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文档介绍
【物理】2018届一轮复习人教版第五章万有引力与航天学案
第五章Error!万有引力与航天 考 纲 要 求 考 情 分 析 万有引力定律及其应用 Ⅱ 环绕速度 Ⅱ 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1.命题规律 近几年高考对本章内容主要考查了万有引力定 律及其应用、人造卫星及天体运动问题，难度中 等，题型通常为选择题。 2.考查热点 突出物理与现代科技，特别是与现代航天技术的 联系会更加密切，与牛顿运动定律、机械能守恒 等内容结合命题的可能性也较大。 第 25 课时 万有引力定律及应用(重点突破课) [基础点·自主落实] [必备知识] 1．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的 一个焦点上。 (2)开普勒第二定律(面积定律)：对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过 的面积相等。 (3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的 二次方的比值都相等。 2．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大 小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。 (2)公式：F＝Gm1m2 r2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫万有引力常量。 (3)适用条件 公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物 体可视为质点；r 为两物体间的距离。 3．经典时空观和相对论时空观 (1)经典时空观 ①物体的质量不随速度的变化而变化。 ②同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果相同。 ③适用条件：宏观物体、低速运动。 (2)相对论时空观 同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。 [小题热身] 1．判断正误 (1)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小。(×) (2)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律。(√) (3)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心。(√) (4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×) 2．(2016·全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析：选 B 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律 无联系，选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按 照这些规律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误。 3．(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为 能称出地球质量的人。若已知引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球 上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心 的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出( ) A．地球的质量 m 地＝gR2 G B．太阳的质量 m 太＝4π2L23 GT22 C．月球的质量 m 月＝4π2L13 GT12 D．可求月球、地球及太阳的密度 解析：选 AB 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g＝Gm地 m0 R2 ，所以地球质量 m 地＝gR2 G ，选项 A 正确。对地球绕太阳运动来说，有Gm太 m地 L22 ＝m 地 4π2 T22L2，则 m 太＝4π2L23 GT22 ， B 项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星 的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D 项错误。 [提能点·师生互动] 提能点(一) 开普勒行星运动定律 [典例] (2017·吉林一中一模)将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同 方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径 r1＝2.3×1011 m，地球的轨道半径为 r2＝ 1.5×1011 m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时 间间隔约为( ) A．1 年 B．2 年 C．3 年 D．4 年 [解析] 根据开普勒第三定律R3 T2＝k 得： 火星与地球的周期之比为 T1 T2＝ r13 r23＝ (2.3 × 1011)3 (1.5 × 1011)3 ＝1.9 地球的周期为 T2＝1 年，则火星的周期为 T1＝1.9 年 设经时间 t 两星又一次距离最近， 根据 θ＝ω t 则两星转过的角度之差 Δθ＝(2π T2－2π T1)t＝2π 得 t＝2.1 年≈2 年。故选 B。 [答案] B (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律a3 T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。 [集训冲关] 1．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定 律可知( ) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：选 C 由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 项错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星 的运行速度大小不一定相等，B 项错误；由开普勒第三定律可知，T火2 R火3＝T木2 R木3＝k，T火2 T木2＝ R火3 R木3，C 项正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，在近 地点时 1 2v 火 Δt 与 1 2v 木 Δt 不相等，D 项错误。 2.(多选)(2017·广州二模)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的 运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T月，地 球自转周期为 T 地，则( ) A．T 卫＜T 月 B．T 卫＞T 月 C．T 卫＜T 地 D．T 卫＝T 地 解析：选 AC 因 r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知，T 月＞T 同＞T 卫，又 同步卫星的周期 T 同＝T 地，故有 T 月＞T 地＞T 卫，选项 A、C 正确。 提能点(二) 万有引力定律的理解与应用 万有引力的四个性质 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物 体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等， 方向相反，作用在两个物体上 宏观性 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他 力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万 有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与其所在 空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 [典例] 两个质量均匀的球形物体，两球心相距 r 时它们之间的万有引力为 F，若将两 球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( ) A．2F B．4F C．8F D．16F [解析] 由 m＝ρ 4πR3 3 知，两球的半径都加倍，它们的质量都变为原来的 8 倍，由万有 引力公式 F＝G m1m2 r2 得，两物体间的万有引力变为原来的 16 倍，故 D 正确。 [答案] D 万有引力大小计算的技巧 (1)公式 F＝G m1m2 r2 适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。 (2)当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两 球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。 [集训冲关] 1．(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的1 4，下列办法可行的是( ) A．使物体的质量各减小一半，距离不变 B．使其中一个物体的质量减小到原来的1 4，距离不变 C．使两物体间的距离增为原来的 2 倍，质量不变 D．使两物体间的距离和质量都减为原来的1 4 解析：选 ABC 根据 F＝GMm R2 可知，距离和质量都减为原来的1 4时，万有引力不变，D 错误，A、B、C 正确。 2．(多选)用 m 表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h 表示离地面的高度，用 R 表 示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度，ω 表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受 的地球对它的万有引力的大小为( ) A．G Mm (R＋h)2 B. mgR2 (R＋h)2 C．mω2(R＋h) D．m3 R2gω4 解析：选 BCD 由万有引力定律得 F＝G Mm (R＋h)2 ① 地球表面的重力加速度 g＝GM R2② 由①②式得 F＝ mgR2 (R＋h)2 ③ 万有引力充当向心力 F＝mω2(R＋h)④ 联立③④消掉(R＋h)得 F3＝m3R2gω4，由此得 F＝m3 R2gω4，故 B、C、D 正确。 3.如图所示，一个质量为 M 的匀质实心球，半径为 2R，如果从 球的正中心挖去一个半径为 R 的球，放在距离为 d 的地方，求两 球之间的万有引力是多大(引力常量为 G)? 解析：根据割补法可得左侧球充满时两球间万有引力 F＝GMm d2 半径为 R 的球体对 m 有 F1＝Gm2 d2 被挖去的球体质量 m＝M 8 。则被挖去两球之间的引力 F2＝F－F1＝7GM2 64d2 。 答案：7GM2 64d2 提能点(三) 天体质量与密度的估算 [“自力更生”法(g－R)] (1)由 GMm R2 ＝mg 得天体质量 M＝gR2 G 。 (2)天体密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR。 (3)GM＝gR2 称为黄金代换公式。 [例 1] (2014·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速 度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密 度为( ) A.3π(g0－g) GT2g0 B. 3πg0 GT2(g0－g) C. 3π GT2 D.3πg0 GT2g [解析] 物体在地球的两极时，mg 0＝GMm R2 ，物体在赤道上时，mg＋m (2π T )2R＝ GMm R2 ，以上两式联立解得地球的密度 ρ＝ 3πg0 GT2(g0－g)。故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误。 [答案] B [“借助外援”法(T－r)] (1)由 GMm r2 ＝m4π2r T2 得天体的质量 M＝4π2r3 GT2 。 (2)天体的密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3。 (3)当卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝ 3π GT2。 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 [例 2] (2013·全国卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度 为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G＝6.67×10 － 11 N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( ) A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg [解析] 对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则 G Mm (R＋h)2 ＝m4π2 T2 (R＋h)，整理得：M＝ 4π2 GT2(R＋h)3，代入数据可得 M≈7.4×1022kg，则 D 正 确。 [答案] D (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体 的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天 体密度时，体积 V＝4 3πR3 只能用天体自身的半径。 [集训冲关] 1．(多选)(2016·海南高考)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫 星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星 的质量。这两个物理量可以是( ) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 解析：选 AD 根据线速度和角速度可以求出半径 r＝v ω，根据万有引力提供向心力， 则有 GMm r2 ＝mv2 r ，整理可得 M＝ v3 Gω，故选项 A 正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项 B、C 错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则 GMm r2 ＝m(2π T )2r，整理得 M＝4π2r3 GT2 ， 故选项 D 正确。 2.(多选)公元 2100 年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木 星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光， 经过时间 t 收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是 T，测得航天员所在 航天器的速度为 v，已知引力常量 G，激光的速度为 c，则( ) A．木星的质量 M＝v3T 2πG B．木星的质量 M＝π2c3t3 2GT2 C．木星的质量 M＝4π2c3t3 GT2 D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度 解析：选 AD 航天器的轨道半径 r＝vT 2π，木星的半径 R＝vT 2π－ct 2，木星的质量 M＝4π2r3 GT2 ＝v3T 2πG；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故 A、D 正确，B、C 错误。 3．(2017·高密模拟)据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居” 行星。假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍。那么，一个在地 球表面能举起 64 kg 物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力 加速度 g＝10 m/s2)( ) A．40 kg B．50 kg C．60 kg D．30 kg 解析：选 A 根据万有引力等于重力 GMm R2 ＝mg 得 g＝GM R2 ，因为行星质量约为地球质 量的 6.4 倍，其半径是地球半径的 2 倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的 1.6 倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m＝m0 1.6＝64 1.6 kg＝40 kg，故 A 正确。 提能点(四) 与重力加速度有关的问题 1.在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)： mg＝GmM R2 ，得 g＝GM R2 2．在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′ mg′＝ GMm (R＋h)2 ，得 g′＝ GM (R＋h)2 所以 g g′＝ (R＋h)2 R2 考法 1 天体表面某高度处的重力加速度问题 [例 1] (2015·重庆高考)宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课， 演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A．