
4 m．
池底的造价 y1＝120×4＝480．
池壁的造价 y2＝(2×2x＋2×2×
x
4 )×80＝(4x＋
x
16 )×80．
水池的总造价为 y＝y1＋y2＝480＋(4x＋
x
16 )×80，
即 y＝480＋320(x＋
x
4 )
＝480＋320
4＋2 2
x
－x ．
当 x ＝
x
2 ， 即x＝2时，y有最小值为 480＋320×4=1 760元．
14．f(x)＝x2－4x＋3，f(x－2)＝x2－8x＋15．
解析：令 x＋1＝t，则 x＝t－1，因此 f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即 f(x)＝x2－4x
＋3．∴f(x－2)＝(x－2)2－4(x－2)＋3＝x2－8x＋15．
15．(－∞，
2
1 )．
解析：由 y =(2a－1)x＋5 是减函数，知 2a－1＜0，a＜
2
1 ．
16．x(1－x3)．
解析：任取 x∈(－∞，0］， 有－x∈［0，＋∞)，
∴f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)，
∵f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x). ∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，
即当 x∈(－∞，0］时，f(x)的表达式为 x(1－x3)．
三、解答题
17．解：①∵A 是空集，
∴方程 ax2－3x＋2＝0 无实数根．
∴
，a
a
08－9＝
,0 解得 a＞
8
9 ．
②∵A 中只有一个元素，
∴方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实数根．
当 a＝0 时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根 x＝
3
2 ；
当 a≠0 时，令Δ＝9－8a＝0，得 a＝
8
9 ，这时一元二次方程 ax2－3x＋2＝0 有两个相等的实数
根，即 A 中只有一个元素．
由以上可知 a＝0，或 a＝
8
9 时，A 中只有一个元素．
≠
＜
③若 A 中至多只有一个元素，则包括两种情形：A 中有且仅有一个元素；A 是空集．由①②的
结果可得 a＝0，或 a≥
8
9 ．
18．解：根据集合中元素的互异性，有
ab
ba
bb
aa
2
2 2
2
或
解得 或 或
再根据集合中元素的互异性，得 或
19．证明：设 x1，x2∈R 且 x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝ 3
1x － 3
2x ＝(x1－x2)( 2
1x ＋x1x2＋ 2
2x )．
又 2
1x ＋x1x2＋ 2
2x ＝(x1＋
2
1 x2)2＋
4
3 2
2x ．
由 x1＜x2 得 x1－x2＜0，且 x1＋
2
1 x2 与 x2 不会同时为 0，
否则 x1＝x2＝0 与 x1＜x2 矛盾，
所以 2
1x ＋x1x2＋ 2
2x ＞0．
因此 f(x1)－ f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
f(x)＝x3 在 R上是增函数．
20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R，且 x≠0}，
f(－x)＝3(－x)4＋ 2
1
）（－x
＝3x4＋ 2
1
x
＝f(x)，∴f(x)＝3x4＋ 2
1
x
是偶函数．
(2)由
x
x
－
＋
1
1 ≥0
01－
－1＋1
x
xx ))(( 解得－1≤x＜1．
∴ 函数定义域为 x∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f(x)＝(x－1)
x
x
－1
1＋ 为非奇非偶函数．
(3)f(x)＝ 1－x ＋ x－1 定义域为 x＝1，
∴ 函数为 f(x)＝0(x＝1)，定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝ 1－x ＋ x－1 为非奇非偶函数．
(4)f(x)＝ 1－2x ＋ 2－1 x 定义域为
0≥ －1
0≥1－
2
2
x
x x∈{±1}，
∴函数变形为 f(x)＝0 (x＝±1)，∴f(x)= 1－2x ＋ 2－1 x 既是奇函数又是偶函数．
高一数学必修 1
一、选择题：（每小题 5 分，共 30 分）。
1．若 0a ，且 ,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A、
m
m n na a a B、 nmnm aaa C、 nm m na a D、 01 n na a
2．指数函数 y=a x 的图像经过点（2，16）则 a 的值是 （ ）
a＝0
b＝1
a＝0
b＝0
a＝
4
1
b＝
2
1
a＝0
b＝1
a＝
4
1
b＝
2
1
≥0
A．
4
1 B．
2
1 C．2 D．4
3．式子 8
2
log 9
log 3
的值为 ( )
（A） 2
3
（B） 3
2
（C） 2 （D）3
4．已知 (10 )xf x ，则 100f = （ ）
A、100 B、 10010 C、lg10 D、2
5．已知 0＜a＜1，log log 0a am n ，则（ ）．
A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
6．已知 3.0loga 2 ， 3.02b ， 2.03.0c ，则 cba ,, 三者的大小关系是（ ）
A． acb B． cab C． cba D． abc
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分）.
7．若 24log x ，则 x .
8． 则,3lg4lglg x x = .
9．函数 2)23x(lg)x(f 恒过定点 。
10．已知 372 22 xx , 则 x 的取值范围为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分).
11．（16 分）计算：
（1） 7log263log 33 ； （2） 63 73 5 aaa ；
12．（16 分）解不等式：（1） 13232 )1()1( xx aa （ 0a ）
13．（18 分）已知函数 f ( x )= )2(log 2 xa , 若 (f 2）=1；
(1) 求 a 的值； （2）求 )23(f 的值；（3）解不等式 )2()( xfxf .
14．（附加题）已知函数 2 2x ax bf x ，且 f（1）＝ 5
2
，f（2）＝17
4
．（1）求 a b、 ；（2）判
断 f（x）的奇偶性；（3）试判断函数在( ,0] 上的单调性，并证明；
高一数学必修 1（B 卷）
一、选择题：（每小题 5 分，共 30 分）。
1．函数 y＝ax－2＋log ( 1)a x ＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（ ）
A．（0，1） B．（1，1） C．（2，1） D．（2，2）
2．已知幂函数 f ( x )过点（2，
2
2 ），则 f ( 4 )的值为 （ ）
A、
2
1 B、 1 C、2 D、8
3．计算 5lg2lg25lg2lg 22 等于 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
4．已知 ab>0,下面的四个等式中，正确的是（ ）
A.lg( ) lg lgab a b ； B.lg lg lga a bb
； C．
b
a
b
a lg)lg(2
1 2 ； D. 1lg( ) log 10ab
ab ．
5．已知 3log 2a ，那么 3 3log 8 2log 6 用 a 表示是（ ）
A、5 2a B、 2a C、 23 (1 )a a D、 23 1a a
6．函数 xy 2log2 （ )1x 的值域为 （ ）
A、 2, B、 ,2 C、 2, D、 3,
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分）
7．已知函数 )]9
1(f[f,)0x(2
0)(xxlog)x(f x
3 则，
，
的值为
8．计算： 4 5 3log 27 log 8 log 25 =
9．若 n3log,m2log aa ，则 2
n3m
a
=
10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低 1
3
，问现在
价格为 8100 元的计算机经过 15 年后，价格应降为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分).
11．（16 分）计算：
4 1
6 0.25 03 43 2162 3 2 2 4 2 8 200549
（ ） （ ） （ ） （ ）
12．设函数
4
2 1( )
log 1
x xf x
x x
, 求满足 ( )f x =
4
1 的 x 的值．
13.（18 分）已知函数 )1a(log)x(f x
a )1a0a( 且 ，（1）求 f(x)的定义域；（2）讨论
函数 f(x)的增减性。
14．（附加题）已知 ( ) 2xf x ， ( )g x 是一次函数，并且点(2,2) 在函数 [ ( )]f g x 的图象上，点(2,5) 在
函数 [ ( )]g f x 的图象上，求 ( )g x 的解析式．
高一数学必修 1（A 卷）参考答案
一、DDADAA
二、7．2； 8．12； 9．（1，2）； 10．x<4 ；
三、11 解：（1）原式= 9log7
63log7log63log)7(log63log 3333
2
33 =2
（2）原式= 2
26
3
7
3
5
63
7
3
5 1
a
aaaaa
12．解：∵ 0a ， ∴ 112 a ∴ 指数函数 y=( 12 a ) x 在 R 上为增函数。
从而有 133 xx 解得 2x ∴不等式的解集为：{ }2| xx
13．解：(1) ∵ (f 2）=1，∴ 1)22(log 2 a 即 12log a 解锝 a=2
(2 ) 由（1）得函数 )2(log)( 2
2 xxf ，则 )23(f = 416log]2)23[(log 2
2
2
（3）不等式 )2()( xfxf 即为 ]2)2[(log)2(log 2
2
2
2 xx
化简不等式得 )24(log)2(log 2
2
2
2 xxx
∵函数 上为增函数在 ),0(log 2 xy ，∴ 242 22 xxx
即 4 4x 解得 1x 所以不等式的解集为：（-1，+ )
14．（附加题）解：（1）由已知得：
2
5 2 22
17 4 24
a b
a b
，解得 1
0
a
b
．
（2）由上知 2 2x xf x ．任取 x R ，则 2 2 xxf x f x ，所以 f x 为偶函数．
（3）可知 f x 在( ,0] 上应为减函数．下面证明：
任取 1 2 ( ,0]x x 、 ，且 1 2x x ，则
1 1 2 2
1 2 2 2 2 2x x x xf x f x 1 2
1 2
1 12 2 ( )
2 2
x x
x x
＝ 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 1
2 2
x x x x
x x
，因为 1 2 ( ,0]x x 、 ，且 1 2x x ，所以 1 20 2 2 1x x ，从而
1 22 2 0x x ， 1 22 2 1 0x x ， 1 22 2 0x x ， 故 1 2 0f x f x ，由此得函数 f x 在 ( ,0] 上为减
函数
高一数学必修 1（B 卷）参考答案
一、 DABCBC
二、 7、9; 8、
4
1 ; 9、
3
62 ；10、2400 元;
三、11、解：原式= 1 41 1 1 1 3
63 32 2 4 4 47(2 3 ) (2 2 ) 4 2 2 14
=22×3 3 +2 — 7— 2— 1=100
12、解:当 x∈(﹣∞，1)时，由 x2 =
4
1 ，得 x=2，但 2（﹣∞，1），舍去。
当 x∈(1，+∞)时，由 log4x=
4
1 ，得 x= 2 ， 2 ∈(1，+∞)。
综上所述，x= 2
}0|{,10
}0|x{,1
1a
01(1)a:.13
x
x
xxa
xa
函数的定义域为时当
函数的定义域为时当
解
.)0,()(,10
;),0()(,1)2(
上递增在时当
上递增在时当
xfa
xfa
14．（附加题）解： g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)＝kx+b (k 0)
∴f ( )g x =2 kx b g ( )f x =k2 x +b
∴依题意得
2
2
2 2
2 5
k b
k b
即 2 1 2
4 5 3
k b k
k b b
∴ ( ) 2 3g x x ．
数学必修 1 第三章测试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 函数 1log (5 4 )x
xy 的定义域是（ ）。
A. ( 1, 0) B. 4(0, log 5) C. 4( 1, log 5) D. 4( 1, 0) (0, log 5)
2. 函数 log ( 2) 1ay x 的图象过定点（ ）。
A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）
3. 设 2(log ) 2 ( 0)xf x x ，则 (3)f 的值为（ ）。
A. 128 B. 256 C. 512 D. 8
4.
2
5log ( )
5 a
化简的结果是（ ）。
A. –a B. 2a C. |a| D. a
5. 函数 0.2 1xy 的反函数是（ ）。
A. 5log 1y x B. 5log ( 1)y x
C. log 5 1xy D. 5log 1y x
6. 若 23 1log ay x 在（0，+∞）内为减函数，且 xy a 为增函数，则 a 的取值范围是（ ）。
A. 3( , 1)3
B. 1(0, )3
C. 3(0, )3
D. 3 6( , )3 3
7. 设 0, 1, , 0x xx a b a b 且 ，则 a、b 的大小关系是（ ）。
A.b＜a＜1 B. a＜b＜1 C. 1＜b＜a D. 1＜a＜b
8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A.
1
2 xy B.
11
2
x
y
C. 1( ) 12
xy D. 1 2xy
9. 设偶函数 ( )f x 在[0，π]上递减，下列三个数 a= 1 2(lg ), ( ), ( )100 2 3f b f c f 的关系为（ )。
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞a＞b
10. 已知 0＜a＜1，b＞1，且 ab＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
A. 1 1log log loga b ab b b
B. 1 1log log logb a abb b
C. 1 1log log loga a bb b b
D. 1 1log log logb a a bb b
11. 定义运算 a b 为： , ( )
, ( ) ,
a a ba b b a b
如1 2 1 ，则函数 ( )f x 2 2x x 的值域为（ ）。
A. R B. （0，+∞） C. （0，1] D. [1，+∞）
12. 设 a、b、c 都是正数，且3 4 6a b c ，则以下正确的是（ ）。
A. 1 1 1
c a b
B. 2 2 1
c a b
C. 1 2 2
c a b
D. 2 1 2
c a b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.
13.
8
51 3 23x x
化成分数指数幂为 。
14. 若不等式 log ( 3) log ( 2)a ax x 成立，则 x 的取值范围是 ，a 的取值范围是 。
15. 已知 4log (9 2) 0m m ，则 m 的取值范围是 。
16. 给出下列四种说法：
⑴ 函数 ( 0, 1)xy a a a 与函数 log ( 0, 1)x
ay a a a 的定义域相同；
⑵ 函数 3 3xy x y 与 的值域相同；
⑶ 函数
2(1 2 )1 1
2 2 1 2
x
x xy y
x
与 均是奇函数；
⑷ 函数 2( 1) 2 1 (0, )y x y x 与 在 上都是增函数。
其中正确说法的序号是 。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知 3 5( ) xf x a ，且 (lg ) 100f a ，求 a 的值。
18. 已知函数 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最大值比最小值大 1
2
，求 a 的值。
19. 已知指数函数 1( )xy a
，当 (0, )x 时，有 1y ，解关于 x 的不等式 2log ( 1) log ( 6)a ax x x 。
20. 已知函数 ( ) log (1 ) ( 0, 1)x
af x a a a 。
⑴ 求 ( )f x 的定义域；
⑵ 当 a＞1 时，判断函数 ( )f x 的单调性，并证明你的结论。
21. 设 ( )f x 1 2 4lg ( )3
x x a a R ，若当 ( , 1]x 时， ( )f x 有意义，求 a 的取值范围。
22. 某商品在最近 100 天内的价格 ( )f t 与时间 t 的函数关系是：
1 22 (0 40, )4( ) 1 52 (40 100, ),2
t t t N
f t
t t t N
销售量 ( )g t 与时间 t 的函数关系是： g(t) = －
3
1 t +
3
109 (0≤t≤100 , t∈N), 求这种商
品的日销售额 S(t)的最大值。
参考答案
一、 DDBCB DBBBA CB
提示：1.
4log 55 4 0
1 0 1
1 1, 0
x x
x x
x x
故选 D。
2. 代入验证。
3. 设 2log 3x ，则 32 8x ，代入已知等式，得 8(3) 2 256f 。
4.
2 2
5 5 5log ( ) log ( ) log | |
5 5 5 | |a a a
a
5. 由 0.2 1xy ，得 1 15
x
y
即5 1x y ，两边取对数，得 5log ( 1)x y ，即 5log ( 1)y x 。
6. 解不等式组
20 3 1 1
1 1,
a
a
即可。
7. 由指数函数的性质，得 0＜a＜1，0＜b＜1，又由幂函数 ny x 的性质知，当 n＞0 时，它在第
一象限内递增，故 a＜b＜1。
8. 在
1
2 xy 中 0x ，∴ 1 0, 1yx
；在 1( ) 12
xy 中，值域为（-1，+∞）；而 1 2xy 的值
域为[0，1）。
9. 由 题 意 知 ， 2( 2) (2), ( ), ( )2 3a f f b f c f ， 因 为 ( )f x 在 [0 ， π ] 上 递 减 ， 且
20 22 3
， ∴ 2( ) (2) ( )2 3f f f ， 即 b＞a＞c。
10. 取 1 , 42a b 。
11. 由题意知， a b 的结果为 a、b 中较小者，于是 ( )f x 2 2x x 的
图象就是 2 2x xy y 与 的图象的较小的部分（如 图），故值域为（0，
1]。
12. 设 3 4 6a b c k ，则 k＞0 且 k≠1，取对数得
3 4 6log , log , loga k b k c k ，
∴ 1 1 1log 3, log 4 2log 2, log 6 log 2 log 3k k k k k ka b c
，
∴ 2 2 1
c a b
。
二、13.
4
15x 。提示：原式=
8
1 2 1 4 41 5
3 3 3 5 152( ) ( )x x x x
。
14. 2, 0 1x a 。提示：∵ 3 2,x x 且 log ( 3) log ( 2)a ax x ，
∴ 0＜a＜1。 由 3 0
2 0
x
x
，得 2x 。
15. 2 1 1( , ) ( , )9 4 3
。提示：解不等式组 0 4 1 4 1
0 9 2 1 9 2 1
m m
m m
或 。
16. ⑴⑶。提示：⑴中两个函数的定义域都是 R；⑵中两个函数的值域分别是 R 与（0，+∞）；⑶
中两个函数均满足 ( ) ( )f x f x ，是奇函数；⑷中函数 2( 1)y x 在 (0, ) 不是增函数。
三、17. 解：因为 3lg 5(lg ) 100af a a ，两边取对数，得 lg (3lg 5) 2a a ，
1
x
y
O
所以 23(lg ) 5lg 2 0a a ，解得 1lg lg 23a a 或 ，
即
1
310 100a a
或 。
18. 解：若 a＞1，则 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最大值为 log 8a ，最小值为 log 2a ，
依题意，有 1log 8 log 2 2a a ，解得 a = 16；
若 0＜a＜1，则 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最小值为 log 8a ，最大值为
log 2a ，依题意，有 1log 2 log 8 2a a ，解得 a = 1
16
。
综上，得 a = 16 或 a = 1
16
。
19. 解：∵ 1( )xy a
在 (0, )x 时，有 1y ， ∴ 1 1, 0 1aa
即 。
于是由 2log ( 1) log ( 6)a ax x x ，得
2
2
1 6
6 0
x x x
x x
，
解得 2 5x ， ∴ 不等式的解集为{ | 2 5}x x 。
20. 解：⑴ 由1 0xa ，得 1xa 。
当 a＞1 时，解不等式 1xa ，得 0x ；
当 0＜a＜1 时，解不等式 1xa ，得 0x 。
∴ 当 a＞1 时， ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ；当 0＜a＜1 时， ( )f x 的定义域为{ | 0}x x 。
⑵ 当 a＞1 时， ( )f x 在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
设 1 2,x x 是（-∞，0）内的任意两个数，且 1 2x x ，则
1( )f x - 2( )f x = 1
1 2
2
1log (1 ) log (1 ) log
1
x
x x
a a a x
aa a
a
，
∵ a＞1， 1 2 0x x ， ∴ 1 20 1x xa a ， ∴ 1 21 1 0x xa a 。
从而 1 1
2 2
1 11, log 0
1 1
x x
ax x
a a
a a
，即 1( )f x ＞ 2( )f x .
