2018届二轮复习对数与对数函数学案（全国通用）
2.6 对数与对数函数
考情考向分析 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为填空题，中低档难度．
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0
1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
知识拓展
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
(2)＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
题组二 教材改编
2．[P80习题T6]log29·log34·log45·log52＝________.
答案 2
3．[P83例2]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．
答案 c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
4．[P85练习T2]函数y＝的定义域是________．
答案
解析 由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
∴0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当01时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
题型一 对数的运算
1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
答案
解析 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
2．计算：÷＝________.
答案 －20
解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
3．计算：＝________.
答案 1
解析 原式
＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
题型二 对数函数的图象及应用
典例 (1)如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．
①求证：O，C，D三点共线；
②当BC∥x轴时，求A点的坐标．
①证明 因为A，B在函数y＝log8x的图象上，
所以设它们的坐标分别为(x1，log8x1)，(x2，log8x2)，
又AC∥y轴，BD∥y轴，且点C，D在函数y＝log2x的图象上，从而C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．
由O，A，B三点共线，知kOA＝kOB，即＝，
即＝，即＝，
所以kOC＝kOD，从而O，C，D三点共线．
②解 由BC∥x轴，知yB＝yC，即log8x2＝log2x1，于是log8x2＝log8x，得x2＝x，代入＝，得＝，＝.
因为x1≠1，所以x＝3，得x1＝，从而点A的坐标为.
(2)当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
引申探究
若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得01时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 对数函数的单调性
典例 (1)已知函数f(x)＝loga(ax2－x＋1)，其中a>0且a≠1.
①当a＝时，求函数f(x)的值域；
②当f(x)在区间上为增函数时，求a的取值范围．
解 ①令u(x)＝ax2－x＋1，
当a＝时，u(x)＝x2－x＋1＝(x－1)2＋.
因为u(x)的值域为，
即u(x)≥，
所以logu(x)≤1，
即函数f(x)的值域为(－∞，1]．
②当a>1时，因为y＝logau(x)是关于u(x)的增函数，
所以f(x)在区间上为增函数的充要条件是u(x)在上单调递增且恒正，
从而解得a≥2；
当00在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．
命题点2 和对数函数有关的复合函数
典例 已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，t(x)＝3－ax，
∵a>0，∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1.
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．
跟踪训练 (1)(2018届无锡一中质检)已知函数f(x)＝loga(00，解得－b0)，∴b＝1.
∴f(x)＝loga(00，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得11在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一．
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况 构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
典例 (1)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>b>c
解析 因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，c>0，
所以b>c，故a>b>c.
(2)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c1，b＝log0.40.5∈(0,1)，
c＝log80.4<0，∴a>b>c.
(3)若实数a，b，c满足loga2a>c
解析 易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b>a>c.
1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c2.
∵c＝0.83.1，∴00，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
答案 (0，＋∞)
解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，
因此M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
7．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是__________．
答案
解析 函数f(x)的定义域为，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在上为增函数，
所以函数y＝log5(2x＋1)的单调递增区间是
.
8．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是__________．
答案 [0，＋∞)
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
9．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且ab>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴00，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当00，即0<－a<1，
又2×－a>0，所以1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)>0，即1－a>1，且2×－a>0，
解得a<0，且a<1，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以当x<0时，f(x)＝，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<|x2－1|<4，解得－－2成立，
所以不等式的解集为(－，)．
13．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则下列结论正确的是________．(填序号)
①(a－1)(b－1)＜0；
②(a－1)(a－b)＞0；
③(b－1)(b－a)＜0；
④(b－1)(b－a)＞0.
答案 ④
解析 由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，
代入验证只有④满足题意．
14．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意可知原条件等价于f(x)min≥g(x)min，
即0≥－m，所以m≥.
15．关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg 2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为________．
答案 ①③④
解析 ∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；
当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
16．已知函数f(x)＝ln .
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln ＝ln
＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)＝ln 是奇函数．
(2)当x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，∴>>0，
∵x∈[2,6]，∴0
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