0 B. GM (R＋h)2 C. GMm (R＋h)2 D.GM h2 [解析] 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即 G Mm (R＋h)2 ＝mg，得 g＝ GM (R＋h)2 ， 选项 B 正确。 [答案] B 考法 2 天体表面某深度处的重力加速度问题 [例 2] 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分 布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A．1－d R B．1＋d R C.(R－d R )2 D.( R R－d )2 [解析] 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处 于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为 g，地球质量为 M， 地球表面的物体 m 受到的重力近似等于万有引力，故 mg＝GMm R2 ；设矿 井底部处的重力加速度为 g′，等效“地球”的质量为 M′，其半径 r＝R－ d，则矿井底部处的物体 m 受到的重力 mg′＝GM′m r2 ，又 M＝ρV＝ρ·4 3πR3，M′＝ρV′＝ ρ·4 3π(R－d)3，联立解得g′ g ＝1－d R，A 对。 [答案] A 考法 3 天体表面重力加速度与抛体运动的综合 [例 3] (2015·海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度 处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2∶ 7。已知该行星质 量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为( ) A.1 2R B.7 2R C．2R D. 7 2 R [解析] 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 x＝v0t，在竖直方向上做自由落体 运动，即 h ＝1 2gt2，所以 x＝v0 2h g ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以g行 g地＝ 7 4，根据公式 GMm R2 ＝mg 可得 g＝GM R2 ，故g行 g地＝ M行 R行2 M地 R地2 ＝7 4，解得 R 行＝2R，故 C 正确。 [答案] C [通法归纳] 地球表面的物体运动规律的迁移应用 在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜 抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地 重力加速度取值不同而已。 [集训冲关] 1．(2017·潍坊模拟)宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的 水平位移，当他登陆一半径为地球半径 2 倍的星球后，站在该星球水平地面上以和在地球 完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是在地球上平抛时的 4 倍，由此 宇航员估算该星球的质量 M 星约为(式中 M 为地球的质量)( ) A．M 星＝1 2M B．M 星＝2M C．M 星＝1 4M D．M 星＝4M 解析：选 C 根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向 h＝1 2gt2，水平方向 x＝ vt，可得 g 星 ＝ 1 16g 地，根据星球表面万有引力公式 GM星m R2 ＝mg 星，R星＝2R 地，可得 M 星＝ M 4 ，C 正确。 2．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地。若他 在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。已知该星 球的半径与地球半径之比为 R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为 g，设该星球表面附 近的重力加速度为 g′，空气阻力不计。则( ) A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2 C．M 星∶M 地＝1∶20 D．M 星∶M 地＝1∶80 解析：选 D 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t＝2v0 g ，因此得g′ g ＝ t 5t＝ 1 5，A、B 错误；由 GMm R2 ＝mg 得 M＝gR2 G ，因而M星 M地＝g′R星2 gR地2 ＝1 5(1 4 )2＝ 1 80，C 错误，D 正确。 3．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速 度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( ) A.1 4 B．4 倍 C．16 倍 D．64 倍 解析：选 D 天体表面的重力加速度 g＝GM R2 ，又知 ρ＝M V＝ 3M 4πR3，所以 M＝ 9g3 16π2ρ2G3， 故M星 M地＝(g星 g地 )3＝64。 [课时达标检测] 一、单项选择题 1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( ) A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 C．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度， 对万有引力定律进行了“月地检验” D．卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值 解析：选 D 开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星运行三大定律， 故 A 错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用，引力大小与行星到太阳 的距离的二次方成反比，故 B 错误；牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地面附近的自 由落体加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”，故 C 错误；牛顿发现了万有引力定律 之后，第一次通过实验准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许，故 D 正确。 2．下列说法正确的是( ) A．牛顿运动定律就是经典力学 B．经典力学的基础是牛顿运动定律 C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D．经典力学可以解决自然界中所有的问题 解析：选 B 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经 典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解 决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学 的适用范围，才能正确解决此类问题。 3．(2013·福建高考)设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视作半径为 r 的圆。已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足( ) A．GM＝4π2r3 T2 B．GM＝4π2r2 T2 C．GM＝4π2r2 T3 D. GM＝4πr3 T2 解析：选 A 由万有引力提供向心力可知，GMm r2 ＝m4π2 T2 r，对比各选项可知选 A。 4．(2017·南通质检)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 h 的圆形轨道上运行，运行周期为 T。已知引力常量为 G，月球的半径为 R。利用以上数据 估算月球质量的表达式为( ) A.4π2R3 GT2 B.4π2(R＋h) GT2 C.4π2(R＋h)2 GT2 D.4π2(R＋h)3 GT2 解析：选 D “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 G Mm (R＋h)2 ＝m 4π2(R＋h) T2 ，解得月球的质量为 M＝4π2(R＋h)3 GT2 ，选项 D 正确。 5．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动， 周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 1 20。