∴当 a＞1 时， ( )f x 在（-∞，0）上递减。
21. 解：根据题意，有1 2 4 03
x x a ， ( , 1]x ，
即 1 1( ) ( )4 2
x xa
， ( , 1]x ，
∵ 1 1( ) ( )4 2
x x 与 在 ( , 1] 上都是增函数，
∴ 1 1[( ) ( ) ]4 2
x x 在 ( , 1] 上也是增函数，
∴ 它在 1x 时取最大值为 1 1 3( )4 2 4
，
即 1 1 3( ) ( )4 2 4
x x
，
∴ 3
4a 。
22. 解：因为 ( ) ( ) ( )S t f t g t ，所以
⑴ 当 1 1 109 10 40 , ( ) ( 22)( ) ( ) ( 88)( 109)4 3 3 12t S t t t S t t t 时 ，即 ，从而可知当
max10 11 808.5t S 或 时, ；
⑵ 1 1 109 140 100 , ( ) ( 52)( ) ( 104)( 109)2 3 3 6t S t t t t t 当 时 ，当 t = 40 时， max 736 808.5S 。
综上可得， max0 100 , 808.5t S 当 时 。
答：在最近的 100 天内，这种商品的日销售额的最大值为 808.5。
第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图 左视图 俯视图
(第 1 题)
A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 正八面体
2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋ 2 B．
2
21＋ C．
2
2＋2 D． 2＋1
3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A． 3 ∶1 B． 3 ∶2 C．2∶ 3 D． 3 ∶3
6．在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成
的几何体的体积是( )．
A．
2
9 π B．
2
7 π C．
2
5 π D．
2
3 π
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9 和 15，
则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF＝
2
3 ，且 EF
与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )．
A．
2
9 B．5 C．6 D．
2
15
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第 10 题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱
台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是 1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________
13．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 是上底面 ABCD 的中心，若正方体的棱长为 a，则三棱锥 O－
AB1D1 的体积为_____________．
14．如图，E，F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面
上的射影可能是___________．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，则这个长方体的对角线
长是___________，它的体积为___________．
16．一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9 厘米
(第8题)
则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190 L，假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40
cm，求它的深度．
18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正
方体的对角面作截面]
19．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2 ，AD＝2，求四
边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面
直径为 12 m，高 4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是
新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章 空间几何体
参考答案
A 组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A
解析：原图形为一直角梯形，其面积 S＝
2
1 (1＋ 2 ＋1)×2＝2＋ 2 ．
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则 S 表面＝4×
4
3 ＝ 3 ．
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
l＝ 222 5＋4＋3 ＝5 2 ，2R＝5 2 ，R＝
2
25 ，S＝4πR2＝50π．
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
解析：V＝V 大－V 小＝
3
1 πr2(1＋1.5－1)＝
2
3 π．
7．D
解析：设底面边长是 a，底面的两条对角线分别为 l1，l2，而 2
1l ＝152－52， 2
2l ＝92－52，
而 2
1l ＋ 2
2l ＝4a2，即 152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．
8．D
解析：过点 E，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×
3
1 ×
4
3 ×3×2＋
2
1 ×3×2×
2
3 ＝
2
15 ．
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；
平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选 D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2 2 ∶3 3 ．
r1∶r2∶r3＝1∶ 2 ∶ 3 ， 3
1r ∶ 3
2r ∶ 3
3r ＝13∶( 2 )3∶( 3 )3＝1∶2 2 ∶3 3 ．
13．参考答案： 3
6
1 a ．
解析：画出正方体，平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点，
三棱锥 O－AB1D1 的高 h＝
3
3 a，V＝
3
1 Sh＝
3
1 ×
4
3 ×2a2×
3
3 a＝
6
1 a3．
另法：三棱锥 O－AB1D1 也可以看成三棱锥 A－OB1D1，它的高为 AO，等腰三角形 OB1D1 为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案： 6 ， 6 ．
解析：设 ab＝ 2 ，bc＝ 3 ，ac＝ 6 ，则 V = abc＝ 6 ，c＝ 3 ，a＝ 2 ，b＝1，
l＝ 1＋2＋3 ＝ 6 ．
16．参考答案：12．
解析：V＝Sh＝πr2h＝
3
4 πR3，R＝ 3 2764× ＝12．
三、解答题
17．参考答案：
V＝
3
1 (S＋ SS ′ ＋S)h，h＝
SSSS
V
′＋′＋
3 ＝
6001＋4002＋6003
0001903× ＝75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，则 CC'＝a，OC＝
2
2 a，
OC'＝R．
C'A'
COA
(第 18 题)
在 Rt△C'CO 中，由勾股定理，得 CC' 2＋OC2＝OC' 2，
即 a2＋(
2
2 a)2＝R2．
∴R＝
2
6 a，∴V 半球＝
2
6 πa 3 ，V 正方体＝a 3 ．
∴V 半球 ∶V 正方体＝ 6 π∶2．
19．参考答案：
S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2
＝(60＋4 2 )π．
V＝V 台－V 锥
＝
3
1 π( 2
1r ＋r1r2＋ 2
2r )h－
3
1 πr2h1
＝
3
148 π．
20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，则仓库的体积
V1＝
3
1 Sh＝
3
1 ×π×(
2
16 )2×4＝
3
256 π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的体积
V2＝
3
1 Sh＝
3
1 ×π×(
2
12 )2×8＝
3
288 π(m3)．
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，半径为 8 m．
棱锥的母线长为 l＝ 22 4＋8 ＝4 5 ，
仓库的表面积 S1＝π×8×4 5 ＝32 5 π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成 8 m．
棱锥的母线长为 l＝ 22 6＋8 ＝10，
仓库的表面积 S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3) 参考答案：∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济些．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A 组
一、选择题
1．设 ， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l ，m⊂ ，有如下的两个命
题：①若∥ ，则 l∥m；②若 l⊥m，则⊥ ．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误．．的是( )．
A．BD∥平面 CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面 CB1D1
D．异面直线 AD 与 CB1 角为 60°
3．关于直线 m，n 与平面 ， ，有下列四个命题：
①m∥ ，n∥ 且∥ ，则 m∥n； ②m⊥ ，n⊥ 且⊥ ，则 m⊥n；
③m⊥ ，n∥ 且∥ ，则 m⊥n； ④m∥ ，n⊥ 且⊥ ，则 m∥n．
其中真命题的序号是( )．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线 l1，l2 与同一平面所成的角相等，则 l1，l2 互相平行
④若直线 l1，l2 是异面直线，则与 l1，l2 都相交的两条直线是异面直线
其中假．命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l∥
②若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6． 两直线 l1 与 l2 异面，过 l1 作平面与 l2 平行，这样的平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的．．．．是( )．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
(第 2 题)
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线 a，b 所成的角 60°，直线 a⊥c，则直线 b 与 c 所成的角的范围为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]
二、填空题
11．已知三棱锥 P－ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，
S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P 是△ABC 所在平面 外一点，过 P 作 PO⊥平面 ，垂足是 O，连 PA，PB，PC．
(1)若 PA＝PB＝PC，则 O 为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则 O 是△ABC 的 心；
(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是△ABC 的 心；
(4)若 PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则 O 是 AB 边的 点；
(5)若 PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点 O 在△ABC 的 线上．
13．如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为 各边的中点，G，H，
I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将△ABC 沿 DE， EF，DF 折成三棱锥
以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 ．
14．直线 l 与平面 所成角为 30°，l∩ ＝ A，直线 m∈ ，则
m 与 l 所成角的取值范围
是 ．
15．棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向 各面引垂线，垂线
段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1＋d2＋d3＋d4 的值为 ．
16．直二面角 －l－ 的棱上有一点 A，在平面 ， 内各有一条射线 AB，AC 与 l
成 45°，AB ，AC ，则∠BAC＝ ．
三、解答题
17．在四面体 ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面 角 A－BC－D 的正弦
值；
(3)设二面角 A－BC－D 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体
A－BCD 的体积最大．(不要求证明)
J
(第 13 题)
(第 17 题)
18． 如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中点，连结 ED，EC，
EB 和 DB．
(1)求证：平面 EDB⊥平面 EBC；
(2)求二面角 E－DB－C 的正切值.
19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
2
1 ．
(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积；
(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)
(第 19 题)
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱柱的体
积．(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)
(第 20 题)
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A 组
一、选择题
1．D
解析：命题②有反例，如图中平面 ∩平面 ＝直线 n，
l⊂ ，m⊂ ，
(第 18 题)
且 l∥n，m⊥n，则 m⊥l，显然平面 不垂直平面 ，
(第 1 题)
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D
解析：异面直线 AD 与 CB1 角为 45°．
3．D
解析：在①、④的条件下，m，n 的位置关系不确定．
4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案 D．
5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面 ABCD 外，但 AA1 与平面 ABCD 相交，
①不正确；A1B1∥平面 ABCD，显然 A1B1 不平行于 BD， ②不正确；A1B1
∥AB，A1B1∥平面 ABCD，但 AB⊂平面 ABCD 内，③不 正确；l 与平面
α平行，则 l 与 无公共点，l 与平面 内 的 所 有 直 线 都
没 有 公 共 点 ， ④ 正 确 ， 应 选 B ．
(第 5 题)
6．B
解析：设平面 过 l1，且 l2∥ ，则 l1 上 一定点 P 与 l2
确定一平面 ， 与 的交线 l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一
条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.
7．C
解析：当三棱锥 D－ABC 体积最大时，平面 DAC⊥ABC，取 AC 的中点 O，则△DBO 是等腰直角三
角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这
些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选 B．
10．A
解析：异面直线a，b 所成的角为 60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’
∥b， c’∥c. 若 a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的
范围为(30°，90°]，所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题
11．
3
1
3212 SSS ．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c．
则
2
1 ab＝S1，
2
1 bc＝S2，
2
1 ca＝S3 三式相乘：
∴
8
1 a2 b2 c2＝S1S2S3，
∴ abc＝2 3212 SSS ．
∵ 三侧棱两两垂直，
∴ V＝
3
1 abc·
2
1 ＝
3
1
3212 SSS ．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．
解析：将△ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60°．
14．[30°，90°]．
解析：直线 l 与平面 所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当
旋转就可以得到 l⊥m，即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°．
15．
3
6 ．
解析：作等积变换：
4
3
3
1 ×(d1＋d2＋d3＋d4)＝
4
3
3
1 ·h，而 h＝
3
6 ．
16．60°或 120°．
解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能．
三、解答题
17．证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DO．
∵△ABC，△BCD 都是边长为 4 的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且 AO∩DO＝O，
∴BC⊥平面 AOD．又 AD 平面 AOD，
∴BC⊥AD． (第 17 题)
解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A－BC－D 的平面角，设∠AOD＝ ，则过点 D 作 DE⊥AD，垂足
为 E．
∵BC⊥平面 ADO，且 BC 平面 ABC，
∴平面 ADO⊥平面 ABC．又平面 ADO∩平面 ABC＝AO，
∴DE⊥平面 ABC．
∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE＝3．
又 DO＝
2
3 BD＝2 3 ，
在 Rt△DEO 中，sin ＝
DO
DE ＝
2
3 ，
故二面角 A－BC－D 的正弦值为
2
3 ．
(3)当 ＝90°时，四面体 ABCD 的体积最大．
18．证明：(1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中点．∴△DD1E 为
等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴ 90DEC ，即 DE⊥EC．
在长方体 ABCD－ 1111 DCBA 中，BC⊥平面 11DCCD ，又 DE 平面 11DCCD ，
∴BC⊥DE．又 CBCEC ，∴DE⊥平面 EBC．∵平面 DEB 过 DE，∴平面 DEB⊥平面 EBC．
(2)解：如图，过 E 在平面 11DCCD 中作 EO ⊥DC 于 O．在长
方体 ABCD－ 1111 DCBA 中，∵面 ABCD⊥面 11DCCD ， ∴EO⊥面
ABCD．过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F，连结 EF， ∴EF⊥BD．∠EFO
为二面角 E－DB－C 的平面角．利用平面几何知识 可得 OF＝
5
1 ，
(第 18 题)
又 OE＝1，所以，tan EFO＝ 5 ．
19*．解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面＝ ABADBC )( ＋
2
1 ＝
4
3＝12
2
1＋1
，
∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V＝
3
1 ·SA·M 底面＝
3
1 ×1×
4
3 ＝
4
1 ．
(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱．
∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面 ABCD，得面 SEB⊥面 EBC，EB 是交线．
又 BC⊥EB，∴BC⊥面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB
上的射影，
∴CS⊥SE，∠BSC 是所求二面角的平面角．
∵SB＝ 22＋ABSA ＝ 2 ，BC＝1，BC⊥SB，
∴tan∠BSC＝
2
2＝
SB
BC ， (第 19 题)
即所求二面角的正切值为
2
2 ．
20*．解：如图，设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10，A1A
和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR， 使 AA1⊥截面 PQR，
AA1∥CC1，∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C，过 P 作 PO⊥QR 于 O， 则 PO ⊥ 侧 面
BB1C1C，且 PO＝6．
∴V 斜＝S△PQR·AA1＝
2
1 ·QR·PO·AA1
＝
2
1 ·PO·QR·BB1
＝
2
1 ×10×6
＝30．
第三章 直线与方程
A 组
一、选择题
1．若直线 x＝1 的倾斜角为 ，则 ( )．
A．等于 0 B．等于 C．等于
2
D．不存在
2．图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )．
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
3．已知直线 l1 经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线 l2 经过两点(2，1)、(x，6)，且 l1∥l2，
则 x＝( )．
(第 20 题)
(第 2 题)
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线 l 与过点 M(－ 3 ， 2 )，N( 2 ，－ 3 )的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是( )．
A．
3
B．
3
2 C．
4
D．
4
3
5．如果 AC＜0，且 BC＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|，若直线 PA 的方程为 x－y＋1
＝0，则直线 PB 的方程是( )．
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．过两直线 l1：x－3y＋4＝0 和 l2：2x＋y＋5＝0 的交点和原点的直线方程为( )．
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝ 0 D．3x＋19y＝0
8．直线 l1：x＋a2y＋6＝0 和直线 l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0 没有公共点，则 a 的值
是( )．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
9．将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a＞0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a＋1 个单位得直线 l'，
此时直线 l' 与 l 重合，则直线 l' 的斜率为( )．
A．
1＋a
a B．
1＋－
a
a C．
a
a 1＋ D．
a
a 1＋－
10．点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是( )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
二、填空题
11．已知直线 l1 的倾斜角 1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A，把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方
向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°，则直线 l2 的斜率 k2 的值为 ．
12．若三点 A(－2，3)，B(3，－2)，C(
2
1 ，m)共线，则 m 的值为 ．
13．已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点 D
的坐标为 ．
14．求直线 3x＋ay＝1 的斜率 ．
15．已知点 A(－2，1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为 ．
16．与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 ．
17．若一束光线沿着直线 x－2y＋5＝0 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方
程是 ．
三、解答题
18．设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分
别求 m 的值：
①l 在 x 轴上的截距是－3； ②斜率为 1．
19．已知△ABC 的三顶点是 A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线 l 平行于 AB，交 AC，BC
分别于 E，F，△CEF 的面积是△CAB 面积的
4
1 ．求直线 l 的方程．
20．一直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截得的线段的中点恰好是坐标原点，
求该直线方程．
21．直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l
的方程．
第三章 直线与方程
参考答案
A 组
一、选择题
1．C
解析：直线 x＝1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 90°．
2．D
解析：直线 l1 的倾斜角 1 是钝角，故 k1＜0；直线 l2 与 l3 的倾斜角 2， 3 均为锐角且
2＞ 3，所以 k2＞k3＞0，因此 k2＞k3＞k1，故应选 D．
3．A
解析：因为直线 l1 经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线 l1 的倾斜角为
2
，而 l1∥l2，所
以，直线 l2 的倾斜角也为
2
，又直线 l2 经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x＝2．
4．C
解析：因为直线 MN 的斜率为 1－＝
2－3－
3＋2 ，而已知直线 l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜率
为 1，故直线 l 的倾斜角是
4
．
5．C
解析：直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率 k＝
B
A ＜0，在 y 轴上的截距
B
CD＝－ ＞0，所以，直线不通
过第三象限．
6．A
解析：由已知得点 A(－1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线 PB 的方程是 x＋y－5＝0．
7．D
8．D
9．B
解析: 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线与 l
重合，这说明直线 l 和 l’ 的斜率均为负，倾斜角是钝角．设 l’ 的倾斜角为 ，则
tan ＝
1＋－
a
a ．
10．D
解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线 5x＋4y＋21＝0 是点 A(4，0)与所求点 A'(x，
(第 19 题)
y)连线的中垂线，列出关于 x，y 的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．
解析：设直线 l2 的倾斜角为 2，则由题意知：
180°－ 2＋15°＝60°， 2＝135°，
∴k2＝tan 2＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．
2
1 ．
解：∵A，B，C 三点共线，
∴kAB＝kAC，
2＋
2
1
3－＝
2＋3
3－2－ m ．解得 m＝
2
1 ．
13．(2，3)．
解析：设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC，
∴kAD·kCD＝－1，且 kAD＝kBC．
∴
0－
1－
x
y ·
3－
2－
x
y ＝－1，
0－
1－
x
y ＝1．
解得
1＝
0＝
y
x (舍去)
3＝
2＝
y
x
所以，第四个顶点 D 的坐标为(2，3)．
14．－
a
3 或不存在．
解析：若 a＝0 时，倾角 90°，无斜率．
若 a≠0 时，y＝－
a
3 x＋
a
1
∴直线的斜率为－
a
3 ．
15．P(2，2).
