华东师大版八年级上册第12章《整式的乘除》单元测试（含答案解析）

华东师大版八年级上册第12章《整式的乘除》单元测试（含答案解析）

《第 12 章 整式的乘除》 一、选择题 1．若 3×9m×27m=321，则 m 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．要使多项式（x2+px+2）（x﹣q）不含关于 x 的二次项，则 p 与 q 的关系是（ ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1 3．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2 互为相反数，则（3x﹣y）3 的值为（ ） A．1 B．9 C．﹣9 D．27 4．若 x2﹣kxy+9y2 是一个两数和（差）的平方公式，则 k 的值为（ ） A．3 B．6 C．±6 D．±81 5．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被 5x 整除，且商式为 2x+1，则 a﹣b+c=（ ） A．12 B．13 C．14 D．19 6．下列运算正确的是（ ） A．a+b=ab B．a2•a3=a5 C．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2 D．3a﹣2a=1 7．若 a4+b4+a2b2=5，ab=2，则 a2+b2 的值是（ ） A．﹣2 B．3 C．±3 D．2 8．下列因式分解中，正确的是（ ） A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2+4x+5） C．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）2 9．设一个正方形的边长为 1cm，若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了（ ） A．6cm2 B．5cm2 C．8cm2 D．7cm2 10．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成 一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 二、填空题 11．若把代数式 x2﹣2x﹣3 化为（x﹣m）2+k 的形式，其中 m，k 为常数，则 m+k= ． 12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果 1※1=2，那么 2012※2012= ． 13．如果 x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式 x2﹣y2 的值是 ． 14．若（x﹣m）2=x2+x+a，则 m= ． 15．若 x3=﹣8a9b6，则 x ． 16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）= ． 17．阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn） =m（a+b）+n（a+b） =（a+b）（m+n） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1） =x2﹣（y+1）2 =（x+y+1）（x﹣y﹣1） 试用上述方法分解因式 a2+2ab+ac+bc+b2= ． 18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=52；2×3×4×5+1=112；3×4×5×6+1=192；4×5×6×7+1=292； n（n+1）（n+2）（n+3）+1= ．（n 为整数） 三、解答题（共 46 分） 19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值． （1）若 x+y=4，xy=3，求（x﹣y）2，x2y+xy2 的值． （2）若 x= ，y= ，求 x2﹣xy+y2 的值． （3）若 x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1 的值． （4）若 m2+m﹣1=0，求 m3+2m2+2014 的值． 20．已知 2a=5，2b=3，求 2a+b+3 的值． 21．利用因式分解计算： 1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012． 22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中 x=10． 23．利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2 能被 12 整除． 24．观察下列等式：1× =1﹣ ，2× =2﹣ ，3× =3﹣ ，… （1）猜想并写出第 n 个等式； （2）证明你写出的等式的正确性． 《第 12 章 整式的乘除》 参考答案与试题解析 一、选择题 1．若 3×9m×27m=321，则 m 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法． 【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以 3 为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后 根据指数相等列出方程求解即可． 【解答】解：3•9m•27m=3•32m•33m=31+2m+3m=321， ∴1+2m+3m=21， 解得 m=4． 故选 B． 【点评】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数 的变化是解题的关键． 2．要使多项式（x2+px+2）（x﹣q）不含关于 x 的二次项，则 p 与 q 的关系是（ ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1 【考点】多项式乘多项式． 【分析】把式子展开，找到所有 x2 项的所有系数，令其为 0，可求出 p、q 的关系． 【解答】解：∵（x2+px+2）（x﹣q）=x3﹣qx2+px2﹣pqx+2x﹣2q=﹣2q+（2﹣pq）x+（p﹣q）x2+x3． 又∵结果中不含 x2 的项， ∴p﹣q=0，解得 p=q． 故选 A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一 项的系数为 0． 3．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2 互为相反数，则（3x﹣y）3 的值为（ ） A．1 B．9 C．﹣9 D．27 【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【专题】方程思想． 【分析】先根据相反数的定义列出等式|x+y+1|+（x﹣y﹣2）2=0，再由非负数的性质求得 x、y 的值， 然后将其代入所求的代数式（3x﹣y）3 并求值． 【解答】解：∵|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2 互为相反数， ∴|x+y+1|+（x﹣y﹣2）2=0， ∴ ， 解得， ， ∴（3x﹣y）3=（3× + ）3=27． 故选 D． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法、非负数的性质﹣﹣绝对值、非负数的性质﹣﹣偶 次方．解题的关键是利用互为相反数的性质列出方程，再由非负数是性质列出二元一次方程组． 4．若 x2﹣kxy+9y2 是一个两数和（差）的平方公式，则 k 的值为（ ） A．3 B．6 C．±6 D．±81 【考点】完全平方式． 【专题】计算题． 【分析】利用完全平方公式的结构判断即可确定出 k 的值． 【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2 是一个两数和（差）的平方公式， ∴﹣k=±6， 则 k=±6． 故选 C． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被 5x 整除，且商式为 2x+1，则 a﹣b+c=（ ） A．