该中心恒星与太阳的质量比约为 ( ) A. 1 10 B．1 C．5 D．10 解析：选 B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律 得 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，则M1 M2＝(r1 r2 )3·(T2 T1 )2＝( 1 20 )3×(365 4 )2≈1，选项 B 正确。 6．海王星有 13 颗已知的天然卫星。现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运转， 已知“海卫二”的质量为 2.0×1019 kg，轨道半径为 5.5×106 km，运行的周期为 360 天， 引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。则海王星的质量大约为( ) A．1.0×1017 kg B．1.0×1026 kg C．2.0×1011 kg D．2.0×1019 kg 解析：选 B 万有引力提供向心力，因已知周期，且 F万＝F 向，故可知 GMm r2 ＝m4π2 T2 r， 解得 M＝4π2r3 GT2 ，代入数据得 M＝1.0×1026 kg，B 正确。 7．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该 行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N。 已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( ) A.mv2 GN B.mv4 GN C.Nv2 Gm D.Nv4 Gm 解析：选 B 设卫星的质量为 m′，由万有引力提供向心力，得 GMm′ R2 ＝m′v2 R① m′v2 R＝m′g② 由已知条件 N＝mg 得 g＝N m③ 代入②得 R＝mv2 N 代入①得 M＝mv4 GN，故 B 正确。 8．(2014·浙江高考)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公 转轨道半径 r1＝19 600 km，公转周期 T1＝6.39 天。2006 年 3 月，天文学家新发现两颗冥王 星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径 r2＝48 000 km，则它的公转周期 T2 最接近于( ) A．15 天 B．25 天 C．35 天 D．45 天 解 析 ： 选 B 由 开 普 勒 第 三 定 律 可 得 r13 T12＝ r23 T22， 解 得 T2 ＝ T1 (r2 r1 )3＝ 6.39× (48 000 19 600)3≈24.5(天)，故选 B。本题也可利用万有引力定律对“卡戎星”和小卫星分别列 方程，联立方程组求解。 二、多项选择题 9．(2017·武汉调研)“超级地球”是指围绕恒星公转的类地行星。科学家们发现有 3 颗 不同质量的“超级地球”环绕一颗体积比太阳略小的恒星公转，公转周期分别为 4 天、10 天和 20 天。根据上述信息可以计算( ) A．3 颗“超级地球”运动的线速度之比 B．3 颗“超级地球”运动的向心加速度之比 C．3 颗“超级地球”所受的引力之比 D．该恒星的质量 解析：选 AB 设恒星质量为 M，因万有引力提供向心力，则有 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m 4π2 T2 r，可得：运动的线速度 v＝ 3 GM2π T ，向心加速度 a＝ω2r＝ωv＝2π T v，已知公转周期 T，故可以计算 3 颗“超级地球”运动的线速度之比和向心加速度之比，则选项 A、B 正确； 根据万有引力公式 F＝G Mm r2 和恒星的质量表达式 M＝4π2r3 GT2 ，可知不能计算 3 颗“超级地球” 所受的引力之比和该恒星的质量，则选项 C、D 错误。 10．(2017·山西大学附中月考)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量 M(已知引力 常量 G)( ) A．地球绕太阳运行的周期 T1 及地球到太阳中心的距离 R1 B．月球绕地球运行的周期 T2 及月球到地球中心的距离 R2 C．地球绕太阳运行的速度 v3 及地球到太阳中心的距离 R3 D．人造卫星在地面附近的运行速度 v4 和运行周期 T4 解析：选 BD 根据万有引力提供圆周运动的向心力，可以求出中心天体太阳的质量而 不可以求出环绕天体地球的质量，故 A、C 错误；月球绕地球做圆周运动，万有引力提供圆 周运动的向心力，则 GM地m月 R22 ＝m 月 4π2 T22R2，可以求出中心天体地球的质量，故 B 正确；已 知人造地球卫星在地面附近运行的速度和运行周期，根据 v4＝2πR T4 可得轨道半径，根据 G M地m R2 ＝m v42 R 可得地球质量，故 D 正确。 11．(2017·武汉质检)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星 探测器——“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为 h1 和 h2 的圆轨道上运动时， 周期分别为 T1 和 T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量 为 G。仅利用以上数据，可以计算出( ) A．火星的质量 B．“萤火一号”的质量 C．火星对“萤火一号”的引力 D．火星表面的重力加速度 解析：选 AD “萤火一号”在两个不同圆轨道上运动时，由万有引力定律和牛顿第二 定律得 G Mm (R＋h1)2 ＝m4π2 T12(R＋h1)，G Mm (R＋h2)2 ＝m4π2 T22(R＋h2)，联立以上两式可求得火星的质 量和半径，但无法求解“萤火一号”的质量，选项 A 正确，B 错误；由于“萤火一号”的 质量未知，故无法求解火星对“萤火一号”的引力，选项 C 错误；在火星表面有 GMm R2 ＝ mg，解得 g＝GM R2 ，选项 D 正确。 12．为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃曾与俄罗斯宇航员一起进行“模 拟登火星”实验活动。已知火星半径是地球半径的1 2，质量是地球质量的1 9，自转周期也基 本相同。地球表面重力加速度是 g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是 h，在忽略自 转影响的条件下，下述分析正确的是( ) A．王跃在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的4 9 B．火星表面的重力加速度是 2 3g C．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，在空中的时间为在地球上的9 4 倍 D．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是 3 2h 解析：选 AC 当宇航员在地球表面时，根据万有引力定律可得 F 万＝GMm r2 ＝mg，同 理可得宇航员在火星表面时 F 万′＝GM′m r′2 ＝mg′，所以其在火星表面受的万有引力是在 地球表面所受万有引力的4 9，A 项正确；火星表面的重力加速度 g′＝4 9g，B 项错误；由 t 火＝ 2v0 g′ 和 t 地＝2v0 g 可知，t 火＝9 4t 地，C 正确；由 0－v2＝－2gh 可得以相同的初速度在火星上 起跳时，可跳的最大高度 h′＝ g g′h＝9 4h，D 项错误。 13．(2017·西安模拟)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能 1 号”环绕月球沿椭 圆轨道运动，用 m 表示它的质量，h 表示它在近月点的高度，ω 表示它在近月点的角速度， a 表示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度。忽略其 他星球对“智能 1 号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( ) A．ma B．m R2g (R＋h)2 C．m(R＋h)ω2 D．mR2ω2 R＋h 解析：选 AB “智能 1 号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力， 由牛顿第二定律得 F＝ma，A 正确；由万有引力定律得 F＝G Mm (R＋h)2 ，又月球表面上，GMm R2 ＝mg，解得 F＝m R2g (R＋h)2 ，B 正确；由于“智能 1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆 半径不是 R＋h，C、D 错误。 14．银河系处于本超星系团的边缘。已知银河系距离星系团中心约 2 亿光年，绕星系 团中心运行的公转周期约 1 000 亿年，引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，根据上述数据 可估算( ) A．银河系绕本超星系团中心运动的线速度 B．