解析：设所求点 P(x，2)，依题意： 22 )12()2( x ＝ 22 )22()1( x ，解得 x＝2，故所求 P
点的坐标为(2，2)．
16．10x＋15y－36＝0．
解析：设所求的直线的方程为 2x＋3y＋c＝0，横截距为－
2
c ，纵截距为－
3
c ，进而得
c = －
5
36 ．
17．x＋2y＋5＝0．
解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称，故将直线方程中的 y 换成
－y．
三、解答题
18．①m＝－
3
5 ；②m＝
3
4 ．
解析：①由题意，得
32
62
2
mm
m ＝－3，且 m2－2m－3≠0．
(第 11 题)
解得 m＝－
3
5 ．
②由题意，得
12
32
2
2
mm
mm ＝－1，且 2m2＋m－1≠0．
解得 m＝
3
4 ．
19．x－2y＋5＝0．
解析：由已知，直线 AB 的斜率 k＝
13
11
＝
2
1 ．
因为 EF∥AB，所以直线 EF 的斜率为
2
1 ．
因为△CEF 的面积是△CAB 面积的
4
1 ，所以 E 是 CA 的中点．点 E 的坐标是(0，
2
5 )．
直线 EF 的方程是 y－
2
5 ＝
2
1 x，即 x－2y＋5＝0．
20．x＋6y＝0．
解析：设所求直线与 l1，l2 的交点分别是 A，B，设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为
(－x0，－y0)．
因为 A，B 分别在 l1，l2 上，
所以
0＝6－5＋3－
0＝6＋＋4
00
00
yx
yx
①＋②得：x0＋6y0＝0，即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，又直线 x＋6y＝0 过原点，所以直线 l 的
方程为 x＋6y＝0．
21．2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0．
解析：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6－a．
∴直线 l 的方程为 1＝－6
＋
a
y
a
x ．
∵点(1，2)在直线 l 上，∴ 1＝－6
2＋1
aa
，a2－5a＋6＝0，解得 a1＝2，a2＝3．当 a＝2 时，直线
的方程为 142
yx ，直线经过第一、二、四象限．当 a＝3 时，直线的方程为 133
yx ，直线经过第
一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为 2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0．
第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M(5，－7)，则圆 C 的半径为( )．
A． 5 B．5 C．25 D． 10
2．过点 A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 为( )．
A．0 或 2 B．2 C． 2 D．无解
①
②
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20 在 x 轴上截得的弦长是( )．
A．8 B．6 C．6 2 D．4 3
6．两个圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与 C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆 x2＋y2－2x－5＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线
的方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆 x2＋y2－2x＝0 和圆 x2＋y2＋4y＝0 的公切线有且仅有( )．
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
9．在空间直角坐标系中，已知点 M(a，b，c)，有下列叙述：
点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a，－b，c)；
点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a，－b，－c)；
点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a，－b，c)；
点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点 A(－3，4，0)与点 B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2 43 B．2 21 C．9 D． 86
二、填空题
11．圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上的动点 Q 到直线 3x＋4y＋8＝0 距离的最小值为 ．
12．圆心在直线 y＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点 C(－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ．
14．两圆 x2＋y2＝1 和(x＋4)2＋(y－a)2＝25 相切，试确定常数 a 的值 ．
15．圆心为 C(3，－5)，并且与直线 x－7y＋2＝0 相切的圆的方程为 ．
16．设圆 x2＋y2－4x－5＝0 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 ．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线 3x＋4y＋15＝0 分成 1∶2 两部分的圆的方程．
18．求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的方程(ab≠0)．
19．求经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程．
20．求经过点(8，3)，并且和直线 x＝6 与 x＝10 都相切的圆的方程．
第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B
圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径， 22 7＋3－＋5－2 )()( ＝5．
2．C
解析一：由圆心在直线 x＋y－2＝0 上可以得到 A，C 满足条件，再把 A 点坐标
(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．
∴选 C．
解析二：设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在直线 x＋y－2＝0 上，∴b＝2－a．由
|CA|＝|CB|，得(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，解得 a＝1，b＝1．
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
3．B
解析：∵与 x 轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)，
∴圆方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16．
4．B
解析：∵x＋y＋m＝0 与 x2＋y2＝m 相切，
∴(0，0)到直线距离等于 m ．
∴
2
m ＝ m ，
∴m＝2．
5．A
解析：令 y＝0，
∴(x－1)2＝16．
∴ x－1＝±4，
∴x1＝5，x2＝－3．
∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B
解析：由两个圆的方程 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4 可求得圆心距 d＝
13 ∈(0，4)，r1＝r2＝2，且 r 1－r 2＜d＜r 1＋r2 故两圆相交，选 B．
7．A
解析：对已知圆的方程 x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得
(x－1)2＋y2＝6，(x＋1)2＋(y－2)2＝9．
圆心分别为 C1(1，0)，C2(－1，2)．
直线 C1C2 的方程为 x＋y－1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1 和 x2＋(y＋2)2＝4，两圆圆心分别为 O1(1，0)，
O2(0，－2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝ 22 2＋1 ＝ 5 ，又 1＝r2－r1＜ 5 ＜r1＋r2＝3，故两圆相交，
所以有两条公切线，应选 C．
9．C
解：①②③错，④对．选 C．
10．D
解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．
解析：圆心到直线的距离 d＝
5
8＋4＋3 ＝3，
∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d－r＝3－1＝2．
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1．
13．(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与 y 轴相切，所以圆的半径为 2．故所求圆的方程为(x＋2)2
＋(y－3)2＝4．
14．0 或±2 5 ．
解析：当两圆相外切时，由|O1O2|＝r1＋r2 知 22＋4 a ＝6，即 a＝±2 5 ．
当两圆相内切时，由|O1O2|＝r1－r2(r1＞r2)知
22＋4 a ＝4，即 a＝0．
∴a 的值为 0 或±2 5 ．
15．(x－3)2＋(y＋5)2＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线 x－7y＋2＝0 的距离；
16．x＋y－4＝0．
解析：圆 x2＋y2－4x－5＝0 的圆心为 C(2，0)，P(3，1)为弦 AB 的中点，所以直线 AB 与直线
CP 垂直，即 kAB·kCP＝－1，解得 kAB＝－1，又直线 AB 过 P(3，1)，则所求直线方程为 x＋y－4＝0．
三、解答题
17．x2＋y2＝36．
解析：设直线与圆交于 A，B 两点，则∠AOB＝120°，设
所求圆方程为：x2＋y2＝r2，则圆心到直线距离为
5
15
2
r ，所
以 r＝6，所求圆方程为 x2＋y2＝36．
(第 17 题)
18．x2＋y2－ax－by＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．
∵圆过(a，0)和(0，b)，
∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．
又∵a≠0，b≠0，
∴D＝－a，E＝－b．
故所求圆方程为 x2＋y2－ax－by＝0．
19．x2＋y2－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵A，B 两点在圆上，代入方程整理得：
D－3E－F＝10 ①
4D＋2E＋F＝－20 ②
设纵截距为 b1，b2，横截距为 a1，a2．在圆的方程中，令 x＝0 得 y2＋Ey＋F＝0，
∴b1＋b2＝－E；令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．
由已知有－D－E＝2．③
①②③联立方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
根据题意：r＝
2
610 ＝2，
圆心的横坐标 a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得 b＝5 或 b＝1，
所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4 或(x－8)2＋(y－1)2＝4．
高一数学阶段测试题
1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A）因为 ,P Q ，所以 PQ
（B）因为 P ，Q ，所以 =PQ
（C）因为 AB ，CAB，DAB，所以 CD
（D）因为 AB AB ， ,所以 =AB
2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= ( )
A、 -3 B、-6 C、 2
3 D、 3
2
3 棱长为 a 的正方体有一个内切球，该球的表面积为 （ ）
A、 2a B、2 2a C、3 2a D、 a 24
4. 若直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线（ ）
（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面 内的所有直线 （D）不存在
5. 倾斜角为 135 ，在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是（ ）
A． 01 yx B． 01 yx C． 01 yx D． 01 yx
6. 长方体的三个面的面积分别是 632 、、 ，则长方体的体积是（ ）．
A． 23 B． 32 C． 6 D．6
7.已知三条不同的直线l 、 m 、 n 与两个不同的平面 、 ，给出下列四个命题：
①若 m∥l ，n∥l ，则 m∥n ②若 m⊥ ，m∥ ， 则 ⊥
③若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n ④若 m⊥ ， ⊥ ，则 m∥ 或 m
其中假命题是（ ）．(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④
8．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第 10 题)
9．．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋ 2 B． 2
21＋
C． 2
2＋2
D． 2＋1
10 以 A（1，3），B（-5,1）为端点的线段的垂直平分线
方程是（ ）
A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
11 如图，直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3，
则必有
A. k1
bd B、 d
b
c
a
C、a + c > b + d D、a－c > b－d
9.数列{ }na 满足 1n na a n ，且 1 1a ，则 8a （ ）．
A.29 B．28 C．27 D．26
10.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30 ，测得塔
基的俯角为 45，那么塔的高度是（ ）米．
A．
320(1 )3
B．
320(1 )2
C． 20(1 3) D．30
11．在 ABC 中，若 2 2 2 2sin sinb C c B 2 cos cosbc B C ，则 ABC 是 （ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．等差数列{ }na 满足 5 97 5a a ，且 1 17a ，则使数列前 n 项和 nS 最小的 n 等于（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共 4 题，每题 4 分）
13．已知 0<2a<1,若 A=1+a2, B= a1
1
, 则 A 与 B 的大小关系是 。
14．若数列 na 的前 n 项和
2 10 ( 1 2 3 )nS n n n ，， ， ，则此数列的通项公式 ．
15．在 ABC△ 中，若
1tan 3A
， 150C ， 1BC ，则 AB ．
16． ABC 中， a b c、 、 分别是 A B C 、 、 的对边，下列条件
① 26 , 15, 23b c C ； ② 84 , 56 , 74a b c ；
③ 34 , 56 , 68A B c ； ④ 15, 10 , 60a b A
能唯一确定 ABC 的有 （写出所有正确答案的序号）．
三．解答题（共 6 题，17,18,19,20,21 每题 12 分，22 题 14 分）
17、已知等差数列前三项为 ,4,3a a ，前 n 项的和为 ns ， ks ＝2550.
（1）求 a 及 k 的值； （2）求 1 2
1 1 1
ns s s
18、设{ }na 是一个公差为 ( 0)d d 的等差数列，它的前10项和 10 110S ，且满足
2
2 1 4a a a ．
求数列{ }na 的通项公式．
19． 在 ABC△ 中，已知 45B ， D 是 BC 上一点，
5, 7 , 3AD AC DC ，求 AB 的长．
20．在 ABC△ 中，
1tan 4A
，
3tan 5B
．
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若 ABC△ 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
21．某村计划建造一个室内面积为 800 2m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧
内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜
的种植面积最大。最大种植面积是多少？
22.已知等比数列{an}满足 a1+a6=11，且 a3a4= 9
32
. （1）求数列{an}的通项 an；
D
C
A
B
（2）如果至少存在一个自然数 m，恰使 13
2
ma
， 2ma ，am+1+ 9
4
这三个数依次成等差数列，问这
样的等比数列{an}是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.
答案
一选择题 BABDB CBCAA CB
填空题 13. A0,下面的四个等式中，正确的是（ ）
A.lg( ) lg lgab a b ； B.lg lg lga a bb
； C．
b
a
b
a lg)lg(2
1 2 ； D. 1lg( ) log 10ab
ab ．
5．已知 3log 2a ，那么 3 3log 8 2log 6 用 a 表示是（ ）
A、5 2a B、 2a C、 23 (1 )a a D、 23 1a a
6．函数 xy 2log2 （ )1x 的值域为 （ ）
A、 2, B、 ,2 C、 2, D、 3,
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分）
7．已知函数 )]9
1(f[f,)0x(2
0)(xxlog)x(f x
3 则，
，
的值为
8．计算： 4 5 3log 27 log 8 log 25 =
9．若 n3log,m2log aa ，则 2
n3m
a
=
10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低 1
3
，问现在
价格为 8100 元的计算机经过 15 年后，价格应降为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分).
11．（16 分）计算：
4 1
6 0.25 03 43 2162 3 2 2 4 2 8 200549
（ ） （ ） （ ） （ ）
12．设函数
4
2 1( )
log 1
x xf x
x x
, 求满足 ( )f x =
4
1 的 x 的值．
13.（18 分）已知函数 )1a(log)x(f x
a )1a0a( 且 ，（1）求 f(x)的定义域；（2）讨论
函数 f(x)的增减性。
14．（附加题）已知 ( ) 2xf x ， ( )g x 是一次函数，并且点(2,2) 在函数 [ ( )]f g x 的图象上，点(2,5) 在
函数 [ ( )]g f x 的图象上，求 ( )g x 的解析式．
高一数学必修 1（A 卷）参考答案
一、DDADAA
二、7．2； 8．12； 9．（1，2）； 10．x<4 ；
三、11 解：（1）原式= 9log7
63log7log63log)7(log63log 3333
2
33 =2
（2）原式= 2
26
3
7
3
5
63
7
3
5 1
a
aaaaa
12．解：∵ 0a ， ∴ 112 a ∴ 指数函数 y=( 12 a ) x 在 R 上为增函数。
从而有 133 xx 解得 2x ∴不等式的解集为：{ }2| xx
13．解：(1) ∵ (f 2）=1，∴ 1)22(log 2 a 即 12log a 解锝 a=2
(2 ) 由（1）得函数 )2(log)( 2
2 xxf ，则 )23(f = 416log]2)23[(log 2
2
2
（3）不等式 )2()( xfxf 即为 ]2)2[(log)2(log 2
2
2
2 xx
化简不等式得 )24(log)2(log 2
2
2
2 xxx
∵函数 上为增函数在 ),0(log 2 xy ，∴ 242 22 xxx
即 4 4x 解得 1x 所以不等式的解集为：（-1，+ )
14．（附加题）解：（1）由已知得：
2
5 2 22
17 4 24
a b
a b
，解得 1
0
a
b
．
（2）由上知 2 2x xf x ．任取 x R ，则 2 2 xxf x f x ，所以 f x 为偶函数．
（3）可知 f x 在( ,0] 上应为减函数．下面证明：
任取 1 2 ( ,0]x x 、 ，且 1 2x x ，则
1 1 2 2
1 2 2 2 2 2x x x xf x f x 1 2
1 2
1 12 2 ( )
2 2
x x
x x
＝ 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 1
2 2
x x x x
x x
，因为 1 2 ( ,0]x x 、 ，且 1 2x x ，所以 1 20 2 2 1x x ，从而
1 22 2 0x x ， 1 22 2 1 0x x ， 1 22 2 0x x ， 故 1 2 0f x f x ，由此得函数 f x 在 ( ,0] 上为减
函数
高一数学必修 1（B 卷）参考答案
三、 DABCBC
四、 7、9; 8、
4
1 ; 9、
3
62 ；10、2400 元;
三、11、解：原式= 1 41 1 1 1 3
63 32 2 4 4 47(2 3 ) (2 2 ) 4 2 2 14
=22×3 3 +2 — 7— 2— 1=100
12、解:当 x∈(﹣∞，1)时，由 x2 =
4
1 ，得 x=2，但 2（﹣∞，1），舍去。
当 x∈(1，+∞)时，由 log4x=
4
1 ，得 x= 2 ， 2 ∈(1，+∞)。
综上所述，x= 2
}0|{,10
}0|x{,1
1a
01(1)a:.13
x
x
xxa
xa
函数的定义域为时当
函数的定义域为时当
解
.)0,()(,10
;),0()(,1)2(
上递增在时当
上递增在时当
xfa
xfa
14．（附加题）解： g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)＝kx+b (k 0)
∴f ( )g x =2 kx b g ( )f x =k2 x +b
∴依题意得
2
2
2 2
2 5
k b
k b
即 2 1 2
4 5 3
k b k
k b b
∴ ( ) 2 3g x x ．
数学必修 1 第三章测试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 函数 1log (5 4 )x
xy 的定义域是（ ）。
A. ( 1, 0) B. 4(0, log 5) C. 4( 1, log 5) D. 4( 1, 0) (0, log 5)
2. 函数 log ( 2) 1ay x 的图象过定点（ ）。
A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）
3. 设 2(log ) 2 ( 0)xf x x ，则 (3)f 的值为（ ）。
A. 128 B. 256 C. 512 D. 8
4.
2
5log ( )
5 a
化简的结果是（ ）。
A. –a B. 2a C. |a| D. a
5. 函数 0.2 1xy 的反函数是（ ）。
A. 5log 1y x B. 5log ( 1)y x
C. log 5 1xy D. 5log 1y x
6. 若 23 1log ay x 在（0，+∞）内为减函数，且 xy a 为增函数，则 a 的取值范围是（ ）。
A. 3( , 1)3
B. 1(0, )3
C. 3(0, )3
D. 3 6( , )3 3
7. 设 0, 1, , 0x xx a b a b 且 ，则 a、b 的大小关系是（ ）。
A.b＜a＜1 B. a＜b＜1 C. 1＜b＜a D. 1＜a＜b
8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A.
1
2 xy B.
11
2
x
y
C. 1( ) 12
xy D. 1 2xy
9. 设偶函数 ( )f x 在[0，π]上递减，下列三个数 a= 1 2(lg ), ( ), ( )100 2 3f b f c f 的关系为（ )。
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞a＞b
10. 已知 0＜a＜1，b＞1，且 ab＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
A. 1 1log log loga b ab b b
B. 1 1log log logb a abb b
C. 1 1log log loga a bb b b
D. 1 1log log logb a a bb b
11. 定义运算 a b 为： , ( )
, ( ) ,
a a ba b b a b
如1 2 1 ，则函数 ( )f x 2 2x x 的值域为（ ）。
A. R B. （0，+∞） C. （0，1] D. [1，+∞）
12. 设 a、b、c 都是正数，且3 4 6a b c ，则以下正确的是（ ）。
A. 1 1 1
c a b
B. 2 2 1
c a b
C. 1 2 2
c a b
D. 2 1 2
c a b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.
