【数学】2018届一轮复习人教A版专题七随机变量、空间向量（理科）学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题七随机变量、空间向量（理科）学案

江苏 新高考 这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力.,由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.‎ 第1课时随机变量与分布列(能力课)‎ ‎ 常考题型突破]‎ 离散型随机变量的分布列及其期望 ‎ 例1]　(2017·南通二调)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．‎ ‎(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；‎ ‎(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．‎ ‎ 解]　(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，‎ 则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”．‎ 所以P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ 答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.‎ ‎(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.‎ 依题意，X＝ax＋2a(4－x)，故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.‎ 则P(X＝8a)＝P(x＝0)＝＝，‎ P(X＝7a)＝P(x＝1)＝＝，‎ P(X＝6a)＝P(x＝2)＝＝，‎ P(X＝5a)＝P(x＝3)＝＝.‎ 从而X的概率分布为：‎ X ‎8a ‎7a ‎6a ‎5a P ‎　　所以X的数学期望E(X)＝8a×＋7a×＋6a×＋5a×＝a.‎ ‎ 方法归纳]‎ 求离散型随机变量问题的四步骤 由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：‎ ‎(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值x1，x2，…；‎ ‎(2)根据事件的种类求随机变量的概率P(X＝xi)，i＝1,2，…；‎ ‎(3)写出分布列 X x1‎ x2‎ ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ ‎(这里可用分布列性质：0≤pi≤1及p1＋p2＋…＋pn＝1检验是否出错)；‎ ‎(4)根据题目要求计算数学期望E(X)或方差V(X)．‎ ‎ 变式训练]‎ ‎(2017·扬州考前调研)某校举办校园 技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．‎ ‎(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；‎ ‎(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ 解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，‎ 则P(M)＝＝，‎ 故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.‎ ‎(2)X可能的取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎ n次独立重复试验的模型及二项分布 ‎ 例2]　(2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．‎ ‎(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；‎ ‎(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)．‎ ‎ 解]　(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.‎ ‎(2)由题意得X～B，P(X＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5.‎ 所以X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以X的数学期望为E(X)＝5×＝.‎ ‎ 方法归纳]‎ 二项分布的分布列及期望问题求解三步骤 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布.‎ 第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.‎ 第三步，根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可. ‎ ‎ 变式训练]‎ ‎(2017·扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．‎ ‎(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；‎ ‎(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)．‎ 解：(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A＝24个基本事件，则P(M)＝＝，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. ‎ ‎(2)法一：X可能的取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ‎ 法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X～B，所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝3×＝.‎ 期望与方差的应用 ‎ 例3]　(2017·苏州模拟)某商场举办“迎新年摸球”‎ 活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．‎ ‎(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；‎ ‎(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．‎ ‎ 解]　(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.‎ 则P(M)＝×＝，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.‎ ‎(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：‎ ‎①先在甲箱中摸球，参与者获奖金ξ可取0，m，m＋n，‎ 则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝m)＝×＝，P(ξ＝m＋n)＝×＝，‎ E(ξ)＝0×＋m×＋(m＋n)×＝＋.‎ ‎②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n，m＋n，‎ 则P(η＝0)＝，P(η＝n)＝×＝，P(η＝m＋n)＝×＝，‎ E(η)＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋.‎ E(ξ)－E(η)＝.‎ 当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；‎ 当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；‎ 当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．‎ 故当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．‎ ‎ 方法归纳]‎ 利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出 学的决策，其中随机变量ξ 的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.‎ (1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的均值，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用V(ξ1)，V(ξ2) 比较这两个随机变量的偏离程度.‎ (2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.