银河系绕本超星系团中心运动的加速度 C．银河系的质量 D．银河系与本超星系团之间的万有引力 解析：选 AB 据题意可知银河系绕星系团做圆周运动，已知轨道半径 r 和周期 T，则 银河系运动的线速度 v＝2πr T ，加速度 a＝4π2r T2 ，故 A、B 正确；银河系是环绕天体，无法计 算其质量，故 C 错误；由于不知道银河系的质量，故无法求解银河系与本超星系团之间的 万有引力，故 D 错误。 第 26 课时 天体运动与人造卫星(重点突破课) [基础点·自主落实] [必备知识] 1．三种宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 (脱离速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 (逃逸速度) v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 2．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24 h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 得 r＝ 3 GMT2 4π2 ≈4.24×104 km，卫星离地面高度 h＝ r－R≈3.6×104 km(为恒量)。 (5)速率一定：运行速度 v＝2πr T ≈3.08 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 3．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 [小题热身] 1．判断正误 (1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。(×) (2)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×) (3)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。(√) (4)月球的第一宇宙速度也是 7.9 km/s。(×) (5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√) 2．由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 ( ) A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同 解析：选 A 同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定， 但质量可以不同，A 项正确。 3．(多选)我国已先后成功发射了“天宫二号”飞行器和“神舟十一号”飞船，并成功 地进行了对接试验，若“天宫二号”能在离地面约 360 km 高的圆轨道上正常运行，则下列 说法中正确的是( ) A．“天宫二号”的发射速度应大于第二宇宙速度 B．对接前，“神舟十一号”欲追上“天宫二号”，必须在同一轨道上点火加速 C．对接时，“神舟十一号”与“天宫二号”的加速度大小相等 D．对接后，“天宫二号”的速度小于第一宇宙速度 解析：选 CD 地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A 错 误；若“神舟十一号”在与“天宫二号”同一轨道上点火加速，那么“神舟十一号”的万有 引力小于向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，B 错误；对接时，“神舟十一号”与 “天宫二号”必须在同一轨道上，根据 a＝GM r2 可知，它们的加速度大小相等，C 正确；第 一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫二号”的速度仍然要小于第一 宇宙速度，D 正确。 [提能点·师生互动] 提能点(一) 宇宙速度的理解与计算 1.第一宇宙速度的推导 方法一：由 GMm R2 ＝mv12 R 得 v1＝ GM R ＝ 6.67 × 10－11 × 5.98 × 1024 6.4 × 106 m/s＝7.9×103 m/s。 方法二：由 mg＝mv12 R 得 v1＝ gR＝ 9.8 × 6.4 × 106 m/s＝7.9×103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的 运行周期最短，Tmin＝2π R g＝5 075 s≈85 min。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s 时，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 [典例] (2017·怀化模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发 射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2＝ 2v1。已知某星球的半径为地球半径 R 的 4 倍，质量为地球质量 M 的 2 倍，地球表 面重力加速度为 g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A. 1 2gR B.1 2 gR C. gR D. 1 8gR [解析] 设在地球表面飞行的卫星质量为 m，由万有引力提供向心力得 GMm R2 ＝mv2 R ， 又有 GMm R2 ＝mg，解得地球的第一宇宙速度为 v1＝ GM R ＝ gR；设该星球的第一宇宙速 度为 v1′，根据题意，有v1′ v1 ＝ 2M M R 4R ＝ 1 2 ；结合 GM＝gR2 知地球的第一宇宙速度 v1＝ gR，再由题意知 v2＝ 2v1，联立得该星球的第二宇宙速度为 v2′＝ gR，故 A、B、 D 错误，C 正确。 [答案] C 宇宙速度问题的分析思路 [集训冲关] 1．(2014·福建高考)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的 p 倍，半径为地球的 q 倍， 则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( ) A. pq倍 B. q p倍 C. p q倍 D. pq3倍 解析：选 C 卫星绕中心天体做圆周运动时，万有引力充当向心力，即 GMm r2 ＝mv2 r ， 得 v＝ GM r ，可见环绕速度与中心天体质量与半径比值的平方根成正比，题述行星卫星 的环绕速度是地球卫星环绕速度的 p q倍，C 项正确。 2．某颗人造地球卫星离地面的高度是地球半径的 n 倍，那么该卫星运行速度是地球第 一宇宙速度的( ) A．n 倍 B. 1 n 倍 C. 1 n＋1 倍 D. 1 n＋1 倍 解析：选 D 第一宇宙速度满足 GMm R2 ＝mv12 R ，人造地球卫星离地面的高度是地球半径 的 n 倍时速度满足 G Mm (n＋1)2R2 ＝m v22 (n＋1)R ，解以上两式得 v2＝ 1 n＋1v1，D 正确。 提能点(二) 卫星运行参量的分析与比较 [典例] (2013·海南高考)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、 中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它 们距地面的高度分别约为地球半径的 6 倍和 3.4 倍，下列说法中正确的是( ) A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍 B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的 2 倍 C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1 7 D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1 7 [解析] 由万有引力提供向心力可知 GMm r2 ＝mv2 r ＝mrω2＝mr(2π T )2＝ma，整理可得 周期 T＝ 4π2r3 GM ，线速度 v＝ GM r ，角速度 ω＝ GM r3 ，向心加速度 a＝GM r2 ，设地球的 半径为 R，由题意知静止轨道卫星的运行半径是 r1＝7R，中轨道卫星的运行半径是 r2＝ 4.4R，由比例关系可得静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 73 4.43≈2 倍，故 A 正确；同 理可判断出选项 B、C、D 均错误。 [答案] A 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 GMm r2 ＝{ma→a＝GM r2 mv2 r →v＝ GM r mω2r→ω＝ GM r3 m4π2 T2 r→T＝ 4π2r3 GM }越高越慢 [集训冲关] 1．(2016·上海高考)两颗卫星绕地球运行的周期之比为 27∶1，则它们的角速度之比为 ________，轨道半径之比为________。 