13.
8
51 3 23x x
化成分数指数幂为 。
14. 若不等式 log ( 3) log ( 2)a ax x 成立，则 x 的取值范围是 ，a 的取值范围是 。
15. 已知 4log (9 2) 0m m ，则 m 的取值范围是 。
16. 给出下列四种说法：
⑴ 函数 ( 0, 1)xy a a a 与函数 log ( 0, 1)x
ay a a a 的定义域相同；
⑵ 函数 3 3xy x y 与 的值域相同；
⑶ 函数
2(1 2 )1 1
2 2 1 2
x
x xy y
x
与 均是奇函数；
⑷ 函数 2( 1) 2 1 (0, )y x y x 与 在 上都是增函数。
其中正确说法的序号是 。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知 3 5( ) xf x a ，且 (lg ) 100f a ，求 a 的值。
18. 已知函数 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最大值比最小值大 1
2
，求 a 的值。
19. 已知指数函数 1( )xy a
，当 (0, )x 时，有 1y ，解关于 x 的不等式 2log ( 1) log ( 6)a ax x x 。
20. 已知函数 ( ) log (1 ) ( 0, 1)x
af x a a a 。
⑴ 求 ( )f x 的定义域；
⑵ 当 a＞1 时，判断函数 ( )f x 的单调性，并证明你的结论。
21. 设 ( )f x 1 2 4lg ( )3
x x a a R ，若当 ( , 1]x 时， ( )f x 有意义，求 a 的取值范围。
22. 某商品在最近 100 天内的价格 ( )f t 与时间 t 的函数关系是：
1 22 (0 40, )4( ) 1 52 (40 100, ),2
t t t N
f t
t t t N
销售量 ( )g t 与时间 t 的函数关系是： g(t) = －
3
1 t +
3
109 (0≤t≤100 , t∈N), 求这种商
品的日销售额 S(t)的最大值。
参考答案
二、 DDBCB DBBBA CB
提示：1.
4log 55 4 0
1 0 1
1 1, 0
x x
x x
x x
故选 D。
2. 代入验证。
3. 设 2log 3x ，则 32 8x ，代入已知等式，得 8(3) 2 256f 。
4.
2 2
5 5 5log ( ) log ( ) log | |
5 5 5 | |a a a
a
5. 由 0.2 1xy ，得 1 15
x
y
即5 1x y ，两边取对数，得 5log ( 1)x y ，即 5log ( 1)y x 。
6. 解不等式组
20 3 1 1
1 1,
a
a
即可。
7. 由指数函数的性质，得 0＜a＜1，0＜b＜1，又由幂函数 ny x 的性质知，当 n＞0 时，它在第
一象限内递增，故 a＜b＜1。
8. 在
1
2 xy 中 0x ，∴ 1 0, 1yx
；在 1( ) 12
xy 中，值域为（-1，+∞）；而 1 2xy 的值
域为[0，1）。
9. 由 题 意 知 ， 2( 2) (2), ( ), ( )2 3a f f b f c f ， 因 为 ( )f x 在 [0 ， π ] 上 递 减 ， 且
20 22 3
， ∴ 2( ) (2) ( )2 3f f f ， 即 b＞a＞c。
10. 取 1 , 42a b 。
11. 由题意知， a b 的结果为 a、b 中较小者，于是 ( )f x 2 2x x 的
图象就是 2 2x xy y 与 的图象的较小的部分（如 图），故值域为（0，
1]。
12. 设 3 4 6a b c k ，则 k＞0 且 k≠1，取对数得
3 4 6log , log , loga k b k c k ，
∴ 1 1 1log 3, log 4 2log 2, log 6 log 2 log 3k k k k k ka b c
，
∴ 2 2 1
c a b
。
二、13.
4
15x 。提示：原式=
8
1 2 1 4 41 5
3 3 3 5 152( ) ( )x x x x
。
14. 2, 0 1x a 。提示：∵ 3 2,x x 且 log ( 3) log ( 2)a ax x ，
∴ 0＜a＜1。 由 3 0
2 0
x
x
，得 2x 。
15. 2 1 1( , ) ( , )9 4 3
。提示：解不等式组 0 4 1 4 1
0 9 2 1 9 2 1
m m
m m
或 。
16. ⑴⑶。提示：⑴中两个函数的定义域都是 R；⑵中两个函数的值域分别是 R 与（0，+∞）；⑶
1
x
y
O
中两个函数均满足 ( ) ( )f x f x ，是奇函数；⑷中函数 2( 1)y x 在 (0, ) 不是增函数。
三、17. 解：因为 3lg 5(lg ) 100af a a ，两边取对数，得 lg (3lg 5) 2a a ，
所以 23(lg ) 5lg 2 0a a ，解得 1lg lg 23a a 或 ，
即
1
310 100a a
或 。
18. 解：若 a＞1，则 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最大值为 log 8a ，最小值为 log 2a ，
依题意，有 1log 8 log 2 2a a ，解得 a = 16；
若 0＜a＜1，则 ( ) log ( 1) ( 0, 1)af x x a a 在区间[1，7]上的最小值为 log 8a ，最大值为
log 2a ，依题意，有 1log 2 log 8 2a a ，解得 a = 1
16
。
综上，得 a = 16 或 a = 1
16
。
19. 解：∵ 1( )xy a
在 (0, )x 时，有 1y ， ∴ 1 1, 0 1aa
即 。
于是由 2log ( 1) log ( 6)a ax x x ，得
2
2
1 6
6 0
x x x
x x
，
解得 2 5x ， ∴ 不等式的解集为{ | 2 5}x x 。
20. 解：⑴ 由1 0xa ，得 1xa 。
当 a＞1 时，解不等式 1xa ，得 0x ；
当 0＜a＜1 时，解不等式 1xa ，得 0x 。
∴ 当 a＞1 时， ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ；当 0＜a＜1 时， ( )f x 的定义域为{ | 0}x x 。
⑵ 当 a＞1 时， ( )f x 在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
设 1 2,x x 是（-∞，0）内的任意两个数，且 1 2x x ，则
1( )f x - 2( )f x = 1
1 2
2
1log (1 ) log (1 ) log
1
x
x x
a a a x
aa a
a
，
∵ a＞1， 1 2 0x x ， ∴ 1 20 1x xa a ， ∴ 1 21 1 0x xa a 。
从而 1 1
2 2
1 11, log 0
1 1
x x
ax x
a a
a a
，即 1( )f x ＞ 2( )f x .
∴当 a＞1 时， ( )f x 在（-∞，0）上递减。
21. 解：根据题意，有1 2 4 03
x x a ， ( , 1]x ，
即 1 1( ) ( )4 2
x xa
， ( , 1]x ，
∵ 1 1( ) ( )4 2
x x 与 在 ( , 1] 上都是增函数，
∴ 1 1[( ) ( ) ]4 2
x x 在 ( , 1] 上也是增函数，
∴ 它在 1x 时取最大值为 1 1 3( )4 2 4
，
即 1 1 3( ) ( )4 2 4
x x
，
∴ 3
4a 。
22. 解：因为 ( ) ( ) ( )S t f t g t ，所以
⑴ 当 1 1 109 10 40 , ( ) ( 22)( ) ( ) ( 88)( 109)4 3 3 12t S t t t S t t t 时 ，即 ，从而可知当
max10 11 808.5t S 或 时, ；
⑵ 1 1 109 140 100 , ( ) ( 52)( ) ( 104)( 109)2 3 3 6t S t t t t t 当 时 ，当 t = 40 时， max 736 808.5S 。
综上可得， max0 100 , 808.5t S 当 时 。
答：在最近的 100 天内，这种商品的日销售额的最大值为 808.5。
第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图 左视图 俯视图
(第 1 题)
A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 正八面体
2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋ 2 B．
2
21＋ C．
2
2＋2 D． 2＋1
3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A． 3 ∶1 B． 3 ∶2 C．2∶ 3 D． 3 ∶3
6．在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成
的几何体的体积是( )．
A．
2
9 π B．
2
7 π C．
2
5 π D．
2
3 π
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9 和 15，
则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF＝
2
3 ，且 EF
与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )．
A．
2
9 B．5 C．6 D．
2
15
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第 10 题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱
台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是 1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________
13．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 是上底面 ABCD 的中心，若正方体的棱长为 a，则三棱锥 O－
AB1D1 的体积为_____________．
14．如图，E，F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面
上的射影可能是___________．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，则这个长方体的对角线
长是___________，它的体积为___________．
16．一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9 厘米
(第8题)
则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190 L，假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40
cm，求它的深度．
18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正
方体的对角面作截面]
19．如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2 ，AD＝2，求四
边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面
直径为 12 m，高 4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是
新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章 空间几何体
参考答案
A 组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A
解析：原图形为一直角梯形，其面积 S＝
2
1 (1＋ 2 ＋1)×2＝2＋ 2 ．
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则 S 表面＝4×
4
3 ＝ 3 ．
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
l＝ 222 5＋4＋3 ＝5 2 ，2R＝5 2 ，R＝
2
25 ，S＝4πR2＝50π．
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
解析：V＝V 大－V 小＝
3
1 πr2(1＋1.5－1)＝
2
3 π．
7．D
解析：设底面边长是 a，底面的两条对角线分别为 l1，l2，而 2
1l ＝152－52， 2
2l ＝92－52，
而 2
1l ＋ 2
2l ＝4a2，即 152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．
8．D
解析：过点 E，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×
3
1 ×
4
3 ×3×2＋
2
1 ×3×2×
2
3 ＝
2
15 ．
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；
平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选 D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2 2 ∶3 3 ．
r1∶r2∶r3＝1∶ 2 ∶ 3 ， 3
1r ∶ 3
2r ∶ 3
3r ＝13∶( 2 )3∶( 3 )3＝1∶2 2 ∶3 3 ．
13．参考答案： 3
6
1 a ．
解析：画出正方体，平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点，
三棱锥 O－AB1D1 的高 h＝
3
3 a，V＝
3
1 Sh＝
3
1 ×
4
3 ×2a2×
3
3 a＝
6
1 a3．
另法：三棱锥 O－AB1D1 也可以看成三棱锥 A－OB1D1，它的高为 AO，等腰三角形 OB1D1 为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案： 6 ， 6 ．
解析：设 ab＝ 2 ，bc＝ 3 ，ac＝ 6 ，则 V = abc＝ 6 ，c＝ 3 ，a＝ 2 ，b＝1，
l＝ 1＋2＋3 ＝ 6 ．
16．参考答案：12．
解析：V＝Sh＝πr2h＝
3
4 πR3，R＝ 3 2764× ＝12．
三、解答题
17．参考答案：
V＝
3
1 (S＋ SS ′ ＋S)h，h＝
SSSS
V
′＋′＋
3 ＝
6001＋4002＋6003
0001903× ＝75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，则 CC'＝a，OC＝
2
2 a，
OC'＝R．
C'A'
COA
(第 18 题)
在 Rt△C'CO 中，由勾股定理，得 CC' 2＋OC2＝OC' 2，
即 a2＋(
2
2 a)2＝R2．
∴R＝
2
6 a，∴V 半球＝
2
6 πa 3 ，V 正方体＝a 3 ．
∴V 半球 ∶V 正方体＝ 6 π∶2．
19．参考答案：
S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2
＝(60＋4 2 )π．
V＝V 台－V 锥
＝
3
1 π( 2
1r ＋r1r2＋ 2
2r )h－
3
1 πr2h1
＝
3
148 π．
20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，则仓库的体积
V1＝
3
1 Sh＝
3
1 ×π×(
2
16 )2×4＝
3
256 π(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的体积
V2＝
3
1 Sh＝
3
1 ×π×(
2
12 )2×8＝
3
288 π(m3)．
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，半径为 8 m．
棱锥的母线长为 l＝ 22 4＋8 ＝4 5 ，
仓库的表面积 S1＝π×8×4 5 ＝32 5 π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成 8 m．
棱锥的母线长为 l＝ 22 6＋8 ＝10，
仓库的表面积 S2＝π×6×10＝60π(m2)．
(3) 参考答案：∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济些．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A 组
一、选择题
1．设 ， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l ，m⊂ ，有如下的两个命
题：①若∥ ，则 l∥m；②若 l⊥m，则⊥ ．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误．．的是( )．
A．BD∥平面 CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面 CB1D1
D．异面直线 AD 与 CB1 角为 60°
3．关于直线 m，n 与平面 ， ，有下列四个命题：
①m∥ ，n∥ 且∥ ，则 m∥n； ②m⊥ ，n⊥ 且⊥ ，则 m⊥n；
③m⊥ ，n∥ 且∥ ，则 m⊥n； ④m∥ ，n⊥ 且⊥ ，则 m∥n．
其中真命题的序号是( )．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线 l1，l2 与同一平面所成的角相等，则 l1，l2 互相平行
④若直线 l1，l2 是异面直线，则与 l1，l2 都相交的两条直线是异面直线
其中假．命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l∥
②若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6． 两直线 l1 与 l2 异面，过 l1 作平面与 l2 平行，这样的平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的．．．．是( )．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
(第 2 题)
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线 a，b 所成的角 60°，直线 a⊥c，则直线 b 与 c 所成的角的范围为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]
二、填空题
11．已知三棱锥 P－ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，
S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P 是△ABC 所在平面 外一点，过 P 作 PO⊥平面 ，垂足是 O，连 PA，PB，PC．
(1)若 PA＝PB＝PC，则 O 为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则 O 是△ABC 的 心；
(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是△ABC 的 心；
(4)若 PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则 O 是 AB 边的 点；
(5)若 PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点 O 在△ABC 的 线上．
13．如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为 各边的中点，G，H，
I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将△ABC 沿 DE， EF，DF 折成三棱锥
以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 ．
14．直线 l 与平面 所成角为 30°，l∩ ＝ A，直线 m∈ ，则
m 与 l 所成角的取值范围
是 ．
15．棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向 各面引垂线，垂线
段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1＋d2＋d3＋d4 的值为 ．
16．直二面角 －l－ 的棱上有一点 A，在平面 ， 内各有一条射线 AB，AC 与 l
成 45°，AB ，AC ，则∠BAC＝ ．
三、解答题
17．在四面体 ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面 角 A－BC－D 的正弦
值；
(3)设二面角 A－BC－D 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体
A－BCD 的体积最大．(不要求证明)
J
(第 13 题)
(第 17 题)
18． 如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中点，连结 ED，EC，
EB 和 DB．
(1)求证：平面 EDB⊥平面 EBC；
(2)求二面角 E－DB－C 的正切值.
19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
2
1 ．
(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积；
(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)
(第 19 题)
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱柱的体
积．(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)
(第 20 题)
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A 组
一、选择题
1．D
解析：命题②有反例，如图中平面 ∩平面 ＝直线 n，
l⊂ ，m⊂ ，
(第 18 题)
且 l∥n，m⊥n，则 m⊥l，显然平面 不垂直平面 ，
(第 1 题)
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D
解析：异面直线 AD 与 CB1 角为 45°．
3．D
解析：在①、④的条件下，m，n 的位置关系不确定．
4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案 D．
5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面 ABCD 外，但 AA1 与平面 ABCD 相交，
①不正确；A1B1∥平面 ABCD，显然 A1B1 不平行于 BD， ②不正确；A1B1
∥AB，A1B1∥平面 ABCD，但 AB⊂平面 ABCD 内，③不 正确；l 与平面
α平行，则 l 与 无公共点，l 与平面 内 的 所 有 直 线 都
没 有 公 共 点 ， ④ 正 确 ， 应 选 B ．
(第 5 题)
6．B
解析：设平面 过 l1，且 l2∥ ，则 l1 上 一定点 P 与 l2
确定一平面 ， 与 的交线 l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一
条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.
