福建高考理科数学试卷及答案解析文字版

福建高考理科数学试卷及答案解析文字版

‎2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)若复数(a2‎-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1 B‎.2 ‎ C.1或2 D.-1‎ ‎(2)设集合A={x|},B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为 A.63 B‎.64 ‎ C.127 D.128‎ ‎(4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 B‎.0 ‎ C.-1 D.-2‎ ‎(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎(6)如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=BC=2, AA1=1, 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B‎.24 ‎ C.28 D.48‎ ‎(8)若实数x、y满足 x-y+1≤0，则的取值范围是 ‎ x>0‎ ‎ A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞]‎ ‎(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y= -f′(x)的图象，则m的值可以为 A. B. C.－ D.－ ‎ ‎(10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 A. B. C.或 D. 或 ‎(11)双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ ‎ (12)已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎（13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)‎ ‎ x=1+cos ‎(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin （为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .‎ ‎（15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　.‎ ‎（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题：‎ ‎　　　①整数集是数域； ②若有理数集，则数集M必为数域；‎ ‎③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.‎ 其中正确的命题的序号是　　　　.（把你认为正确的命题的序号都填上）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎　　　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎　　　已知函数.‎ ‎　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n, Sn）也在y=f′(x)的图象上；‎ ‎　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1, a）内的极值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。‎ 现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。‎ ‎　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；‎ ‎　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎　　　如图、椭圆（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.‎ ‎　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围.‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ ‎　　　已知函数f(x)=ln(1+x)-x ‎　　　　（Ⅰ）求f(x)的单调区间；‎ ‎　　（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.‎ ‎ （Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；‎ ‎（Ⅳ）求证： ‎ 数学试题（理工农医类）答案解析 数 学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）解析：由得,且（纯虚数一定要使虚部不为0）‎ 答案 B ‎（2）解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件 答案 A ‎ （3）解析：由及｛an｝是公比为正数得公比，所以 答案 C ‎（4）解：为奇函数，又 故即.‎ 答案 B ‎ （5）解：独立重复实验，‎ 答案 B ‎（6）解：连与交与O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成角.‎ ‎ ，，‎ ‎ ‎ 答案 D ‎ （7） 解：6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，‎ 所以满足要求的方案总数有14种 答案 A ‎（8）解：由已知，，又，故的取值范围是 答案 C ‎ ‎ ‎（9）解：,而的图象按向量 平移后 得到,所以，故可以为.‎ 答案 A ‎（10）解： 由得即 ‎,又在△中所以B为或 答案 D ‎（11）解：如图，设，，当P在右顶点处，‎ ‎∵，∴‎ 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。‎ 答案 B ‎ ‎ ‎ （12） 解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)‎ 导函数是增函数，增加越来越快.‎ 答案 D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎（13）‎ 解：令，令得 ‎ 所以 ‎ ‎(14) ‎ 解：圆心为，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得 ‎，即，‎ ‎（15）‎ 解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.‎ ‎ ,‎ ‎（16）‎ ‎ 解：①对除法如不满足，所以排除，‎ ‎②取,对乘法, ③④的正确性容易推得。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎　　‎ 解：（Ⅰ） 由题意得 ‎ ‎　　　　　由A为锐角得 ‎ ‎　　 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ‎　　　　　所以 ‎　　　　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.‎ ‎　　　　　当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是 ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎　　‎ ‎　解法一：‎ ‎　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,‎ 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.‎ 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，‎ 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.‎ 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,‎ 所以OB＝，‎ 在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，‎ 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝‎ 所以异面直线PB与CD所成的角是 ‎（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.‎ ‎　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，‎ ‎　　　在Rt△POC中， ‎ 所以PC=CD=DP, ‎ 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.‎ 解法二：‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),‎ ‎ 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，‎ ‎ (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，‎ 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).‎ 则所以即，‎ 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).‎ 设由，得 解y=-或y=(舍去)，此时，‎ 所以存在点Q满足题意，此时.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎　　‎ 解：(Ⅰ)证明： 因为所以，‎ 由点在函数的图象上,‎ ‎， 又 ‎ 所以，是的等差数列 ‎ 所以,又因为,所以,‎ ‎ 故点也在函数的图象上.‎ ‎ (Ⅱ)解:,令得.‎ 当x变化时,﹑的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 注意到,从而 ‎①当,此时无极小值；‎ ‎②当的极小值为,此时无极大值；‎ ‎③当既无极大值又无极小值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎　　‎ ‎ 解：设“科目A第一次考试合格”为事件，“科目A补考合格”为事件；“科目B第一次考试合格”为事件，“科目B补考合格”为事件 ‎ (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为,注意到与相互独立，‎ 则.‎ 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎　　‎ ‎ 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形，‎ ‎ 所以,‎ ‎ 因此，椭圆方程为 ‎(Ⅱ) 设 ‎ (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，‎ ‎ 设直线AB的方程为：‎ ‎ 整理得 ‎ 所以 ‎ 因为恒有，所以AOB恒为钝角.‎ ‎ 即恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又，所以对恒成立，‎ 即对恒成立,当时，最小值为0，‎ 所以， ,‎ 因为，即,‎ 解得或(舍去)，即,‎ 综合（i）(ii)，a的取值范围为.‎ 所以＜(nN*),‎ 则＜‎ ‎ ‎