12 B．13 C．14 D．19 【考点】整式的除法． 【专题】计算题． 【分析】根据商乘以除数等于被除数列出关系式，整理后利用多项式相等的条件确定出 a，b，c 的 值，即可求出 a﹣b+c 的值． 【解答】解：依题意，得（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）=5x（2x+1）， ∴（17﹣a）x2+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）=10x2+5x， ∴17﹣a=10，﹣3﹣b=5，4﹣c=0， 解得：a=7，b=﹣8，c=4， 则 a﹣b+c=7+8+4=19． 故选 D． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．下列运算正确的是（ ） A．a+b=ab B．a2•a3=a5 C．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2 D．3a﹣2a=1 【考点】同底数幂的乘法；合并同类项． 【专题】存在型． 【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式对各选项进行解答即可． 【解答】解：A、a 与 b 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、由同底数幂的乘法法则可知，a2•a3=a5，故本选项正确； C、a2+2ab﹣b2 不符合完全平方公式，故本选项错误； D、由合并同类项的法则可知，3a﹣2a=a，故本选项错误． 故选 B． 【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式，熟知以上知识是解答此题的 关键． 7．若 a4+b4+a2b2=5，ab=2，则 a2+b2 的值是（ ） A．﹣2 B．3 C．±3 D．2 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】利用完全平方公式分解因式进而求出即可． 【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2， 因为 ab=2，所以 a2+b2= =3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键． 8．下列因式分解中，正确的是（ ） A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2+4x+5） C．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【解答】解：A、用平方差公式，应为 x2y2﹣z2=（xy+z）（xy﹣z），故本选项错误； B、提公因式法，符号不对，应为﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2﹣4x+5），故本选项错误； C、用平方差公式，（x+2）2﹣9=（x+2+3）（x+2﹣3）=（x+5）（x﹣1），正确； D、完全平方公式，不用提取负号，应为 9﹣12a+4a2=（3﹣2a）2，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键． 9．设一个正方形的边长为 1cm，若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了（ ） A．6cm2 B．5cm2 C．8cm2 D．7cm2 【考点】完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（1+2）2﹣12=9﹣1=8，即新正方形的面积增加了 8cm2， 故选 C． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成 一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 【考点】平方差公式的几何背景． 【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长是 b 的小正方 形的面积，等于 a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是 （a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等． 【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平 方差，这个公式就叫做平方差公式． 二、填空题 11．若把代数式 x2﹣2x﹣3 化为（x﹣m）2+k 的形式，其中 m，k 为常数，则 m+k= ． 【考点】完全平方公式． 【专题】配方法． 【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求 x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知 m=1．k= ﹣4，则 m+k=﹣3． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4， ∴m=1，k=﹣4， ∴m+k=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b） 2=a2±2ab+b2． 12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果 1※1=2，那么 2012※2012= ． 【考点】整式的除法． 【专题】新定义． 【分析】先设出 2012※2012=m，再根据新运算进行计算，求出 m 的值即可． 【解答】解：设 2012※2012=m， 由已知得，（1+2011）※1=2+2011， 2012※（2012﹣2011）=m+2×2011， 则 2+2011=m+2×2011， 解得，m=2012※2012=（2+2011）﹣2011×2=﹣2009． 故答案为：﹣2009． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意按照两者的转换公式进行计算即可． 13．如果 x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式 x2﹣y2 的值是 ． 【考点】平方差公式． 【专题】计算题． 【分析】由题目可发现 x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后用整体代入法进行求解． 【解答】解：∵x+y=﹣4，x﹣y=8， ∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（﹣4）×8=﹣32． 故答案为：﹣32． 【点评】本题考查了平方差公式，由题设中代数式 x+y，x﹣y 的值，将代数式适当变形，然后利用 “整体代入法”求代数式的值． 14．若（x﹣m）2=x2+x+a，则 m= ． 【考点】完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，利用多项式相等的条件确定出 m 的值即可． 【解答】解：∵（x﹣m）2=x2+x+a=x2﹣2mx+m2， ∴﹣2m=1，a=m2， 则 m=﹣ ，a= ． 故答案为：﹣ 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．若 x3=﹣8a9b6，则 x ． 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可． 【解答】解：∵x3=﹣8a9b6， ∴x3=（﹣2a3b2）3， ∴x=﹣2a3b2． 故答案为：=﹣2a3b2． 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，先根据题意得出 x3=（﹣2a3b2）3 是解答此题的关 键． 16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）= ． 【考点】平方差公式；完全平方公式． 【专题】计算题． 