7．C
解析：当三棱锥 D－ABC 体积最大时，平面 DAC⊥ABC，取 AC 的中点 O，则△DBO 是等腰直角三
角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这
些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选 B．
10．A
解析：异面直线a，b 所成的角为 60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’
∥b， c’∥c. 若 a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的
范围为(30°，90°]，所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题
11．
3
1
3212 SSS ．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c．
则
2
1 ab＝S1，
2
1 bc＝S2，
2
1 ca＝S3 三式相乘：
∴
8
1 a2 b2 c2＝S1S2S3，
∴ abc＝2 3212 SSS ．
∵ 三侧棱两两垂直，
∴ V＝
3
1 abc·
2
1 ＝
3
1
3212 SSS ．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．
解析：将△ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60°．
14．[30°，90°]．
解析：直线 l 与平面 所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当
旋转就可以得到 l⊥m，即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°．
15．
3
6 ．
解析：作等积变换：
4
3
3
1 ×(d1＋d2＋d3＋d4)＝
4
3
3
1 ·h，而 h＝
3
6 ．
16．60°或 120°．
解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能．
三、解答题
17．证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DO．
∵△ABC，△BCD 都是边长为 4 的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且 AO∩DO＝O，
∴BC⊥平面 AOD．又 AD 平面 AOD，
∴BC⊥AD． (第 17 题)
解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A－BC－D 的平面角，设∠AOD＝ ，则过点 D 作 DE⊥AD，垂足
为 E．
∵BC⊥平面 ADO，且 BC 平面 ABC，
∴平面 ADO⊥平面 ABC．又平面 ADO∩平面 ABC＝AO，
∴DE⊥平面 ABC．
∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE＝3．
又 DO＝
2
3 BD＝2 3 ，
在 Rt△DEO 中，sin ＝
DO
DE ＝
2
3 ，
故二面角 A－BC－D 的正弦值为
2
3 ．
(3)当 ＝90°时，四面体 ABCD 的体积最大．
18．证明：(1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中点．∴△DD1E 为
等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴ 90DEC ，即 DE⊥EC．
在长方体 ABCD－ 1111 DCBA 中，BC⊥平面 11DCCD ，又 DE 平面 11DCCD ，
∴BC⊥DE．又 CBCEC ，∴DE⊥平面 EBC．∵平面 DEB 过 DE，∴平面 DEB⊥平面 EBC．
(2)解：如图，过 E 在平面 11DCCD 中作 EO ⊥DC 于 O．在长
方体 ABCD－ 1111 DCBA 中，∵面 ABCD⊥面 11DCCD ， ∴EO⊥面
ABCD．过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F，连结 EF， ∴EF⊥BD．∠EFO
为二面角 E－DB－C 的平面角．利用平面几何知识 可得 OF＝
5
1 ，
(第 18 题)
又 OE＝1，所以，tan EFO＝ 5 ．
19*．解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面＝ ABADBC )( ＋
2
1 ＝
4
3＝12
2
1＋1
，
∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V＝
3
1 ·SA·M 底面＝
3
1 ×1×
4
3 ＝
4
1 ．
(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱．
∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面 ABCD，得面 SEB⊥面 EBC，EB 是交线．
又 BC⊥EB，∴BC⊥面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB
上的射影，
∴CS⊥SE，∠BSC 是所求二面角的平面角．
∵SB＝ 22＋ABSA ＝ 2 ，BC＝1，BC⊥SB，
∴tan∠BSC＝
2
2＝
SB
BC ， (第 19 题)
即所求二面角的正切值为
2
2 ．
20*．解：如图，设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10，A1A
和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR， 使 AA1⊥截面 PQR，
AA1∥CC1，∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C，过 P 作 PO⊥QR 于 O， 则 PO ⊥ 侧 面
BB1C1C，且 PO＝6．
∴V 斜＝S△PQR·AA1＝
2
1 ·QR·PO·AA1
＝
2
1 ·PO·QR·BB1
＝
2
1 ×10×6
＝30．
第三章 直线与方程
A 组
一、选择题
1．若直线 x＝1 的倾斜角为 ，则 ( )．
A．等于 0 B．等于 C．等于
2
D．不存在
2．图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )．
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
3．已知直线 l1 经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线 l2 经过两点(2，1)、(x，6)，且 l1∥l2，
则 x＝( )．
(第 20 题)
(第 2 题)
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线 l 与过点 M(－ 3 ， 2 )，N( 2 ，－ 3 )的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是( )．
A．
3
B．
3
2 C．
4
D．
4
3
5．如果 AC＜0，且 BC＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|，若直线 PA 的方程为 x－y＋1
＝0，则直线 PB 的方程是( )．
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．过两直线 l1：x－3y＋4＝0 和 l2：2x＋y＋5＝0 的交点和原点的直线方程为( )．
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝ 0 D．3x＋19y＝0
8．直线 l1：x＋a2y＋6＝0 和直线 l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0 没有公共点，则 a 的值
是( )．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
9．将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a＞0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a＋1 个单位得直线 l'，
此时直线 l' 与 l 重合，则直线 l' 的斜率为( )．
A．
1＋a
a B．
1＋－
a
a C．
a
a 1＋ D．
a
a 1＋－
10．点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是( )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
二、填空题
11．已知直线 l1 的倾斜角 1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A，把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方
向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°，则直线 l2 的斜率 k2 的值为 ．
12．若三点 A(－2，3)，B(3，－2)，C(
2
1 ，m)共线，则 m 的值为 ．
13．已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点 D
的坐标为 ．
14．求直线 3x＋ay＝1 的斜率 ．
15．已知点 A(－2，1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为 ．
16．与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 ．
17．若一束光线沿着直线 x－2y＋5＝0 射到 x 轴上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方
程是 ．
三、解答题
18．设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分
别求 m 的值：
①l 在 x 轴上的截距是－3； ②斜率为 1．
19．已知△ABC 的三顶点是 A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线 l 平行于 AB，交 AC，BC
分别于 E，F，△CEF 的面积是△CAB 面积的
4
1 ．求直线 l 的方程．
20．一直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截得的线段的中点恰好是坐标原点，
求该直线方程．
21．直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l
的方程．
第三章 直线与方程
参考答案
A 组
一、选择题
1．C
解析：直线 x＝1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 90°．
2．D
解析：直线 l1 的倾斜角 1 是钝角，故 k1＜0；直线 l2 与 l3 的倾斜角 2， 3 均为锐角且
2＞ 3，所以 k2＞k3＞0，因此 k2＞k3＞k1，故应选 D．
3．A
解析：因为直线 l1 经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线 l1 的倾斜角为
2
，而 l1∥l2，所
以，直线 l2 的倾斜角也为
2
，又直线 l2 经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x＝2．
4．C
解析：因为直线 MN 的斜率为 1－＝
2－3－
3＋2 ，而已知直线 l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜率
为 1，故直线 l 的倾斜角是
4
．
5．C
解析：直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率 k＝
B
A ＜0，在 y 轴上的截距
B
CD＝－ ＞0，所以，直线不通
过第三象限．
6．A
解析：由已知得点 A(－1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线 PB 的方程是 x＋y－5＝0．
7．D
8．D
9．B
解析: 结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线与 l
重合，这说明直线 l 和 l’ 的斜率均为负，倾斜角是钝角．设 l’ 的倾斜角为 ，则
tan ＝
1＋－
a
a ．
10．D
解析：这是考察两点关于直线的对称点问题．直线 5x＋4y＋21＝0 是点 A(4，0)与所求点 A'(x，
(第 19 题)
y)连线的中垂线，列出关于 x，y 的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．
解析：设直线 l2 的倾斜角为 2，则由题意知：
180°－ 2＋15°＝60°， 2＝135°，
∴k2＝tan 2＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．
2
1 ．
解：∵A，B，C 三点共线，
∴kAB＝kAC，
2＋
2
1
3－＝
2＋3
3－2－ m ．解得 m＝
2
1 ．
13．(2，3)．
解析：设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC，
∴kAD·kCD＝－1，且 kAD＝kBC．
∴
0－
1－
x
y ·
3－
2－
x
y ＝－1，
0－
1－
x
y ＝1．
解得
1＝
0＝
y
x (舍去)
3＝
2＝
y
x
所以，第四个顶点 D 的坐标为(2，3)．
14．－
a
3 或不存在．
解析：若 a＝0 时，倾角 90°，无斜率．
若 a≠0 时，y＝－
a
3 x＋
a
1
∴直线的斜率为－
a
3 ．
15．P(2，2).
解析：设所求点 P(x，2)，依题意： 22 )12()2( x ＝ 22 )22()1( x ，解得 x＝2，故所求 P
点的坐标为(2，2)．
16．10x＋15y－36＝0．
解析：设所求的直线的方程为 2x＋3y＋c＝0，横截距为－
2
c ，纵截距为－
3
c ，进而得
c = －
5
36 ．
17．x＋2y＋5＝0．
解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称，故将直线方程中的 y 换成
－y．
三、解答题
18．①m＝－
3
5 ；②m＝
3
4 ．
解析：①由题意，得
32
62
2
mm
m ＝－3，且 m2－2m－3≠0．
(第 11 题)
解得 m＝－
3
5 ．
②由题意，得
12
32
2
2
mm
mm ＝－1，且 2m2＋m－1≠0．
解得 m＝
3
4 ．
19．x－2y＋5＝0．
解析：由已知，直线 AB 的斜率 k＝
13
11
＝
2
1 ．
因为 EF∥AB，所以直线 EF 的斜率为
2
1 ．
因为△CEF 的面积是△CAB 面积的
4
1 ，所以 E 是 CA 的中点．点 E 的坐标是(0，
2
5 )．
直线 EF 的方程是 y－
2
5 ＝
2
1 x，即 x－2y＋5＝0．
20．x＋6y＝0．
解析：设所求直线与 l1，l2 的交点分别是 A，B，设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为
(－x0，－y0)．
因为 A，B 分别在 l1，l2 上，
所以
0＝6－5＋3－
0＝6＋＋4
00
00
yx
yx
①＋②得：x0＋6y0＝0，即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，又直线 x＋6y＝0 过原点，所以直线 l 的
方程为 x＋6y＝0．
21．2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0．
解析：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6－a．
∴直线 l 的方程为 1＝－6
＋
a
y
a
x ．
∵点(1，2)在直线 l 上，∴ 1＝－6
2＋1
aa
，a2－5a＋6＝0，解得 a1＝2，a2＝3．当 a＝2 时，直线
的方程为 142
yx ，直线经过第一、二、四象限．当 a＝3 时，直线的方程为 133
yx ，直线经过第
一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为 2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0．
第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M(5，－7)，则圆 C 的半径为( )．
A． 5 B．5 C．25 D． 10
2．过点 A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 为( )．
A．0 或 2 B．2 C． 2 D．无解
①
②
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20 在 x 轴上截得的弦长是( )．
A．8 B．6 C．6 2 D．4 3
6．两个圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与 C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆 x2＋y2－2x－5＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线
的方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆 x2＋y2－2x＝0 和圆 x2＋y2＋4y＝0 的公切线有且仅有( )．
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
9．在空间直角坐标系中，已知点 M(a，b，c)，有下列叙述：
点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a，－b，c)；
点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a，－b，－c)；
点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a，－b，c)；
点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点 A(－3，4，0)与点 B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2 43 B．2 21 C．9 D． 86
二、填空题
11．圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上的动点 Q 到直线 3x＋4y＋8＝0 距离的最小值为 ．
12．圆心在直线 y＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点 C(－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ．
14．两圆 x2＋y2＝1 和(x＋4)2＋(y－a)2＝25 相切，试确定常数 a 的值 ．
15．圆心为 C(3，－5)，并且与直线 x－7y＋2＝0 相切的圆的方程为 ．
16．设圆 x2＋y2－4x－5＝0 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 ．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线 3x＋4y＋15＝0 分成 1∶2 两部分的圆的方程．
18．求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的方程(ab≠0)．
19．求经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程．
20．求经过点(8，3)，并且和直线 x＝6 与 x＝10 都相切的圆的方程．
第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B
圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径， 22 7＋3－＋5－2 )()( ＝5．
2．C
解析一：由圆心在直线 x＋y－2＝0 上可以得到 A，C 满足条件，再把 A 点坐标
(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．
∴选 C．
解析二：设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在直线 x＋y－2＝0 上，∴b＝2－a．由
|CA|＝|CB|，得(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，解得 a＝1，b＝1．
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
3．B
解析：∵与 x 轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)，
∴圆方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16．
4．B
解析：∵x＋y＋m＝0 与 x2＋y2＝m 相切，
∴(0，0)到直线距离等于 m ．
∴
2
m ＝ m ，
∴m＝2．
5．A
解析：令 y＝0，
∴(x－1)2＝16．
∴ x－1＝±4，
∴x1＝5，x2＝－3．
∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B
解析：由两个圆的方程 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4 可求得圆心距 d＝
13 ∈(0，4)，r1＝r2＝2，且 r 1－r 2＜d＜r 1＋r2 故两圆相交，选 B．
7．A
解析：对已知圆的方程 x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得
(x－1)2＋y2＝6，(x＋1)2＋(y－2)2＝9．
圆心分别为 C1(1，0)，C2(－1，2)．
直线 C1C2 的方程为 x＋y－1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1 和 x2＋(y＋2)2＝4，两圆圆心分别为 O1(1，0)，
O2(0，－2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝ 22 2＋1 ＝ 5 ，又 1＝r2－r1＜ 5 ＜r1＋r2＝3，故两圆相交，
所以有两条公切线，应选 C．
9．C
解：①②③错，④对．选 C．
10．D
解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．
解析：圆心到直线的距离 d＝
5
8＋4＋3 ＝3，
∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d－r＝3－1＝2．
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1．
13．(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与 y 轴相切，所以圆的半径为 2．故所求圆的方程为(x＋2)2
＋(y－3)2＝4．
14．0 或±2 5 ．
解析：当两圆相外切时，由|O1O2|＝r1＋r2 知 22＋4 a ＝6，即 a＝±2 5 ．
当两圆相内切时，由|O1O2|＝r1－r2(r1＞r2)知
22＋4 a ＝4，即 a＝0．
∴a 的值为 0 或±2 5 ．
15．(x－3)2＋(y＋5)2＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线 x－7y＋2＝0 的距离；
16．x＋y－4＝0．
解析：圆 x2＋y2－4x－5＝0 的圆心为 C(2，0)，P(3，1)为弦 AB 的中点，所以直线 AB 与直线
CP 垂直，即 kAB·kCP＝－1，解得 kAB＝－1，又直线 AB 过 P(3，1)，则所求直线方程为 x＋y－4＝0．
三、解答题
17．x2＋y2＝36．
解析：设直线与圆交于 A，B 两点，则∠AOB＝120°，设
所求圆方程为：x2＋y2＝r2，则圆心到直线距离为
5
15
2
r ，所
以 r＝6，所求圆方程为 x2＋y2＝36．
(第 17 题)
18．x2＋y2－ax－by＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．
∵圆过(a，0)和(0，b)，
∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．
又∵a≠0，b≠0，
∴D＝－a，E＝－b．
故所求圆方程为 x2＋y2－ax－by＝0．
19．x2＋y2－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵A，B 两点在圆上，代入方程整理得：
D－3E－F＝10 ①
4D＋2E＋F＝－20 ②
设纵截距为 b1，b2，横截距为 a1，a2．在圆的方程中，令 x＝0 得 y2＋Ey＋F＝0，
∴b1＋b2＝－E；令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．
由已知有－D－E＝2．③
①②③联立方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
根据题意：r＝
2
610 ＝2，
圆心的横坐标 a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得 b＝5 或 b＝1，
所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4 或(x－8)2＋(y－1)2＝4．
高一数学阶段测试题
1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A）因为 ,P Q ，所以 PQ
（B）因为 P ，Q ，所以 =PQ
（C）因为 AB ，CAB，DAB，所以 CD
（D）因为 AB AB ， ,所以 =AB
2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= ( )
A、 -3 B、-6 C、 2
3 D、 3
2
3 棱长为 a 的正方体有一个内切球，该球的表面积为 （ ）
A、 2a B、2 2a C、3 2a D、 a 24
4. 若直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线（ ）
（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面 内的所有直线 （D）不存在
5. 倾斜角为 135 ，在 y 轴上的截距为 1 的直线方程是（ ）
A． 01 yx B． 01 yx C． 01 yx D． 01 yx
6. 长方体的三个面的面积分别是 632 、、 ，则长方体的体积是（ ）．
A． 23 B． 32 C． 6 D．6
7.已知三条不同的直线l 、 m 、 n 与两个不同的平面 、 ，给出下列四个命题：
①若 m∥l ，n∥l ，则 m∥n ②若 m⊥ ，m∥ ， 则 ⊥
③若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n ④若 m⊥ ， ⊥ ，则 m∥ 或 m
其中假命题是（ ）．(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④
8．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第 10 题)
9．．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋ 2 B． 2
21＋
C． 2
2＋2
D． 2＋1
10 以 A（1，3），B（-5,1）为端点的线段的垂直平分线
方程是（ ）
A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
11 如图，直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3，
则必有
A. k1 bd B、 d
b
c
a
C、a + c > b + d D、a－c > b－d
9.数列{ }na 满足 1n na a n ，且 1 1a ，则 8a （ ）．
A.29 B．28 C．27 D．26
10.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30 ，测得塔
基的俯角为 45，那么塔的高度是（ ）米．
A．
320(1 )3
B．
320(1 )2
C． 20(1 3) D．30
11．在 ABC 中，若 2 2 2 2sin sinb C c B 2 cos cosbc B C ，则 ABC 是 （ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．等差数列{ }na 满足 5 97 5a a ，且 1 17a ，则使数列前 n 项和 nS 最小的 n 等于（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共 4 题，每题 4 分）
13．已知 0<2a<1,若 A=1+a2, B= a1
1
, 则 A 与 B 的大小关系是 。
14．若数列 na 的前 n 项和
2 10 ( 1 2 3 )nS n n n ，， ， ，则此数列的通项公式 ．
15．在 ABC△ 中，若
1tan 3A
， 150C ， 1BC ，则 AB ．
16． ABC 中， a b c、 、 分别是 A B C 、 、 的对边，下列条件
① 26 , 15, 23b c C ； ② 84 , 56 , 74a b c ；
③ 34 , 56 , 68A B c ； ④ 15, 10 , 60a b A
能唯一确定 ABC 的有 （写出所有正确答案的序号）．
三．解答题（共 6 题，17,18,19,20,21 每题 12 分，22 题 14 分）
17、已知等差数列前三项为 ,4,3a a ，前 n 项的和为 ns ， ks ＝2550.
（1）求 a 及 k 的值； （2）求 1 2
1 1 1
ns s s
18、设{ }na 是一个公差为 ( 0)d d 的等差数列，它的前10项和 10 110S ，且满足
2
2 1 4a a a ．
求数列{ }na 的通项公式．
19． 在 ABC△ 中，已知 45B ， D 是 BC 上一点，
5, 7 , 3AD AC DC ，求 AB 的长．
20．在 ABC△ 中，
1tan 4A
，
3tan 5B
．
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若 ABC△ 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．
21．某村计划建造一个室内面积为 800 2m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧
内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜
的种植面积最大。最大种植面积是多少？
22.已知等比数列{an}满足 a1+a6=11，且 a3a4= 9
32
. （1）求数列{an}的通项 an；
D
C
A
B
（2）如果至少存在一个自然数 m，恰使 13
2
ma
， 2ma ，am+1+ 9
4
这三个数依次成等差数列，问这
样的等比数列{an}是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.
