【数学】2020届一轮复习人教版（理）第1章第1讲集合的概念与运算学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第1章第1讲集合的概念与运算学案

第 1 讲　集合的概念与运算 [考纲解读]　1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形 语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题． 2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重 点) 3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会 求给定子集的补集．(重点、难点) 4.能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算． [考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测 2020 年 高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、 值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现. 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：□01 确定性、□02 互异性、□03 无序性． (2)元素与集合的关系有□04 属于或□05 不属于两种，用符号□06 ∈或□07 ∉表示． (3)集合的表示法：□08 列举法、□09 描述法、□10 图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或 N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 3．集合的基本运算 4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔□01 B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔□02 A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝□03 U；A∩(∁UA)＝□04 ∅；∁U(∁UA)＝□05 A；∁U(A ∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． (4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 □06 2n 个，非空子集个数 为 □07 2n－1 个，真子集有 □08 2n－1 个，非空真子集的个数为 □09 2n－2 个． 1．概念辨析 (1)若 1∈{x，x2}，则 x＝±1.(　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) (3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．(　　) (4)对于任意两个集合 A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身 (1)若集合 A＝{x|－23}，则 A∩B＝(　　) A．{x|－25}”，如何求解？ 解　因为 B⊆A，所以①当 B＝∅时，即 2m－14. 综上可知，实数 m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 1．判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从 而找出集合之间的关系．如举例说明 1 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上 找差异进行判断．如举例说明 2 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定 集合与集合之间的关系．如举例说明 3 2．根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为∅⊆A 对任意集合 A 都成立．如举例说明 3 中 2m－12 C．a<0 D．a≤0 答案　A 解析　∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使 A⊆B，a 须满足 a≥2. 3．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数为________． 答案　7 解析　集合 A 除含元素 0,1,2 外，还至少含有 3,4,5 中的一个元素，所以集 合 A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为 23－1＝7. 题型 三 　集合的基本运算 角度 1　集合的并、交、补运算 1．(2018·天津高考)设集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－ 1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(　　) A．{－1,1} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{2,3,4} 答案　C 解析　因为集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，所 以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}． 2．(2018·皖北协作区联考)已知集合 A＝{y|y＝ x2－1}，B＝{x|y＝lg (x－ 2x2)}，则∁R(A∩B)＝(　　) A.[0，1 2) B．(－∞，0)∪[1 2 ，＋∞) C.(0，1 2) D．(－∞，0]∪[1 2 ，＋∞)答案　D 解析　因为 A＝{y|y＝ x2－1}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}＝(0，1 2)， 所以 A∩B＝(0，1 2)，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪[1 2 ，＋∞). 角度 2　知集合的运算结果求参数 3．设 U＝R，集合 A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁ UA)∩B＝∅，则 m＝________. 答案　1 或 2 解析　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得 B⊆A. x2＋(m＋1)x＋m＝0 可化为(x＋1)(x＋m)＝0， 当 m＝1 时，B＝{－1}，符合题意； 当 m≠1 时，B＝{－1，－m}，为使 B⊆A 成立，须有－m＝－2，即 m＝2. 综上知 m＝1 或 2. 1．求集合交集、并集或补集的步骤 2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点 (1)分析运算结果并进行恰当转换． 如举例说明 3 中，由(∁UA)∩B＝∅，知 B⊆A. (2)化简集合为求参数创造有利条件． 如举例说明 3 中，A＝{－2，－1}．当 m＝1 时，B＝{－1}；当 m≠1 时，B ＝{－1，－m}．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知全集 U＝R，集合 M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部 分(如图)表示的集合是(　　) A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1) 答案　D 解析　由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为 M∩(∁UN)＝(－3，－1)． 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　) A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 答案　B 解析　解不等式 x2－x－2>0 得 x<－1 或 x>2，所以 A＝{x|x<－1 或 x>2}，所 以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选 B. 3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合 P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q ＝R，则 a 的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，4] 答案　C 解析　集合 P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2 或 x>4}，Q＝{x|x≥a}，若 P∪Q ＝R，则 a≤－2，即 a 的取值范围是(－∞，－2]． 题型 四 　集合的新定义问题 已知集合 M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2， y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”．给出下列四个 集合： ①M＝Error!； ②M＝{(x，y)|y＝log2x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}． 其中是“垂直对点集”的序号是(　　) A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ 答案　C 解析　记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 x1x2＋y1y2＝0 得 OA⊥OB.对于①，对 任意 A∈M，不存在 B∈M，使得 OA⊥OB.对于②，当 A 为(1,0)时，不存在 B∈M 满足题意．对于③④，对任意 A∈M，过原点 O 可作直线 OB⊥OA，它们都与函 数 y＝ex－2 及 y＝sinx＋1 的图象相交，即③④满足题意． 与集合相关的新定义问题的解题思路 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄 清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所 在． (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新 定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集 合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、 并集与补集的运算．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如果集合 A 满足：若 x∈A，则－x∈A，那么就称集合 A 为“对称集合”．已 知集合 A＝{2x,0，x 2＋x}，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集，则 A∩B＝ ________. 答案　{0,6} 解析　由题意可知－2x＝x2＋x，所以 x＝0 或 x＝－3.而当 x＝0 时不符合元 素的互异性，所以舍去．当 x＝－3 时，A＝{－6,0,6}，所以 A∩B＝{0,6}．