‎ (3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是，一般先计算均值，若相等，则由方差 确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近，且均值较大者的方差较小，显然该变量较好；若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即选择较理想的平均水平还是选择较稳定.‎ ‎ 变式训练]‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的概率分布、数学期望及方差；‎ ‎②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ 解：(1)当日需求量n≥16时，y＝16×(10－5)＝80；‎ 当日需求量n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.‎ 所以y＝(n∈N)．‎ ‎(2)①X所有可能取值为60,70,80，则P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.‎ ‎∴X的概率分布为：‎ X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎∴X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，‎ X的方差为V(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.‎ ‎②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：‎ 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的概率分布为：‎ Y ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ ‎∴Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.‎ Y的方差为V(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.‎ 由以上的计算结果可以看出，V(X)0的解集为R的概率．‎ 解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4，对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0，‎ 所以ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ P(ξ＝0)＝C×2×2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝，‎ P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝.‎ 所以随机变量ξ的概率分布为：‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.‎ ‎(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ 当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，‎ 即22＋>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集为xx≠，不满足题意．‎ 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝.‎ ‎5．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎ 10,15)‎ ‎ 15,20)‎ ‎ 20,25)‎ ‎ 25,30)‎ ‎ 30,35)‎ ‎ 35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ 解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，‎ 由表格数据知 P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，‎ P(X＝500)＝＝0.4.‎ 因此X的分布列为：‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温位于区间 20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.‎ 因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.‎ 当200≤n<300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.‎ 因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.‎ 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ 第2课时运用空间向量求角(能力课)‎ ‎ 常考题型突破]‎ 运用空间向量求两直线所成的角 ‎ 例1]　已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且＝λ，PC⊥AB.‎ ‎(1)求λ的值；‎ ‎(2)求异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值．‎ ‎ 解]　(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC中点O，连结OB，则OB⊥AC.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，‎ 所以＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)．‎ 因为PC⊥AB，所以·＝0，‎ 得(＋)·＝0，‎ 即(＋λ)·＝0，‎ 即(λ，－2＋λ，2－2λ)·(，1,0)＝0，解得λ＝.‎ ‎(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，cos θ＝＝，‎ 所以异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值是.‎ ‎ 方法归纳]‎ ‎1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．‎ ‎2．用向量法求异面直线所成角的四步骤 ‎(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；‎ ‎(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；‎ ‎(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；‎ ‎(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． ‎ ‎ 变式训练]‎ ‎(2017·无锡期末)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求EF与DG所成角的余弦值；‎ ‎(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，‎ ‎∵E，F，G分别为BC，PD，PC的中点，‎ ‎∴E，F，G，‎ ‎∴＝，＝，‎ 设EF与DG所成角为θ，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎∴EF与DG所成角的余弦值为.‎ ‎(2)存在MN，使得MN⊥平面PBC，理由如下：‎ 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎∵＝(0,1,0)，＝(1,0，－1)，‎ ‎∴即 取x＝1，得n＝(1,0,1)，‎ 若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥n，‎ 设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，‎ 则　①‎ ‎∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，‎ ‎∴＝λ，＝t，‎ ‎∵＝，＝(x2，y2－2，z2)，‎ ‎∴且　②‎ 把②代入①，得 解得∴M，N.‎ 故存在两点M，N，使得MN⊥平面PBC.‎ 运用空间向量求直线和平面所成的角 ‎ 例2]　(2017·镇江调研)如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.