答案
一选择题 BABDB CBCAA CB
填空题 13. A0）的公共弦的长为 2 3 ，
则 a ___________ 。
【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。
解析：由知 2 2 2 6 0x y ay 的半径为 26 a ，由图可知 222 )3()1(6 aa 解之得 1a
4.（2009 湖北卷文）过原点 O 作圆 x2+y2- －6x－8y＋20=0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则
线段 PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是 2 2( 3) ( 4) 5x y 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
4PQ
5.（2009 重庆卷文）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，若椭圆
上存在一点 P 使
1 2 2 1sin sin
a c
PF F PF F
，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
. 解法 1，因为在 1 2PF F 中，由正弦定理得 2 1
1 2 2 1sin sin
PF PF
PF F PF F
则由已知，得
1 2 1 1
a c
PF PF
，即 1 2aPF cPF
设点 0 0( , )x y 由焦点半径公式，得 1 0 2 0,PF a ex PF a ex 则 0 0( ) ( )a a ex c a ex
记得 0
( ) ( 1)
( ) ( 1)
a c a a ex e c a e e
由椭圆的几何性质知 0
( 1)
( 1)
a ex a ae e
则 ，整理得
2 2 1 0,e e 解得 2 1 2 1 (0,1)e e e 或 ，又 ，故椭圆的离心率 ( 2 1,1)e
解法 2 由解析 1 知 1 2
cPF PFa
由椭圆的定义知
2
1 2 2 2 2
22 2c aPF PF a PF PF a PFa c a
则 即 ， 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知
2
2 2
2
2, , 2 0,aPF a c a c c c ac a
则 既 所以 2 2 1 0,e e 以下同解析 1.
6.（2009 重庆卷理）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，若
双曲线上存在一点 P 使 1 2
2 1
sin
sin
PF F a
PF F c
，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
解法 1，因为在 1 2PF F 中，由正弦定理得 2 1
1 2 2 1sin sin
PF PF
PF F PF F
则由已知，得
1 2 1 1
a c
PF PF
，即 1 2aPF cPF ，且知点 P 在双曲线的右支上，
设点 0 0( , )x y 由焦点半径公式，得 1 0 2 0,PF a ex PF ex a 则 0 0( ) ( )a a ex c ex a
解得 0
( ) ( 1)
( ) ( 1)
a c a a ex e c a e e
由双曲线的几何性质知 0
( 1)
( 1)
a ex a ae e
则 ，整理得
2 2 1 0,e e 解得 2 1 2 1 (1, )e e ，又 ，故椭圆的离心率 (1, 2 1)e
解法 2 由解析 1 知 1 2
cPF PFa
由双曲线的定义知
2
1 2 2 2 2
22 2c aPF PF a PF PF a PFa c a
则 即 ， 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知
2
2 2
2
2, , 2 0,aPF c a c a c ac ac a
则 既 所以 2 2 1 0,e e 以下同解析 1.
7.（2009 北京文）椭圆
2 2
19 2
x y 的焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，若 1| | 4PF ，则 2| |PF ；
1 2F PF 的大小为 .
.w【解析】u.c.o.m 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.
属于基础知识、基本运算的考查.
∵ 2 29, 3a b ，
∴ 2 2 9 2 7c a b ，
∴ 1 2 2 7F F ，
又 1 1 24, 2 6PF PF PF a ，∴ 2 2PF ，
又 由 余 弦 定 理 ， 得
22 2
1 2
2 4 2 7 1cos 2 2 4 2F PF
，
∴ 1 2 120F PF ，故应填 2, 120 .
8.（2009 北京理）设 ( )f x 是偶函数，若曲线 ( )y f x 在点(1, (1))f 处的切线的斜率为 1，则该曲线
在( 1, ( 1))f 处的切线的斜率为_________.
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算
的考查.
取 2f x x ，如图，采用数形结合法，
易得该曲线在( 1, ( 1))f 处的切线的斜率为 1 .
故应填 1 .
9.（2009 北京理）椭圆
2 2
19 2
x y 的焦点为 1 2,F F ，点 P 在
椭圆上，若 1| | 4PF ，则 2| |PF _________；
1 2F PF 的小大为__________.
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、 焦
距之间的关系以及余弦定理. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵ 2 29, 3a b ，
∴ 2 2 9 2 7c a b ，
∴ 1 2 2 7F F ，
又 1 1 24, 2 6PF PF PF a ，∴ 2 2PF ，又由余弦定理，得 22 2
1 2
2 4 2 7 1cos 2 2 4 2F PF
，
∴ 1 2 120F PF ，故应填 2, 120 .
10.（2009 江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的四
个顶点，F 为其右焦点，直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段OT 与椭圆的交点 M 恰为线段OT
的中点，则该椭圆的离心率为 .
【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。
直线 1 2A B 的方程为： 1x y
a b
；
直线 1B F 的方程为： 1x y
c b
。二者联立解得： 2 ( )( , )ac b a cT a c a c
，
（第 11 题解答图）
则 ( )( , )2( )
ac b a cM a c a c
在椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上，
2 2
2 2 2
2 2
( ) 1, 10 3 0, 10 3 0( ) 4( )
c a c c ac a e ea c a c
，
解得： 2 7 5e
11.（2009 全国卷Ⅱ文）已知圆 O： 522 yx 和点 A（1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两
坐标轴围成的三角形的面积等于 。
解析：由题意可直接求出切线方程为 y-2= 2
1 (x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距
分别是 5 和
2
5 ，所以所求面积为
4
2552
5
2
1 。
12.（ 2009 广 东 卷 理 ）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3
2
，且G 上一
点到G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆G 的方程为 ．
【解析】
2
3e ， 122 a ， 6a ， 3b ，则所求椭圆方程为 1936
22
yx .
13.(2009 年广东卷文)以点（2， 1 ）为圆心且与直线 6x y 相切的圆的方程是 .
【答案】 2 2 25( 2) ( 1) 2x y
【 解 析 】 将 直 线 6x y 化 为 6 0x y , 圆 的 半 径 | 2 1 6 | 5
1 1 2
r
, 所 以 圆 的 方 程 为
2 2 25( 2) ( 1) 2x y w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14.（2009 天津卷文）若圆 422 yx 与圆 )0(06222 aayyx 的公共弦长为 32 ，则
a=________.
【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为
ay 1 ，利用圆心（0，0）
到直线的距离 d
1
|1| a 为 132 22 ，解得 a=1
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学
们的运算能力和推理能力。
15.（2009 四川卷文）抛物线 2 4y x 的焦点到准线的距离是 .
【解析】焦点 F （1，0），准线方程 1x ，∴焦点到准线的距离是 2
16.（2009 湖南卷文）过双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0, 0)a b 的一个焦点作圆 2 2 2x y a 的两条切线，
切点分别为 A，B，若 120AOB （O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 2 .
解: 120 60 30 2AOB AOF AFO c a , 2.ce a
17.（2009 福建卷理）过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B
两点，若线段 AB 的长为 8，则 p ________________
解析：由题意可知过焦点的直线方程为
2
py x ，联立有
2
2
2
2
3 04
2
y px px pxpy x
，又
2
2 2(1 1 ) (3 ) 4 8 24
pAB p p 。
18.（2009 辽宁卷理）以知 F 是双曲线
2 2
14 12
x y 的左焦点， (1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则
PF PA 的最小值为 。
【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4
而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9
19.（2009 四川卷文）抛物线 2 4y x 的焦点到准线的距离是 .
【解析】焦点 F （1，0），准线方程 1x ，∴焦点到准线的距离是 2
20.（2009 宁夏海南卷文）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C
交于 A，B 两点，若 2,2P 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 。
【解析】设抛物线为 y2＝kx，与 y＝x 联立方程组，消去 y，得：x2－kx＝0， 21 xx ＝k＝2×2，故
2 4y x .
21.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角
为 60 o ，则双曲线 C 的离心率为 .
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是 , (b c b
是虚半轴长，c 是焦半距) ，且一个内角是30 ，即得 tan30b
c
，所以 3c b ，所以 2a b ，离
心率 3 6
22
ce a
22.（2009 年上海卷理）已知 1F 、 2F 是椭圆 1: 2
2
2
2
b
y
a
xC （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C
上一点，且 21 PFPF .若 21FPF 的面积为 9，则b =____________.
【解析】依题意，有
22
2
2
1
21
21
4||||
18||||
2||||
cPFPF
PFPF
aPFPF
，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝3。
23.（2009 上海卷文）已知 1 2F、F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，
且 1 2PF PF 。若 1 2PF F 的面积为 9，则b .
【解析】依题意，有
22
2
2
1
21
21
4||||
18||||
2||||
cPFPF
PFPF
aPFPF
，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝3。
三、解答题
1.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）
已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2
3 ,两个焦点分别为 1F 和 2F ,椭圆 G 上一点
到 1F 和 2F 的距离之和为 12.圆 kC : 0214222 ykxyx )( Rk 的圆心为点 kA .
(1)求椭圆 G 的方程
(2)求 21FFAk 的面积
(3)问是否存在圆 kC 包围椭圆 G?请说明理由.
【解析】（1）设椭圆 G 的方程为：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）半焦距为 c;
则
2 12
3
2
a
c
a
, 解得 6
3 3
a
c
, 2 2 2 36 27 9b a c
所求椭圆 G 的方程为：
2 2
136 9
x y . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2 )点 KA 的坐标为 ,2K
1 2 1 2
1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F V
（3）若 0k ，由 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k f 可知点（6，0）在圆 kC 外，
若 0k ，由 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k f 可知点（-6，0）在圆 kC 外；
不论 K 为何值圆 kC 都不能包围椭圆 G.
2.（2009 全国卷Ⅰ理）（本小题满分 12 分）
如图，已知抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 相交于 A 、 B 、C 、 D 四个点。
（I）求 r 得取值范围；
（II）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 的方程联立，消
去 2y ，整理得 2 27 16 0x x r ．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 相交于 A 、 B 、C 、 D 四个点的充要条件是：
方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得 15( ,4)2r .考生利用数形结合及函数和方程的思想
来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方
法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为 1 1( , )A x x 、 1 1( , )B x x 、 2 2( , )C x x 、 2 2( , )D x x 。
则由（I）根据韦达定理有 2
1 2 1 27, 16x x x x r ， 15( ,4)2r
则 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ]( 2 ) (7 2 16 )(4 15)S x x x x x x x x r r
令 216 r t ，则 2 2(7 2 ) (7 2 )S t t 下面求 2S 的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方
便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
2 2 1(7 2 ) (7 2 ) (7 2 )(7 2 )(14 4 )2S t t t t t
3 31 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3
t t t
当且仅当7 2 14 4t t ，即 7
6t 时取最大值。经检验此时 15( ,4)2r 满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为： ( ,0)pP x
由 A P C、 、 三点共线，则 1 2 1
1 2 1 p
x x x
x x x x
得 1 2
7
6px x x t 。
以下略。
3.（2009 浙江理）（本题满分 15 分）已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的右顶点为 (1,0)A ，过 1C
的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（I）求椭圆 1C 的方程；
（II）设点 P 在抛物线 2C ： 2 ( )y x h h R 上， 2C 在点 P 处
的切线与 1C 交于点 ,M N ．当线段 AP 的中点与 MN 的中
点的横坐标相等时，求 h 的最小值．
解析：（I）由题意得 2
1 2, ,12 1
b a
b b
a
所求的椭圆方程为
2
2 14
y x ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）不妨设 2
1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ),M x y N x y P t t h 则抛物线 2C 在点 P 处的切线斜率为 2x ty t ，直线 MN
的 方 程 为 22y tx t h ， 将 上 式 代 入 椭 圆 1C 的 方 程 中 ， 得 2 2 24 (2 ) 4 0x tx t h ， 即
2 2 2 2 24 1 4 ( ) ( ) 4 0t x t t h x t h ，因为直线 MN 与椭圆 1C 有两个不同的交点，所以有
4 2 2
1 16 2( 2) 4 0t h t h ，
设线段 MN 的中点的横坐标是 3x ，则
2
1 2
3 2
( )
2 2(1 )
x x t t hx t
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设线段 PA 的中点的横坐标是 4x ，则 4
1
2
tx ，由题意得 3 4x x ，即有 2 (1 ) 1 0t h t ，其中的
2
2 (1 ) 4 0, 1h h 或 3h ；
当 3h 时有 22 0,4 0h h ，因此不等式 4 2 2
1 16 2( 2) 4 0t h t h 不成立；因此 1h ，
当 1h 时 代 入 方 程 2 (1 ) 1 0t h t 得 1t ， 将 1, 1h t 代 入 不 等 式
4 2 2
1 16 2( 2) 4 0t h t h 成立，因此h 的最小值为 1．
4.（2009 浙江文）（本题满分 15 分）已知抛物线C ： 2 2 ( 0)x py p 上一点 ( ,4)A m 到其焦点的距
离为17
4
．
（I）求 p 与 m 的值；
（II）设抛物线C 上一点 P 的横坐标为 ( 0)t t ，过 P 的直线交C 于另一点Q ，交 x 轴于点 M ，
过点Q 作 PQ 的垂线交C 于另一点 N ．若 MN 是C 的切线，求t 的最小值．
解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：
2
py ，根据抛物线定义
点 )4,(mA 到焦点的距离等于它到准线的距离，即
4
17
24 p ，解得
2
1p
抛物线方程为： yx 2 ，将 )4,(mA 代入抛物线方程，解得 2m
（Ⅱ）由题意知，过点 ),( 2ttP 的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k 。
则 )(: 2 txktylPQ ，当 ,,0
2
k
kttxy 则 )0,(
2
k
kttM 。
联立方程
yx
txkty
2
2 )( ，整理得： 0)(2 tktkxx
即： 0)]()[( tkxtx ，解得 ,tx 或 tkx
))(,( 2tktkQ ，而 QPQN ，直线 NQ 斜率为
k
1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
)]([1)(: 2 tkxktkylNQ ，联立方程
yx
tkxktky
2
2 )]([1)(
整理得： 0)()(11 22 tktkkxkx ，即： 0]1)()[(2 tkktkxkx
0)](][1)([ tkxtkkkx ，解得：
k
tkkx 1)( ，或 tkx
)]1)([,1)(( 2
2
k
tkk
k
tkkN ，
)1(
)1(
1)(
]1)([
22
22
2
2
2
ktk
ktk
k
ktt
k
tkk
k
tkk
K NM
而抛物线在点 N 处切线斜率：
k
tkkyk
k
tkkx
2)(2
1)(
切
MN 是抛物线的切线，
k
tkk
ktk
ktk 2)(2
)1(
)1(
22
22
， 整理得 021 22 ttkk
0)21(4 22 tt ，解得
3
2t （舍去），或
3
2t ，
3
2
min t
5.（2009 北京文）（本小题共 14 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 3 ，右准线方程为 3
3x 。
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）已知直线 0x y m 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 2 2 5x y
上，求 m 的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得
2 3
3
3
a
c
c
a
，解得 1, 3a c ，
∴ 2 2 2 2b c a ，∴所求双曲线C 的方程为
2
2 12
yx .
（Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ，线段 AB 的中点为 0 0,M x y ，
由
2
2 12
0
yx
x y m
得 2 22 2 0x mx m （判别式 0 ）,
∴ 1 2
0 0 0, 22
x xx m y x m m ,
∵点 0 0,M x y 在圆 2 2 5x y 上，
∴ 22 2 5m m ，∴ 1m .
6.（2009 北京理）（本小题共 14 分）
已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 3 ，右准线方程为 3
3x
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆 2 2: 2O x y 上动点 0 0 0 0( , )( 0)P x y x y 处的切线，l 与双曲线C 交
于不同的两点 ,A B ，证明 AOB 的大小为定值.
【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得
2 3
3
3
a
c
c
a
，解得 1, 3a c ，
∴ 2 2 2 2b c a ，∴所求双曲线C 的方程为
2
2 12
yx .
（Ⅱ）点 0 0 0 0, 0P x y x y 在圆 2 2 2x y 上，
圆在点 0 0,P x y 处的切线方程为 0
0 0
0
xy y x xy
，
化简得 0 0 2x x y y .
由
2
2
0 0
12
2
yx
x x y y
及 2 2
0 0 2x y 得 2 2 2
0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ，
∵切线l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 2
00 2x ，
∴ 2
03 4 0x ，且 2 2 2
0 0 016 4 3 4 8 2 0x x x ，
设 A、B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ，
则
2
0 0
1 2 1 22 2
0 0
4 8 2,3 4 3 4
x xx x x xx x
，
∵cos OA OBAOB
OA OB
，且
1 2 1 2 1 2 0 1 0 22
0
1 2 2OA OB x x y y x x x x x xy
，
2
1 2 0 1 2 0 1 22
0
1 4 22x x x x x x x xx
2 22 2
0 00 0
2 2 2 2
0 0 0 0
8 28 2 81 43 4 2 3 4 3 4
x xx x
x x x x
2 2
0 0
2 2
0 0
8 2 8 2 03 4 3 4
x x
x x
.
∴ AOB 的大小为90 .
【解法 2】（Ⅰ）同解法 1.
（Ⅱ）点 0 0 0 0, 0P x y x y 在圆 2 2 2x y 上，
圆在点 0 0,P x y 处的切线方程为 0
0 0
0
xy y x xy
，
化简得 0 0 2x x y y .由
2
2
0 0
12
2
yx
x x y y
及 2 2
0 0 2x y 得
2 2 2
0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ①
2 2 2
0 0 03 4 8 8 2 0x y y x x ②
∵切线l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 2
00 2x ，
∴ 2
03 4 0x ，设 A、B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ，
则
2 2
0 0
1 2 1 22 2
0 0
8 2 2 8,3 4 3 4
x xx x y yx x
，
∴ 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，∴ AOB 的大小为90 .
（∵ 2 2
0 0 2x y 且 0 0 0x y ，∴ 2 2
0 00 2,0 2x y ，从而当 2
03 4 0x 时，方程①
和方程②的判别式均大于零）.