解析：根据题意，卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星的运行角速度与周期关系为：ω＝ 2π T ，即角速度与周期成反比，则ω1 ω2＝T2 T1＝ 1 27；两颗卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向 心力，则有：GMm r2 ＝mrω2，即 r＝3 GM ω2 ，所以有r1 r2＝ 3 ω22 ω12＝9 1。 答案：1∶27 9∶1 2.(2013·广东高考)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径 分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的 是( ) A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大 解析：选 A 卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，GMm r2 ＝ma＝mr(2π T ) 2＝mv2 r ＝mrω2，解得 a＝GM r2 ，T＝2π r3 GM，v＝ GM r ，ω＝ GM r3 ，由此可知，在半径 一定时，中心天体质量越大，卫星的向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，因此 A 项正确，B、C、D 项错误。 3.(2015·福建高考)如图，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速 圆周运动，a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2，线速度大小分别为 v1、 v2，则( ) A.v1 v2＝ r2 r1 B.v1 v2＝ r1 r2 C.v1 v2＝(r2 r1 )2 D.v1 v2＝(r1 r2 )2 解析：选 A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力 GMm r2 ＝mv2 r ，可得 v＝ GM r 。 所以对于 a、b 两颗人造卫星有v1 v2＝ r2 r1，故选项 A 正确。 提能点(三) 卫星变轨问题分析 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 GMm r2 ＜mv2 r GMm r2 ＞mv2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动 应用 卫星的发射和回收 考法 1 卫星轨道渐变时各物理量的变化分析 [例 1] (多选)2016 年 10 月 19 日，神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室成功进行 了自动交会对接，航天员景海鹏、陈冬进入天宫二号。对接轨道所处的空间存在极其稀薄 的大气。下列说法正确的是( ) A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加 C．如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低 D．航天员在天宫二号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 [解析] 第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小 于第一宇宙速度，选项 A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向 心力 Fn＝mv2 r 减小，做近心运动，近心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势 能减小，动能增加，选项 B、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天 员做圆周运动的向心力，选项 D 错误。 [答案] BC 考法 2 卫星轨道突变前后各物理量的变化分析 [例 2] (多选)(2017·常州模拟)中国志愿者王跃参与人类 历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星 500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星 上首次留下中国人的足迹。假设将来人类一艘飞船从火星返回 地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( ) A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在 P 点速度大于在 Q 点的速度 B．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能 C．飞船在轨道Ⅰ上运动到 P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到 P 点时的加速 度 D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半 径运动的周期相同 [解析] 由飞船在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒可知，飞船在 P 点速度大于在 Q 点的速 度，A 正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于在 轨道Ⅱ上运动的机械能，B 错误；飞船在空间同一点所受万有引力相同，所以飞船在轨道Ⅰ 上运动到 P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到 P 点时的加速度，C 正确；由 GMm r2 ＝ m(2π T )2r 可知，M 不同，则 T 不同，故飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面 的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不相同，D 错误。 [答案] AC [通法归纳] 航天器变轨问题的两个结论 (1)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (2)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 [集训冲关] 1.(2016·天津高考)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后 发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神 舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室 的对接，下列措施可行的是( ) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 解析：选 C 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万 有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项 A 错误；同理，空间实 验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近 心运动，也不能实现对接，选项 B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时， 飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项 C 正确；当飞船在比空间实验 室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项 D 错误。 2.中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心，由长征 运载火箭将飞船送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上，B 点距离 地面高度为 h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上。“天宫一号”飞行 几周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。已知“天宫一号”在 预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，引力常量为 G，地球半径为 R。则下列说法正确的是 ( ) A．“天宫一号”在椭圆轨道的 B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的 B 点的向心加 速度 B．“天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，机械能不守恒 C．