‎ ‎(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；‎ ‎(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎ 解]　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，‎ 则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，＝(－3,3,3)，＝(0，－3,2)，‎ 所以cos〈，〉＝ ‎＝＝－，‎ 故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.‎ ‎(2)由(1)知＝(0，－3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，‎ 所以＝(3,0，－1)，＝(0,0,3)．‎ 设平面BED1F的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝(1,2,3)是平面BED1F的一个法向量．‎ 设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则 sin α＝＝＝，‎ 所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.‎ ‎ 方法归纳]‎ 直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ ‎　　‎ ‎ 变式训练]‎ ‎(2017·南通、泰州一调)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．‎ ‎(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；‎ ‎(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．‎ 解：以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.‎ 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2λ)．‎ ‎(1)当λ＝时，＝(1,2,2)，＝(2,0,1)，‎ 所以cos〈，〉＝ ‎＝＝.‎ 所以AP与AQ所成角的余弦值为. ‎ ‎(2)＝(0,0,2)，＝(2,0,2λ)．‎ 设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.‎ 所以n＝(2λ，2－λ，－2)．‎ 又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，‎ 所以|cos〈n，〉|＝ ‎＝＝，‎ 可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.‎ 运用空间向量求二面角 ‎ 例3]　(2017·南通调研)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.‎ ‎(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角APCD的余弦值．‎ ‎ 解]　(1)如图，分别以AB，AD，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)．‎ 设P(x0，y0，z0)，‎ 由＝，得(x0，y0，z0－2)＝(0,2，－2)，‎ ‎∴x0＝0，y0＝，z0＝，‎ 点P的坐标为.‎ ＝，＝(1,0,0)．‎ 设直线AB与CP所成的角为α，‎ 则cos α＝＝.‎ ‎(2)设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，‎ 由于＝(1,2,0)，＝，‎ ‎∴即 令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，‎ 所以m＝(4，－2,1)为平面APC的一个法向量．‎ 设平面SCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，‎ 由于＝(1,0,0)，＝(0，－2,2)，‎ ‎∴即 令y2＝1，则z2＝1，‎ 所以n＝(0,1,1)为平面SCD的一个法向量．‎ 设二面角APCD的大小为θ，由图易知θ为锐角，‎ 所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝，‎ 所以二面角APCD的余弦值为.‎ ‎ 方法归纳]‎ 解决二面角问题的两种方法 ‎(1)坐标法 建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝求出．(结合图形取“±”号)‎ ‎(2)定义法 构造出二面角的平面角，通过解三角形计算．‎ ‎ 变式训练]‎ ‎1.直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ.‎ ‎(1)若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；‎ ‎(2)若二面角B1A1C1D的大小为60°，求实数λ的值．‎ 解：如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)．‎ ‎(1)当λ＝1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，＝(1，－2,2)，＝(0,4,0)，＝(1,2，－2)．‎ 设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝1，得y＝0，x＝2，‎ 则n＝(2,0,1)为平面A1C1D的一个法向量，‎ 设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ.‎ 则sin θ＝＝＝＝，‎ 所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.‎ ‎(2)因为＝λ，所以D，＝.‎ 设平面A1C1D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 令z1＝1，得y1＝0，x1＝λ＋1，‎ 则n1＝(λ＋1,0,1)为平面A1C1D的一个法向量．‎ 又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0,0,1)，‎ 由题意得|cos〈n1，n2〉|＝，所以＝，‎ 解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)，‎ 所以实数λ的值为－1.‎ ‎2．(2017·苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥PABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎(2)求二面角NPCB的余弦值．‎ 解：(1)连结AC，BD，设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，方向分别是x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图．‎ 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)．‎ 故＝＋＝＋＝，＝＝， ‎ 所以＝，＝(－1,1，－)，‎ cos〈，〉＝＝＝，‎ 所以MN与PC所成角的大小为30°.‎ ‎(2)＝(－1,1，－)，＝(2,0,0)，＝.‎ 设m＝(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，‎ 则即 令y＝，得z＝1，所以m＝(0，，1)，‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的一个法向量，‎ 则即 令x1＝2，得y1＝4，z1＝，‎ 所以n＝(2,4，), ‎ 故cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 所以二面角NPCB的余弦值为.‎ ‎ 课时达标训练]‎ ‎1．(2017·南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．‎ 解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD.‎ 又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.‎ 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形．‎ 因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.‎ 因为BC∥AD，所以AE⊥AD.‎ 故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.‎ ‎(1)因为＝(0,2,0)，＝，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ＝λ，即＝λ，‎ 则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．