7.（2009 江苏卷）（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 x 轴上。
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点 ( ,0)( 0)M m m 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离
为 ( )f m ，求 ( )f m 关于 m 的表达式。
【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解
能力。满分 10 分。
8.(2009 山东卷理)（本小题满分 14 分）
设椭圆 E:
2 2
2 2 1x y
a b
（a,b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点，O 为坐标原点，
（I）求椭圆 E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB ？
若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆 E:
2 2
2 2 1x y
a b
（a,b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点,
所以
2 2
2 2
4 2 1
6 1 1
a b
a b
解得
2
2
1 1
8
1 1
4
a
b
所以
2
2
8
4
a
b
椭圆 E 的方程为
2 2
18 4
x y
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
OA OB
, 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y kx m 解 方 程 组 2 2
18 4
x y
y kx m
得 2 22( ) 8x kx m , 即
2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则△= 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m ,即 2 28 4 0k m
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
kmx x k
mx x k
,
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
(2 8) 4 8( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m mk k k
要 使
OA OB
, 需 使 1 2 1 2 0x x y y , 即
2 2 2
2 2
2 8 8 01 2 1 2
m m k
k k
, 所 以 2 23 8 8 0m k , 所 以
2
2 3 8 08
mk 又 2 28 4 0k m ,所以
2
2
2
3 8
m
m
,所以 2 8
3m ,即 2 6
3m 或 2 6
3m ,因为直
线 y kx m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为
21
mr
k
,
2 2
2
22
8
3 81 31 8
m mr mk
, 2 6
3r , 所 求 的 圆 为 2 2 8
3x y , 此 时 圆 的 切 线
y kx m 都满足 2 6
3m 或 2 6
3m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6
3x 与椭圆
2 2
18 4
x y 的两个交点为 2 6 2 6( , )3 3
或 2 6 2 6( , )3 3
满足OA OB
,综上, 存在圆心在原点
的圆 2 2 8
3x y ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB
.
因为
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
kmx x k
mx x k
,
所以
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
4 2 8 8(8 4)( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 (1 2 )
km m k mx x x x x x k k k
,
2 2
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
8(8 4)| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 )
k mAB x x y y k x x k k
4 2 2
4 2 4 2
32 4 5 1 32 [1 ]3 4 4 1 3 4 4 1
k k k
k k k k
,
①当 0k 时
2
2
32 1| | [1 ]13 4 4
AB
k k
因为 2
2
14 4 8k k
所以
2
2
1 10 1 84 4k k
,
所以
2
2
32 32 1[1 ] 1213 3 4 4k k
,
所以 4 6 | | 2 33 AB 当且仅当 2
2k 时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 当 0k 时, 4 6| | 3AB .
3 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 2 6 2 6( , )3 3
或 2 6 2 6( , )3 3
,所以此时 4 6| | 3AB ,
综上, |AB |的取值范围为 4 6 | | 2 33 AB 即: 4| | [ 6,2 3]3AB
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置
关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及
方程的根与系数关系.
9. (2009 山东卷文)（本小题满分 14 分）
设 m R ,在平面直角坐标系中,已知向量 ( , 1)a mx y
,向量 ( , 1)b x y
, a b
,动点 ( , )M x y 的
轨迹为 E.
（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）已知
4
1m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,
且OA OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知
4
1m ,设直线l 与圆 C: 2 2 2x y R (10）与 x 轴
的左、右两个交点，直线l 过点 B,且与 x 轴垂直，S 为l 上
异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T.
(1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标；
（II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线？
若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。
解法一：
(Ⅰ)当曲线 C 为半圆时， 1,a 如图，由点 T 为圆弧 AB 的三等分点得∠BOT=60°或 120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又 AB=2,故在△SAE 中,有 tan30 , ( , );SB AB s t
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 (1,2 3) ,综上, 2 3(1, )3S 或S(1,2 3)
(Ⅱ)假设存在 ( 0)a a ,使得 O,M,S 三点共线.
由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 BT OS .
显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 ( )y k x a .
由
2
2
2 2 2 2 2 4 2 22 1 (1 ) 2 0
( )
x y a k x a k x a k aa
y k x a
得
设点
2 2 2
2 2( , ), ( ) ,1T T T
a k aT x y x a a k
故
2 2
2 21T
a a kx a k
,从而 2 2
2( ) 1T T
aky k x a a k
.
亦即
2 2
2 2 2 2
2( , ).1 1
a a k akT a k a k
2 2
2 2 2 2
2 2( ,0), (( , ))1 1
a k akB a BT a k a k
由
( )
x a
y k x a
得 ( ,2 ), ( ,2 ).s a ak OS a ak
由 BT OS ,可得
2 2 2 2
2
2 4 01 2
a k a kBT OS a k
即 2 2 2 22 4 0a k a k
0, 0, 2k a a
经检验,当 2a 时,O,M,S 三点共线. 故存在 2a ,使得 O,M,S 三点共线.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线.
由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 SM BT .
显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为 ( )y k x a
由
2
2
2 2 2 2 2 2 2 22 1 (1 ) 2 0
( )
x y a b x a k x a k aa
y k x a
得
设点 ( , )T TT x y ,则有
4 2 2
2 2( ) .1T
a k ax a a k
故
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2, ( ) ( ).1 1 1T T T
a a k ak a a k akx y k x a Ta a k a k a k a k
从而 亦即
2
2
1( ,0), ,T
BT SM
T
yB a k k a kx a a k
故
由
( )
x a
y k x a
得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 22 ( )y ak a k x a
O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 22 ( )ak a k a .
0, 0, 2a K a
故存在 2a ,使得 O,M,S 三点共线.
23.（2009 辽宁卷文）（本小题满分 12 分）
已知，椭圆 C 以过点 A（1， 3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF
的斜率为定值，并求出这个定值。
(22)解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为
2 2
2 2 11 4
x y
b b
。
因为 A 在椭圆上，所以 2 2
1 9 11 4b b
，解得 2b ＝3， 2b ＝ 3
4
（舍去）。
所以椭圆方程为
2 2
14 3
x y ． ．．．．．．4 分
（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得 3( 1) 2y k x ，代入
2 2
14 3
x y 得
2 2 233+4 +4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k （ ）
设Ｅ（ Ex ， Ey ），Ｆ（ Fx ， Fy ）．因为点Ａ（1， 3
2
）在椭圆上，所以
2
2
34( ) 122
3 4E
k
x k
，
3
2E Ey kx k 。 ．．．．．．．8 分
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得
2
2
34( ) 122
3 4F
k
x k
，
3
2F Fy kx k 。
所以直线 EF 的斜率 ( ) 2 1
2
F E F E
EF
F E F E
y y k x x kk x x x x
。
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1
2
。 ．．．．．．．12 分
24.（2009 辽宁卷理）（本小题满分 12 分）
已知，椭圆 C 过点 A 3(1, )2
，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（3） 求椭圆 C 的方程；
（4） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF
的斜率为定值，并求出这个定值。
（20）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 2 2
1 9 11 4b b
，解得 2 3b ， 2 3
4b （舍去）
所以椭圆方程为
2 2
14 3
x y 。 ……………4 分
（Ⅱ）设直线 AE 方程为： 3( 1) 2y k x ，代入
2 2
14 3
x y 得
2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k
设 (x , y )E EE , (x , y )F FF ,因为点 3(1, )2A 在椭圆上，所以
2
2
34( ) 122x
3 4F
k
k
3
2E Ey kx k ………8 分
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代 K，可得
2
2
34( ) 122x
3 4F
k
k
3
2E Ey kx k
所以直线 EF 的斜率 ( ) 2 1
2
F E F E
EF
F E F E
y y k x x kK x x x x
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1
2
。 ……12 分
25.（2009 宁夏海南卷理）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离
分别是 7 和 1.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OP
OM =λ，求点 M 的轨迹
方程，并说明轨迹是什么曲线。
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a c， ，由已知得
1 , 4, 37
a c a ca c
解得 ，
所以椭圆C 的标准方程为
2 2
116 7
x y
（Ⅱ）设 ( , )M x y ，其中 4,4x 。由已知
2
2
2
OP
OM
及点 P 在椭圆C 上可得
2
2
2 2
9 112
16( )
x
x y
。
整理得 2 2 2 2(16 9) 16 112x y ，其中 4,4x 。
（i） 3
4
时。化简得 29 112y
所以点 M 的轨迹方程为 4 7 ( 4 4)3y x ，轨迹是两条平行于 x 轴的线段。
（ii） 3
4
时，方程变形为
2 2
2 2
1112 112
16 9 16
x y
，其中 4,4x
当 30 4
时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 4 4x 的部分。
当 3 14
时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 4 4x 的部分；
当 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆；
26.（2009 陕西卷文）（本小题满分 12 分）
已知双曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
，离心率 5
2e ，顶点到渐近线的距离为 2 5
5
。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I） 求双曲线 C 的方程；
(II)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象
限，若 1, [ ,2]3AP PB ，求 AOB 面积的取值范围。
解析：
解 法 1 （ Ⅰ ） 由 题 意 知 ， 双 曲 线 C 的 顶 点 （ 0 ， a ） 到 渐 近 线
2 50 5ax by 的距离为 ，
所以
2 2
2 5
5
ab
a b
所以 2 5
5
ab
c
由
2 2 2
2 5
5 2
5 12
5
ab
c a
c ba
cc a b
得
所以曲线C 的方程是
2y
4
2 1x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2y x
设 ( ,2 ), ,2 ), 0, 0A m m B n n m n （
由 , ),AP PB P
uuur uur m- n 2(m+ n)得 点的坐标为（ 1+ 1+
将 P 点的坐标代入
2 2
2 (1 )1,4 4
y x
化简得mn=
因为 2 ,AOB 1 4tan( ) 2,tan ,sin 22 2 5
又 5 , 5OA m OB n
所以 1 1 1sin 2 2 ( ) 12 2AOBS OA OB mn
记 1 1 1( ) ( ) 1, [ ,2]2 3S
则 2
1 1( ) (1 )2S
由 ( ) 0 1S 得
又 S（1）=2， 1 8 9( ) , (2)3 3 4S S
当 1 时， AOB 面积取到最小值2 ，当当 1
3
时， AOB 面积取到最大值 8
3
所以 AOB 面积范围是 8[2, 3]
解答 2（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 2 50 5ax by 的距离为 ，
2 2
2 5 2 5
5 5
ab ab
ca b
即
由
2 2 2
2 5
5 2
5 12
5
ab
c a
c ba
cc a b
得
所以曲线C 的方程是
2y
4
2 1x .
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为 ,y kx m
由题意知 2, 0k m
由 2, ),2 2 2
y kx m m mAy x k k
得 点的坐标为（
由 2, ),2 2 2
y kx m m mBy x k k
得 点的坐标为（
1 2 1, ( ), ( )1 2 2 1 2 2
m mAP PB P k k k k
得 点的坐标为（uuur uur
将 P 点的坐标代入 2 1x
2y
4 得
2 2
2
4 (1 )
4
m
k
设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）
AOBS = AOQ BOQS S
2
2
1 1 1 ( )2 2 2
1 1 4( )2 2 2 2 4
1 1( ) 12
A B A BOQ x OQ x m x x
m m mm k k k
g g
g
以下同解答 1
27.(2009 陕西卷理)（本小题满分 12 分）
已知双曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
，离心率 5
2e ，顶点到渐近线的距离为 2 5
5
。
（I）求双曲线 C 的方程；
(II)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象
限，若 1, [ ,2]3AP PB ，求 AOB 面积的取值范围。
28．（本小题满分 14 分）
已知双曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0, 0),y x a ba b
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
离心率 5 ,2e 顶点到渐近线的距离为 2 5 .5
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）如图，P 是双曲线 C 上一点，A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一，
二象限.若 1, [ ,2],3AP PB 求△AOB 面积的取值范围.
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点( , )O a 到渐近线 0ax by 2 5的距离为 ，5
∴
2 2
2 5 2 5, ,5 5
ab ab
ca b
即
由
2 2 2
2 5 ,5
5 ,2
ab
c
c
a
c a b
得
2,
1,
5,
a
b
c
∴双曲线 C 的方程为
2
2 1.4
y x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2 .y x
设 ( ,2 ), ( ,2 ), 0, 0.A m m B n n m n
由 AP PB 得 P 点的坐标为 2( )( , ),1 1
m n m n
将 P 点坐标代入
2
2 1,4
y x 化简得
2(1 ) .4
nmn
设∠AOB 1 1 42 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 .2 2 2 5
又
4| | 5 | | 5
1 1 1| | | | sin 2 2 ( ) 1.2 2AOB
OA m OB n
S OA OB mn
记
1 1 1( ) ( ) 1, [ ,2],2 3S
由 8 9'( ) 0 1, ) , (2) ,3 4S S 1得 又S(1)=2,S( 3
当 1 时，△AOB 的面积取得最小值 2，当 1
3
时，△AOB 的面积取得最大值 8
3.
∴△AOB 面积
的取值范围是 8[2, ].3
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为 ,y kx m 由题意知| | 2, 0.k m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由{ 2
y kx m
y x
得 A 点的坐标为 2( , ),2 2
m m
k k
由{ 2
y kx m
y x
得 B 点的坐标为 2( , ).2 2
m m
k k
由 AP PB 得 P 点的坐标为 1 2 1( ( ), ( )),1 2 2 1 2 2
m m
k k k k
将 P 点坐标代入
2 2 2
2
2
4 (1 )1 .4 4
y mx k
得
设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）.
1 1 1| | | | | | | 8| ( )2 2 2AOB AOQ BOQS S S OQ XA OQ x m xA xB
=
2
2
1 1 4 1 1( ) ( ) 1.2 2 2 2 4 2
m m mm k k k
以下同解答一.
29.（2009 四川卷文）（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，离心率 2
2e ，右准线方程为
2x 。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 1F 的直线l 与该椭圆交于 M N、 两点，且 2 2
2 26
3F M F N ，求直线l 的方程。
【解析】（I）由已知得
2
2
2
2
c
a
a
c
，解得 2, 1 a c
∴ 2 2 1 b a c
∴ 所求椭圆的方程为
2
2 12
x y …………………………………4 分
（II）由（I）得 1( 1,0)F 、 2 (1,0)F
①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为 1 x ，由 2
2
1
12
x
x y
得 2
2
y
设 2( 1, )2
M 、 2( 1, )2
N ，
∴ 2 2
2 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0) 42 2
F M F N ，这与已知相矛盾。
②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为 k ，则直线l 的方程为 ( 1) y k x ，
设 1 1( , )M x y 、 2 2( , )N x y ，
联立 2
2
( 1)
12
y k x
x y
，消元得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0 k x k x k
∴
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴ 1 2 1 2 2
2( 2) 1 2
ky y k x x k
，
又∵ 2 1 1 2 2 2( 1, ), ( 1, )
F M x y F N x y
∴ 2 2 1 2 1 2( 2, )
F M F N x x y y
∴
2 22
2 2
2 2 1 2 1 2 2 2
8 2 2 2 26( 2) ( ) 1 2 1 2 3
k kF M F N x x y y k k
化简得 4 240 23 17 0 k k
解得 2 2 171 40
或 (舍去) k k
∴ 1 k
∴ 所求直线l 的方程为 1 1或 y x y x …………………………………12 分
30.（2009 全国卷Ⅰ文）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
如图，已知抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 相交于 A、B、C、D 四个点。
（Ⅰ）求 r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。
解：（Ⅰ）将抛物线 2:E y x 代入圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 的方
程，消去 2y ，整理得 2 27 16 0x x r ．．．．．．．．．．．．．（1）
抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r 相交于 A 、B 、C 、
D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴
016
07
0)16(449
2
21
21
2
rxx
xx
r
即
44
2
5
2
5
r
rr 或 。解这个方程组得 42
5 r
15( ,4)2r .
（II） 设四个交点的坐标分别为 1 1( , )A x x 、 1 1( , )B x x 、 2 2( , )C x x 、 2 2( , )D x x 。
则由（I）根据韦达定理有 2
1 2 1 27, 16x x x x r ， 15( ,4)2r
则 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ]( 2 ) (7 2 16 )(4 15)S x x x x x x x x r r
令 216 r t ，则 2 2(7 2 ) (7 2 )S t t 下面求 2S 的最大值。
方法 1：由三次均值有：
2 2 1(7 2 ) (7 2 ) (7 2 )(7 2 )(14 4 )2S t t t t t
3 31 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3
t t t
当且仅当7 2 14 4t t ，即 7
6t 时取最大值。经检验此时 15( ,4)2r 满足题意。
法 2：设四个交点的坐标分别为 1 1( , )A x x 、 1 1( , )B x x 、 2 2( , )C x x 、 2 2( , )D x x
则直线 AC、BD 的方程分别为
)(),( 1
12
12
11
12
12
1 xxxx
xxxyxxxx
xxxy
解得点 P 的坐标为 )0,( 21 xx 。
设 21 xxt ，由 216 rt 及（Ⅰ）得 )4
1,0(t
由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 ||)22(2
1
2121 xxxxS
则 ]4))[(2( 21
2
212211
2 xxxxxxxxS 将 721 xx ， txx 21 代入上式，并令 2)( Stf ，
等
)2
70(34398288)27()27()( 232 tttttttf ，
∴ )76)(72(2985624)`( 2 tttttf ，
令 0)`( tf 得
6
7t ，或
2
7t （舍去）
当
6
70 t 时， 0)`( tf ；当
6
7t 时 0)`( tf ；当
2
7
6
7 t 时， 0)`( tf
故当且仅当
6
7t 时， )(tf 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为 )0,6
7( 。
31.（2009 湖北卷文）（本小题满分 13 分）
如图，过抛物线 y2＝2PX(P>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N 向准
线 L 作垂线，垂足分别为 M1、N1
(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S1、、S2、，S3，试判断 S22
＝4S1S3 是否成立，并证明你的结论。
本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知
识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分 13 分）
（1） 证法 1：由抛物线的定义得
1 1, ,MF MM NF NN
1 1 1 1,MFM MM F NFN NN F 2 分
如图，设准线 l 与 x 的交点为 1F
1 1 1// //MM NN FFQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 1 1 1 1 1,F FM MM F F FN NN F
而 0
1 1 1 1 1 1 180F FM MFM F FN N FN
即 0
1 1 1 12 2 180F FM F FN
0
1 1 1 1 90F FM F FN
故 1 1FM FN
证法 2：依题意，焦点为 ( ,0),2
pF 准线 l 的方程为
2
px
设点 M,N 的坐标分别为 1 1 2 2, ), , ),M x y N x y（ （ 直线 MN 的方程为
2
px my ，则有
1 1 1 2 1 1 1 2( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 2
p pM y N y FM p y FN p y
由
2
2
2
px my
y px
得 2 22 0y mpy p
于是， 1 2 2y y mp ， 2
1 2y y p
2 2 2
1 1 1 2 0FM FN p y y p p ，故 1 1FM FN
（Ⅱ） 2
2 1 34S S S 成立，证明如下：
证法 1：设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，则由抛物线的定义得
1 1 1 2| | | | ,| | | |2 2
p pMM MF x NN NF x ，于是
1 1 1 1 1 1
1 1| | | | ( ) | |2 2 2
pS MM F M x y
2 1 2 1 1 2
1 1| | | | | |2 2S M N FF p y y w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3 1 1 1 2 2
1 1| | | | ( ) | |2 2 2
pS NN F N x y
2 2
2 1 3 1 2 1 1 2 2
1 1 14 ( | |) 4 ( ) | | ( ) | |2 2 2 2 2
p pS S S p y y x y x y
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 [( ) 4 ] [ ( ) ]| |4 2 4
p pp y y y y x x x x y y
将
1 1
2 2
2
,2
px my
px my
与 1 2
2
1 2
2y y mp
y y p
代入上式化简可得
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )p m p p p m p p ，此式恒成立。
故 2
2 1 34S S S 成立。
证法 2：如图，设直线 MN M 的倾角为 ， 1 2| | ,| |MF r NF r
则由抛物线的定义得 1 1 1 3| | | | ,| | | |MM MF r NN NF r
1 1 1
1 1
// // ,
,
MM NN FF
FMM FNN
于是 2 2 2
1 1 3 2 2
1 1 1sin , sin( ) sin2 2 2S r S r r
在 1FMM 和 1FNN 中，由余弦定理可得
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2| | 2 2 cos 2 (1 cos ),| | 2 2 cos 2 (1 cos )FM r r r FN r r r
由（I）的结论，得 2 1 1
1 | | | |2S FM FN
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 2 1 2 1 3
1 1| | | | 4 (1 cos )(1 cos ) sin 44 4S FM FN r r r r S S
即 2
2 1 34S S S ，得证。
32.（2009 宁夏海南卷文）(本小题满分 12 分)
已知椭圆C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个项点到两个
焦点的距离分别是 7 和 1
（I） 求椭圆C 的方程‘
（II） 若 P 为椭圆C 的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OP eOM
（e 为椭圆 C 的离心率），求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（20）解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得
{ 1,
7.
a c
a c
解得 a=4,c=3, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆 C 的方程为
2 2
1.16 7
x y
（Ⅱ）设 M（x,y）,P(x, 1y ),其中 4,4 .x 由已知得
2 2
21
2 2 .x y ex y
而 3
4e ，故 2 2 2 2
116( ) 9( ).x y x y ①
由点 P 在椭圆 C 上得
2
2
1
112 7 ,16
xy
代入①式并化简得 29 112,y
所以点 M 的轨迹方程为 4 7 ( 4 4),3y x 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.