“天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，动能先减小后增大 D．由题中给出的信息可以计算出地球的质量 M＝4π2n2(R＋h)3 Gt2 解析：选 D 在 B 点，由 GMm r2 ＝ma 知，无论在哪个轨道上的 B 点，其向心加速度相 同，A 错误；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B 错；“天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，动能一直减小，C 错误；对“天宫一号”在预定 圆轨道上运行，有 G Mm (R＋h)2 ＝m(R＋h)·4π2 T2 ，而 T＝t n，故 M＝4π2n2(R＋h)3 Gt2 ，D 正确。 提能点(四) 宇宙多星模型 考法 1 “双星”模型 (1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星 做匀速圆周运动的向心力大小相等。 (2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是 相等的。 (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系：r1＋r2＝L。 [例 1] 质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点 O 做 匀速圆周运动，构成双星系统。由天文观察测得其运动周期为 T，两星体之间的距离为 r， 已知引力常量为 G。下列说法正确的是( ) A．双星系统的平均密度为 3π GT2 B．O 点离质量较大的星体较远 C．双星系统的总质量为4π2r3 GT2 D．若在 O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零 [解析] 根据 GMm r2 ＝mr1 4π2 T2 ，GMm r2 ＝Mr2 4π2 T2 ，联立两式解得 M＋m＝4π2r3 GT2 ，因为双星 的体积未知，无法求出双星系统的平均密度，故 A 错误，C 正确。根据 mω2r1＝Mω2r2 可知 mr1＝Mr2，质量大的星体离 O 点较近，故 B 错误。因为 O 点离质量较大的星体较近，根据 万有引力定律可知若在 O 点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不 为零，故 D 错误。 [答案] C 考法 2 “三星”模型 (1)如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另 外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星 受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2 r2 ＋Gm2 (2r)2 ＝ma 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形 的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力 的合力来提供。 Gm2 L2 ×2×cos 30°＝ma 其中 L＝2rcos 30°。 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 [例 2] (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种 三星系统如图所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三 角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形 中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则( ) A．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B．每颗星做圆周运动的角速度为 3Gm R3 C．每颗星做圆周运动的周期为 2π R3 3Gm D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 [解析] 由题图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径 r＝ R 2 cos 30°＝ 3 3 R。由牛顿第二定 律得：Gm2 R2 ·2cos 30°＝m v2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r＝ma 可解得 v＝ Gm R ，ω＝ 3Gm R3 ，T＝2π R3 3Gm，a＝ 3Gm R2 ，故 A、B、C 均正确，D 错误。 [答案] ABC 考法 3 “四星”模型 (1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正 方形的圆轨道做匀速圆周运动，Gm2 L2 ×2×cos 45°＋ Gm2 ( 2L)2 ＝ma，其中 r＝ 2 2 L。 四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 (2)如图所示：三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角 形的中心 O 点，三颗行星以 O 点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。 Gm2 L2 ×2×cos 30°＋GMm r2 ＝ma。 其中 L＝2rcos 30°。 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 [例 3] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可 忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四 颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统， 下列说法错误的是( ) A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为a 2 C．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2 D．四颗星的周期均为 2πa 2a (4＋ 2)Gm [解析] 其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点， 围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 2 2 a，故 A 正确， B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 Gmm′ R2 ＝m′g，解得 g＝Gm R2 ，故 C 正确；由万有引力定律和向心力公式得 Gm2 ( 2a)2 ＋ 2Gm2 a2 ＝m4π2 T2 2a 2 ，T＝2πa 2a (4＋ 2)Gm ， 故 D 正确。 [答案] B [通法归纳] 紧抓四点解决双星、多星问题 (1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万 有引力和向心力。 [课时达标检测] 一、单项选择题 1．(2017·蚌埠模拟)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通 信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括 5 颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。对于 其中的 5 颗同步卫星，下列说法中正确的是( ) A．它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/s B．地球对它们的吸引力一定相同 C．一定位于赤道上空同一轨道上 D．它们运行的加速度一定相同 解析：选 C 同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s，A 错误；地球对 5 颗同步卫星 吸引力的方向一定不同，B 错误；5 颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的 加速度大小一定相等，方向不同，C 正确，D 错误。 2.如图所示，P、Q 为质量相同的两质点，分别置于地球表面的不同纬度 上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动， 则下列说法正确的是( ) A．P、Q 所受地球引力大小相等 B．P、Q 做圆周运动的向心力大小相等 C．P、Q 做圆周运动的线速度大小相等 D．P 所受地球引力大于 Q 所受地球引力 解析：选 A 计算均匀球体与质点间的万有引力时，r 为球心到质点的距离，因为 P、Q 到地球球心的距离相同，根据 F＝G Mm r2 知，P、Q 所受地球引力大小相等，P、Q 随地球自 转，角速度相同，但轨道半径不同，所以线速度大小不同，根据 Fn＝mRω2，P、Q 做圆周 运动的向心力大小不同。