‎ 解得M(0,2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1,2－2λ)．‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．‎ 因为＝(，0,0)，＝，‎ 所以即 令y0＝2，得z0＝－1，‎ 所以平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．‎ 由于CM∥平面AEF，则n·＝0，‎ 即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.‎ ‎2.如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．‎ ‎(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎(2)求AC与PB所成角的余弦值；‎ ‎(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值．‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.‎ ‎(1)证明：因为＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，故·＝0，所以AP⊥DC.由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，‎ 所以DC⊥平面PAD.‎ 又DC⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.‎ ‎(2)因为＝(1,1,0)，＝(0,2，－1)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝.‎ 所以AC与PB所成角的余弦值为.‎ ‎(3)设平面AMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．‎ 因为＝，＝(1,1,0)，‎ 所以即 取x1＝1，得y1＝－1，z1＝2，所以n1＝(1，－1,2)．‎ 同理可得平面BMC的一个法向量为n2＝(1,1,2)．‎ 因为cos〈n1，n2〉＝＝＝.‎ 所以平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值为.‎ ‎3．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.‎ ‎(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角BA1DA的正弦值．‎ 解：(1)在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.‎ 因为AA1⊥平面ABCD，‎ 所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.‎ 如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.‎ 因为AB＝AD＝2，‎ AA1＝，∠BAD＝120°，‎ 则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)．‎ ‎(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．‎ 则cos〈，〉＝＝＝－.‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，‎ 又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，‎ 则即 不妨取x＝3，则y＝，z＝2，‎ 所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，‎ 从而cos〈，m〉＝＝＝.‎ 设二面角BA1DA的大小为θ，则|cos θ|＝.‎ 因为θ∈ 0，π]，所以sin θ＝＝.‎ 因此二面角BA1DA的正弦值为.‎ ‎4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ (0≤λ≤1)．‎ ‎(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；‎ ‎(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．‎ 解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2λ)．‎ ‎(1)由λ＝得，＝，＝(1,0，－2)，＝(0,1，－2)．‎ 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得 不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，‎ 从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．‎ 设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝＝，‎ 所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.‎ ‎(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 又＝(1,0,2λ－2)，‎ 故由得 不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，‎ 所以平面PA1C的一个法向量为n2＝(2－2λ，2,1)．‎ 则cos〈n1，n2〉＝，‎ 又二面角PA1CB的正弦值为，‎ 所以＝，‎ 化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，‎ 故λ的值为1.‎ ‎5.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．‎ ‎(1)设二面角AA1BP的大小为θ，求sin θ的值；‎ ‎(2)设M为线段A1B上的一点，求的取值范围．‎ 解：(1)如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)．‎ 所以＝(0,0,2)，＝(0,1,0)．‎ 设平面AA1B的法向量为n＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 取n＝(1,0,0)为平面AA1B的一个法向量．‎ 又＝(1，－1,1)，＝(1,0，－1)．‎ 设平面PA1B的法向量为m＝(x2，y2，z2)，‎ 则即 取m＝(1,2,1)为平面PA1B的一个法向量．‎ 所以cos〈n，m〉＝＝，‎ 则sin θ＝.‎ ‎(2)设M(x，y，z)，＝λ (0≤λ≤1)，‎ 即(x－1，y－1，z)＝λ(0，－1,2)，‎ 所以M(1,1－λ，2λ)．‎ 所以＝(0，λ－1，－2λ)，＝(－1，λ，1－2λ)，‎ ＝ ‎＝ ‎＝.‎ 令2λ－1＝t∈ －1,1]，‎ 则＝，‎ 当t∈ －1,0)时，∈；‎ 当t∈(0,1]时，∈；‎ 当t＝0时，＝0.‎ 所以∈，‎ 则∈.‎ 故的取值范围为.‎ ‎6．(2017·南通三模)如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.‎ ‎(1)求二面角SBCA的余弦值；‎ ‎(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．‎ 解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，‎ 所以＝(2,2，－2)，＝(0,1，－2)，＝(0,0,2)．‎ 设平面SBC的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝1，得x＝－1，y＝2，‎ 所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC的一个法向量. ‎ 因为SD⊥平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2＝(0,0,1)．‎ 设二面角SBCA的大小为θ，‎ 由图可知二面角SBCA为锐二面角，‎ 所以|cos θ|＝＝＝，‎ 所以二面角SBCA的余弦值为. ‎ ‎(2)由(1)知E(1,0,1)，‎ ＝(2,1,0)，＝(1，－1，1)．‎ 设＝λ (0≤λ≤1)，‎ 则＝λ(2,1,0)＝(2λ，λ，0)，‎ 所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．‎ 易知CD⊥平面SAD，‎ 所以＝(0,1,0)是平面SAD的一个法向量．‎ 设PE与平面SAD所成的角为α，‎ 所以sin α＝|cos〈，〉|＝＝， ‎ 即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．‎ 所以＝，||＝，‎ 所以线段CP的长为.‎