33.(2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和
记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求点 P 的轨迹 C；
（Ⅱ）设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。
解（Ⅰ）设点 P 的坐标为（x，y），则
2 24 ( 3)d x y 3︳x-2︳
由题设
当 x>2 时，由①得 2 2 1( 3) 6 ,2x y x
化简得
2 2
1.36 27
x y w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 2x 时 由①得 2 2(3 ) 3 ,x y x
化简得 2 12y x
故点 P 的轨迹 C 是椭圆
2 2
1 : 136 27
x yC 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线
2
2 : 12C y x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1
（Ⅱ）如图 2 所示，易知直线 x=2 与 1C ， 2C 的交点都是 A（2， 2 6 ），
B（2， 2 6 ），直线 AF，BF 的斜率分别为 AFk = 2 6 ， BFk =2 6 .
当点 P 在 1C 上时，由②知
16 2PF x . ④w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当点 P 在 2C 上时，由③知
3PF x ⑤
若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 ( 3)y k x
（i）当 k≤ AFk ，或 k≥ BFk ，即 k≤-2 6 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ 1x ， 1y ），N（
2
x ，
2
y ）
都在 C 1 上，此时由④知
∣MF∣= 6 - 1
2 1x ∣NF∣= 6 - 1
2 2
x
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - 1
2 1x ）+ （6 - 1
2 2
x ）=12 - 1
2 ( 1x + 2
x )
由 2 2
( 3)
136 27
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 4 ) 24 36 108 0k x k x k 则 1x ， 1y 是 这 个 方 程 的 两 根 ， 所 以
1x + 2
x =
2
2
24
3 4
k
k *∣MN∣=12 - 1
2
（ 1x + 2
x ）=12 -
2
2
12
3 4
k
k
因为当 22 6, 6 , 24,k k 或k 2 时
2
2
2
12 12 10012 12 .13 4 114
kMN k
k
当且仅当 2 6k 时，等号成立。
（2）当 , 2 6 2 6AE ANk k k k 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 分别在
1 2,C C 上，不妨设点 M 在 1C 上，点 2C 上，则④⑤知， 1 2
16 , 32MF x NF x
设直线 AF 与椭圆 1C 的另一交点为 E 0 0 0 1 2( , ), , 2.x y x x x 则
1 0 2
1 16 6 , 3 3 22 2MF x x EF NF x AF
所以 MN MF NF EF AF AE 。而点 A，E 都在 1C 上，且
2 6,AEk 有（1）知 100 100,11 11AE MN 所以
若直线 的斜率不存在，则 1x = 2x =3，此时
1 2
1 10012 ( ) 92 11MN x x
综上所述，线段 MN 长度的最大值为100
11
35.（2009 天津卷理）（本小题满分 14 分）
以知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点分别为 1 2( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c 和 ，过点
2
( ,0)aE c
的直
线与椭圆相交与 ,A B 两点，且 1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B 。
（1） 求椭圆的离心率；
（2） 求直线 AB 的斜率；
（3） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2F B 上有一点 ( , )( 0)H m n m 在 1AFC 的外接圆
上，求 n
m
的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法
研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分 14 分
（I） 解：由 1FA // 2F B 且 1 2FA 2 F B ，得 2 2
1 1
EF F B 1
EF FA 2
，从而
2
2
a
1
a 2
cc
cc
整理，得 2 23a c ，故离心率 3
3
ce a
（II） 解：由（I）得 2 2 2 22b a c c ，所以椭圆的方程可写为 2 2 22 3 6x y c
设直线 AB 的方程为
2ay k x c
，即 ( 3 )y k x c .
由已知设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组 2 2 2
( 3 )
2 3 6
y k x c
x y c
消去 y 整理，得 2 2 2 2 2 2(2 3 ) 18 27 6 0k x k cx k c c .
依题意， 2 2 3 348 (1 3 ) 0 3 3c k k ，得
而
2
1 2 2
18
2 3
k cx x k
①
2 2
1 2 2
27 6
2 3
ck c cx x k
②
由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以
1 23 2x c x ③
联立①③解得
2
1 2
9 2
2 3
k c cx k
，
2
2 2
9 2
2 3
k c cx k
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
将 1 2,x x 代入②中，解得 2
3k .
(III)解法一：由（II）可知 1 2
30, 2
cx x
当 2
3k 时，得 (0, 2 )A c ，由已知得 (0, 2 )C c .
线段 1AF 的垂直平分线 l 的方程为 2 2
2 2 2
cy c x
直线 l 与 x 轴
的交点 ,02
c
是 1AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
2 2
2x 2 2
c cy c .
直线 2F B 的方程为 2( )y x c ，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组
2 2
2 9
2 4
2( )
c cm n
n m c
， 由 0,m 解得
5
3
2 2
3
m c
n c
故 2 2
5
n
m
当 2
3k 时，同理可得 2 2
5
n
m
.
解法二：由（II）可知 1 2
30, 2
cx x
当 2
3k 时，得 (0, 2 )A c ,由已知得 (0, 2 )C c w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由椭圆的对称性可知 B， 2F ，C 三点共线，因为点 H（m，n）在 1AFC 的外接圆上，
且 1 2//F A F B ，所以四边形 1AFCH 为等腰梯形.
由直线 2F B 的方程为 2( )y x c ,知点 H 的坐标为( , 2 2 )m m c .
因为 1AH CF ，所以 2 2 2( 2 2 2 )m m c c a ，解得 m=c（舍），或 5
3m c .
则 2 2
3n c ，所以 2 2
5
n
m
.
当 2
3k 时同理可得 n 2 2
5m
36.（2009 四川卷理）（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 1 2,F F ，离心率 2
2e ，右准线方程为 2x 。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 1F 的直线l 与该椭圆交于 ,M N 两点，且 2 2
2 26
3F M F N ，求直线l 的方程。
本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能
力。
解：（Ⅰ）有条件有 2
c 2
a 2
a 2c
{
，解得a 2 c=1 ， 。
2 2b a c 1 。
所以，所求椭圆的方程为
2
2x y 12
。…………………………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1( 1,0)F 、 2 1 0F（，）。
若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=-1.
将 x=-1 代入椭圆方程得 2y 2
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
不妨设 2( 1, )2M 、 21 2N （ ， ），
2 2
2 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0)2 2F M F N uuuuv uuuv
.
2 2 4F M F N uuuuv uuuv
,与题设矛盾。
直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k，则直线的方程为 y=k（x+1）。
设 1 1(x y )M ， 、 2 2( , )N x y ，
联立
2
2x y 12
y=k(x+1){
，消 y 得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k 。
由根与系数的关系知
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，从而 1 2 1 2 2
2( 2) 1 2
ky y k x x k
，
又 2 1 1( 1, )F M x y
， 2 2 2( 1, )F N x y ，
2 2 1 2 1 2( 2, )F M F N x x y y 。
2 2 2
2 2 1 2 1 2( 2) ( )F M F N x x y y
2
2 2
2 2
8 2 2( ) ( )1 2 1 2
k k
k k
4 2
4 2
4(16 9 1)
4 4 1
k k
k k
4 2
2
4 2
4(16 9 1) 2 26( )4 4 1 3
k k
k k
。
化简得 4 240 23 17 0k k
解得 2 2 171 40k k 或者
1.
1 1
k
l y x y x
所求直线 的方程为 或者
37.（2009 福建卷文）（本小题满分 14 分）
已知直线 2 2 0x y 经过椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆C 的右顶点为 B ，点 S 和椭
圆C 上位于 x 轴上方的动点，直线， ,AS BS 与直线 10: 3l x
分别交于 ,M N 两点。
（I）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段 MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得 TSB 的面积为 1
5
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
解法一：
（ I ） 由 已 知 得 ， 椭 圆 C 的 左 顶 点 为 ( 2,0),A 上 顶 点 为
(0,1), 2, 1D a b
故椭圆C 的方程为
2
2 14
x y
（Ⅱ）直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 0k ，故可设直线 AS 的
方程为 ( 2)y k x ，从而 10 16( , )3 3
kM
由 2
2
( 2)
14
y k x
x y
得 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4k x k x k 0
设 1 1( , ),S x y 则
2
1 2
16 4( 2), 1 4
kx k
得
2
1 2
2 8
1 4
kx k
，从而 1 2
4
1 4
ky k
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即
2
2 2
2 8 4( , ),1 4 1 4
k kS k k
又 (2,0)B
由
1 ( 2)4
10
3
y xk
x
得
10
3
1
3
x
y k
10 1( , )3 3N k
故 16 1| | 3 3
kMN k
又 16 1 16 1 80, | | 23 3 3 3 3
k kk MN k k
当且仅当16 1
3 3
k
k
，即 1
4k 时等号成立 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1
4k 时，线段 MN 的长度取最小值 8
3
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 MN 取最小值时， 1
4k
此时 BS 的方程为 6 4 4 22 0, ( , ), | |5 5 5x y s BS
要使椭圆C 上存在点T ，使得 TSB 的面积等于 1
5
，只须T 到直线 BS 的距离等于 2
4
，所以T
在平行于 BS 且与 BS 距离等于 2
4
的直线l 上。
设直线 ': 1 0l x y
则由 | 2 | 2 ,42
t 解得 3
2t 或 5
2t
38.（2009 年上海卷理）（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满
分 8 分。
已知双曲线
2
2: 1,2
xc y 设过点 ( 3 2,0)A 的直线 l 的方向向量 (1, )e kv
（1） 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离；
（2） 证明：当k > 2
2
时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 。
解：（1）双曲线 C 的渐近线 : 2 0............2
2
xm y 分
直线 l 的方程 2 3 2 0x y ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 3 2 6
1 2
d
……….8 分
（2）设过原点且平行与 l 的直线 : 0b kx y
则直线 l 与 b 的距离
2
3 2
1
kd
k
当 2 62k d 时，
又双曲线 C 的渐近线为 2 0x y
双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方，
双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离为 6 。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6 。
[ 证法二] 双曲线C 的右支上存在点Q 0 0( , )x y 到直线l 的距离为 6 ，
则
0 0
2
0 0
3 2
6,(1)
1
2 2,(2)
kx y
k
x y
由（1）得 2
0 0 3 2 6 1y kx k k ，
设t 23 2 6 1k k w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 2
2k ，t 23 2 6 1k k 0………………………………..13 分
将 0 0y kx t 代入（2）得 2 2 2
0 0(1 2 ) 4 2( 1) 0k x ktx t （*）
2 22 , 0, 1 2 0, 4 0, 2( 1) 02k t k kt t
方程（*）不存在正根，即假设不成立
故在双曲线 C 的右支上不存在 Q，使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分
39.（2009 上海卷文）（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分
4 分，第 3 小题满分 8 分.
已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F 3 0， ，一条渐近线 m: x+ 2 0y ,设过点 A( 3 2,0) 的
直线 l 的方向向量 (1, )e kv 。
（1） 求双曲线 C 的方程；
（2） 若过原点的直线 //a l ，且 a 与 l 的距离为 6 ，求 K 的值；
（3） 证明：当 2
2k 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 .
【解】（1）设双曲线C 的方程为 2 22 ( 0)x y
32
，解额 2 双曲线C 的方程为
2
2 12
x y
（2）直线 : 3 2 0l kx y k ，直线 : 0a kx y
由题意，得
2
| 3 2 | 6
1
k
k
，解得 2
2k
（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线 : 0b kx y
则直线l 与b 的距离
2
3 2 | | ,
1
kd
k
当 2
2k 时， 6d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又双曲线C 的渐近线为 x 2 0y
双曲线C 的右支在直线b 的右下方，
双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6 。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6
【证法二】假设双曲线C 右支上存在点 0 0( , )Q x y 到直线l 的距离为 6 ，
则
0 0
2
2 2
0 0
| 3 2 6 (1)
1
2 2 (2)
kx y k
k
x y
由（1）得 2
0 0 3 2 6 1y kx k k
设 23 2 6 1t k k ，
当 2
2k 时， 23 2 6 1 0t k k ；
2
2
2 2
2 13 2 6 1 6 0
3 1
kt k k
k k
将 0 0y kx t 代入（2）得 2 2 2
0 0(1 2 ) 4 2( 1) 0k x ktx t
2 , 02k t ，
2 21 2 0, 4 0, 2( 1) 0k kt t
方程(*)不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
40.（2009 重庆卷理）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）问 5 分，（Ⅱ）问 7 分）
已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为 4 3
3y ，离心率 3
2e ，M 是椭圆上的动点．
（Ⅰ）若 ,C D 的坐标分别是(0, 3),(0, 3) ，求 MC MD 的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点 A 的坐标为(1,0) ，B 是圆 2 2 1x y 上的点，N 是点 M 在 x 轴上的射
影，点Q 满足条件：OQ OM ON ， 0QA BA
．求线段QB 的中点 P 的轨迹方程；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(20)（本小题 12 分）
解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
（a ＞
b＞ 0 ）.
设 2 2c a b ，由准线方程 4 3
3y 得.由 3
2e 得 3
2
c
a
，
解得 a = 2 ,c = 3 ，从而 b = 1，椭圆方程为
2
2 14
yx .
又 易 知 C ， D 两 点 是 椭 圆
2
2 14
yx 的 焦 点 ， 所
以, 2 4MC MD a
从而 2 2( ) 2 42
MC MDMC MD
，当且仅当 MC MD ，即点 M 的坐标为( 1,0) 时
上式取等号， MC MD 的最大值为 4 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）如图（20）图，设 M( , ), ( , )m m B Bx y B x y
( , )Q QQ x y .因为 ( ,0),NN x OM ON OQ ，故
2 , ,Q N Q Mx x y y
2 2 2(2 ) 4y
Q Q Mx y x y ①
因为 0,QA BA
(1 ) (1 )
(1 )(1 ) 0,
Q Q N n
Q N Q N
x y x y
x x y y
所以 1Q N Q N N Qx x y y x x . ②
记 P 点的坐标为( , )P Px y ，因为 P 是 BQ 的中点
所以 2 ,2P Q P P Q Px x x y y y
由因为 2 2 1N Nx y ，结合①，②得
2 2 2 21 (( ) ( ) )4P P Q N Q Nx y x x y y 2 2 2 21 ( 2( ))4 Q N Q n Q N Q Nx x y y x x y y
1 (5 2( 1))4 Q Nx x 3
4 Px
故动点 P 的估计方程为 2 21( ) 12x y
41.（2009 重庆卷文）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）问 5 分，（Ⅱ）问 7 分）
已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为 5
5x ，离心率 5e ．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点 A 的坐标为( 5,0) ， B 是圆 2 2( 5) 1x y 上的点，点 M 在双曲
线右支上，求 MA MB 的最小值，并求此时 M 点的坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双
曲线的方程为
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
，设 2 2c a b ，由准线
方程为 5
5x 得
2 5
5
a
c
，由 5e
得 5c
a
解得 1, 5a c 从而 2b ，该双曲线的
方程为
2
2 14
yx ；
（Ⅱ）设点 D 的坐标为( 5,0) ，则点 A、D 为双曲线的焦点，
| | | | 2 2MA MD a
所以| | | | 2 | | | | 2 | |MA MB MB MD BD ≥ ， B 是圆 2 2( 5) 1x y 上的点，其圆心为
(0, 5)C ，半径为 1，故| | | | 1 10 1BD CD ≥ 从而| | | | 2 | | 10 1MA MB BD ≥ ≥
当 ,M B 在线段 CD 上时取等号，此时| | | |MA MB 的最小值为 10 1
直线 CD 的方程为 5y x ，因点 M 在双曲线右支上，故 0x
由方程组
2 24 4
5
x y
y x
解得 5 4 2 4 5 4 2,3 3x y
所以 M 点的坐标为 5 4 2 4 5 4 2( , )3 3