【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式=9m2﹣（n﹣p）2=9m2﹣n2+2np﹣p2． 故答案为：9m2﹣n2+2np﹣p2 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 17．阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn） =m（a+b）+n（a+b） =（a+b）（m+n） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1） =x2﹣（y+1）2 =（x+y+1）（x﹣y﹣1） 试用上述方法分解因式 a2+2ab+ac+bc+b2= ． 【考点】因式分解-分组分解法． 【专题】压轴题；阅读型． 【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc） =（a+b）2+c（a+b） =（a+b）（a+b+c）． 故答案为（a+b）（a+b+c）． 【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式． 18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=52；2×3×4×5+1=112；3×4×5×6+1=192；4×5×6×7+1=292； n（n+1）（n+2）（n+3）+1= ．（n 为整数） 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；3 ×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，得出规律：n（n+1）（n+2） （n+3）+1=（n2+3×n+1）2，（n≥1）． 【解答】解：∵1×2×3×4+1=[（1×4）+1]2=52， 2×3×4×5+1=[（2×5）+1]2=112， 3×4×5×6+1=[（3×6）+1]2=192， 4×5×6×7+1=[（4×7）+1]2=292， ∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2． 故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2． 【点评】此题考查了数字的变化规律，解答本题的关键是发现规律为 n（n+1）（n+2）（n+3）+1= （n2+3n+1）2（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律． 三、解答题（共 46 分） 19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值． （1）若 x+y=4，xy=3，求（x﹣y）2，x2y+xy2 的值． （2）若 x= ，y= ，求 x2﹣xy+y2 的值． （3）若 x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1 的值． （4）若 m2+m﹣1=0，求 m3+2m2+2014 的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】（1）将（x﹣y）2 通过配方法转化成（x+y）2，x2y+xy2 因式分解即可； （2）利用配方法转化成=（x+y）2﹣3xy 即可； （3）根据整式的乘法把式子展开即可； （4）先把 m2+m﹣1=0，变形为 m2=1﹣m．把 m3+2m2+2014 变形为 m2（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014 即可； 【解答】解：（1）（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=x2+2xy+y2﹣4xy=（x+y）2﹣4xy42﹣4×3=4， x2y+xy2=xy（x+y）=3×4=12， （2）x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy=（ + + ﹣ ）2﹣3（ + ）（ ﹣ ）=（2 ）2﹣3 ×2=28﹣6=22 （3）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1=2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）+1=x2﹣5x+1=3+1=4 4）由 m2+m﹣1=0，得 m2=1﹣m．把 m3+2m2+2014=m2（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014=m﹣1﹣m+2+2014 【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变 式子的值． 20．已知 2a=5，2b=3，求 2a+b+3 的值． 【考点】同底数幂的乘法． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出即可． 【解答】解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 21．利用因式分解计算： 1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012． 【考点】因式分解的应用． 【分析】先把原式变形为 1+32﹣22+52﹣42+…+1012﹣1002，再因式分解得 1+（3+2）+（5+4）+…+ （101+100），然后进行计算即可． 【解答】解：1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012 =1+32﹣22+52﹣42+…+1012﹣1002 =1+（3+2）（3﹣2）+（5+4）（5﹣4）+…+（101+100）（101﹣100） =1+（3+2）+（5+4）+…+（101+100） = =5151． 【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是平方差公式，关键是对要求的式子进行变形， 注意总结规律，得出结果． 22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中 x=10． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题． 【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值． 【解答】解：原式=x2﹣2x﹣x2+1=﹣2x+1， 当 x=10 时，原式=﹣2×10+1=﹣19． 【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知 识点． 23．利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2 能被 12 整除． 【考点】因式分解的应用． 【分析】将原式因式分解，结果能被 12 整除即可． 【解答】解：因为（n+5）2﹣（n﹣1）2=n2+10n+25﹣（n2﹣2n+1）=12（n+2）， 所以（n+5）2﹣（n﹣1）2 能被 12 整除． 【点评】考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有 12 的因数 相乘的形式． 24．观察下列等式：1× =1﹣ ，2× =2﹣ ，3× =3﹣ ，… （1）猜想并写出第 n 个等式； （2）证明你写出的等式的正确性． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】证明题；探究型． 【分析】（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多 1；等号右边为等号左边的第一个数式﹣第二个因数，即 n× =n﹣ ； （2）把左边进行整式乘法，右边进行通分． 【解答】解：（1）猜想：n× =n﹣ ； （2）证：右边= = =左边，即 n× =n﹣ ． 【点评】主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法 的思想．