A 正确，B、C、D 错误。 3．(2017·莆田质检)美国宇航局宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合 居住的行星——“开普勒22b”，其直径约为地球的 2.4 倍。至今其确切质量和表面成分仍 不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 ( ) A．3.3×103 m/s B．7.9×103 m/s C．1.2×104 m/s D．1.9×104 m/s 解析：选 D 由该行星的密度和地球相当可得M1 R13＝M2 R23，地球第一宇宙速度 v1＝ GM1 R1 ≈7.9 km/s，该行星的第一宇宙速度 v2＝ GM2 R2 ，联立解得 v2＝2.4v1＝1.9×104 m/s，D 正确。 4．(2016·全国乙卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间 保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍。假设地球的自转 周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析：选 B 万有引力提供向心力，对同步卫星有： GMm r2 ＝m4π2 T2 r， 整理得 GM＝4π2r3 T2 当 r＝6.6R 地时，T＝24 h 若地球的自转周期变小，轨道半径最小为 2R 地 三颗同步卫星 A、B、C 如图所示分布。 则有4π2(6.6R地)3 T2 ＝4π2(2R地)3 T′2 解得 T′≈T 6＝4 h，选项 B 正确。 5．(2017·玉林质检)经长期观测人们在宇宙中发现了“双星系统”，“双星系统”由两 颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般 远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做 周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1∶m2＝3∶2。则 可知( ) A．m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 2∶3 B．m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 3∶2 C．m1 做圆周运动的半径为 2 5L D．m2 做圆周运动的半径为 2 5L 解析：选 C 双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的 匀速圆周运动，角速度相同，选项 A 错误；由 Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2 得 r1∶r2＝m2∶m1＝ 2∶3，由 v＝ωr 得 m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项 B 错误； m1 做圆周运动的半径为 2 5L，m2 做圆周运动的半径为 3 5L，选项 C 正确，D 错误。 6.(2016·四川高考)国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其 轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方 红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度 为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为( ) A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a D．a1＞a2＞a3 解析：选 D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点 时有 G Mm1 (R＋h1)2 ＝m1a1，即 a1＝ GM (R＋h1)2 ，对于东方红二号，有 G Mm2 (R＋h2)2 ＝m2a2，即 a2＝ GM (R＋h2)2 ，由于 h2＞h1，故 a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红 二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据 a＝ω2r，故 a2＞a3， 所以 a1＞a2＞a3，选项 D 正确，选项 A、B、C 错误。 7.如图所示，同步卫星与地心的距离为 r，运行速率为 v1，向 心加速度为 a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2， 第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则下列比值正确的是( ) A.a1 a2＝R r B.a1 a2＝(R r )2 C.v1 v2＝r R D.v1 v2＝ R r 解析：选 D 对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有 GMm r2 ＝mv2 r ，解得 v＝ GM r ，故v1 v2＝ R r，C 错误，D 正确；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角 速度相等，有 a＝ω2r，故a1 a2＝r R，A、B 错误。 8．(2014·天津高考)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3 亿年前地球自转的周期约为 22 小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星 与现在的相比( ) A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 解析：选 A 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即 GMm r2 ＝mr(2π T )2， 得 r＝ 3 GMT2 4π2 ，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变 大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A 项正确；由 GMm r2 ＝ma 得，a＝GM r2 ，半径变大，向心加速度变小，B 项错误；由 GMm r2 ＝m v2 r 得，v＝ GM r ，半 径变大，线速度变小，C 项错误；由 ω＝2π T 分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D 项错误。 二、多项选择题 9．(2017·丽水模拟)设地球的半径为 R0，质量为 m 的卫星在距地面 2R0 高处做匀速圆周 运动，地面的重力加速度为 g，则下列说法正确的是( ) A．卫星的线速度为 gR0 2 B．卫星的角速度为 g 8R0 C．卫星的加速度为g 9 D．卫星的周期为 2π 27R0 g 解析：选 CD 卫星在距地面 2R0 高处做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 Gm0m r22 ＝mv2 r2 ＝mω2r2＝m4π2r2 T2 ＝ma，在地球表面处有 Gm0m r12 ＝mg，其中 r1＝R0，r2＝3R0，解以上各式得 v＝ gR0 3 ，ω＝ g 27R0，a＝g 9，T＝2π 27R0 g ，A、B 错误，C、D 正确。 10．(2017·宝鸡质检)在太阳系中有一颗半径为 R 的行星，若在该行星表面以初速度 v0 竖直向上抛出一物体，上升的最大高度为 H，已知该物体所受的其他力与行星对它的万有 引力相比较可忽略不计。根据这些条件，可以求出的物理量是( ) A．太阳的密度 B．该行星的第一宇宙速度 C．该行星绕太阳运行的周期 D．卫星绕该行星运行的最小周期 解析：选 BD 由 v02＝2gH，得该行星表面的重力加速度 g＝v02 2H，根据 mg＝mv2 R＝m4π2 T2 R，解得该行星的第一宇宙速度 v＝ v02R 2H ，卫星绕该行星运行的最小周期 T＝ 8π2RH v02 ， 所以 B、D 正确；因不知道行星绕太阳运动的任何量，故不能算太阳的密度和该行星绕太阳 运动的周期，所以 A、C 错误。 11．假设月亮和同步卫星都绕地心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A．同步卫星的线速度大于月亮的线速度 B．同步卫星的角速度大于月亮的角速度 C．同步卫星的向心加速度大于月亮的向心加速度 D．同步卫星的轨道半径大于月亮的轨道半径 解析：选 ABC 月亮绕地心做匀速圆周运动的周期大于同步卫星绕地心做匀速圆周运 动的周期，由 ω＝2π T 可知 ω 卫星>ω 月，选项 B 正确；由 GMm r2 ＝m4π2r T2 得 T＝2π r3 GM， 故 r 卫星查看更多