2018届二轮复习高考中的常青树__一元二次不等式学案（全国通用）
专题40 高考中的常青树--一元二次不等式
考纲要求:
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
基础知识回顾:
1.一元二次不等式的解法
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x
x2}
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
2.一元二次不等式的解法
设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
的两个根且x1＜x2.
(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为；若Δ＜0，则不等式的解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；
若Δ＝0，则不等式的解集为∅； 若Δ＜0，则不等式的解集为∅.
3.一元二次不等式恒成立的条件
（1）不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
应用举例:
类型一、一元二次不等式的解法
【例1】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知函数f(x)＝则不等式f(x)－x≤2的解集是________．
【答案】.
【解析】当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤2，∴－≤x≤0；当x>0时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0.综上所述，原不等式的解集为.
【例2】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】不等式≥－1的解集为________．
【答案】.
【解析】将原不等式移项通分得≥0，等价于所以原不等式的解集为.
【例3】【2017浙江省宁波市高三入学考试】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________ ．
【答案】.
点评：解一元二次不等式的4个步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题；
(2)判：计算对应方程的判别式；
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
类型二、含参数的一元二次不等式的解法
角度一：两根大小引起的分类讨论
【例4】【福建省2016届高三毕业班总复习】已知函数，
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）比较的大小；
（Ⅲ）解关于x的不等式．
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
（3）∵不等式
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
角度二：两根符号引起的分类讨论
【例5】【宁夏大学附属中学2018届高三上学期第三次月考】求不等式的解集.
【答案】见解析
角度三：判别式引起的分类讨论
【例6】【2017河北省定州中学高三月考】解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.
【答案】见解析
【解析】由已知得Δ=k2+8k=k(k+8).
(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是：
(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是即{0}或{2}.
(3)当Δ＜0，即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根,即不等式的解集为.
综上所述，关于x的不等式2x2+kx-k≤0的解集为：
(1)当k＜-8或k＞0时，
(2)当k=-8时，{2}或k=0时，{0}； (3)当-8＜k＜0时，.
点评：解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
类型三、一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
【例7】【2017浙江省温州市高三月考试题】已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在
角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
【例8】【江苏省苏北三市2017届高三年级第三次模拟考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．
【答案】 (或)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
【例9】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】已知当时， 恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】试题分析：设，由于恒成立，所以，因此，整理得，解得.
考点：不等式在给定区间上的恒成立．
点评：一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解读
适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
分离参
数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
主参换
位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔
若f(x)<0恒成立⇔
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时
方法、规律归纳:
1、解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
实战演练:
1．【安徽省2018届高三上学期“五校”联考】在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
所以实数的取值范围是，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.
2．【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】关于的不等式对任意实数都成立，
则，解得，故选D.
3．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】A
4．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：不等式在区间内有解等价于，
令， ，所以，所以.
考点：1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.
5．【2017届甘肃天水一中高三周练11.26】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．【内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018届高三上学期第三次月考】关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】∵ 不等式的解集为
∴或是方程的解，即，
∴
∵
∴或
∴或
∴不等式的解集为
故答案为
7．对任意，函数的值总大于零，则的取值范围是__________．
【答案】
8．【2017届河南豫北名校联盟高三理上精英对抗赛】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】试题分析：设，则对成立等价于，即，解之得或，即实数的取值范围是.
考点：函数与不等式恒成立.
9．【上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考】已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是________
【答案】
【解析】若，不等式组可化为不满足条件，若，则若不等式组， 时，满足条件，解得：若，则若不等式组， 时，满足条件，解得： ，故填.
点睛：本题主要考查二次不等式组有唯一解的问题，属于中档题.解决此类问题只需要将问题转化为研究二次函数的最大值与最小值问题即可，不等式有唯一解最大值，不等式有唯一解最小值.
10．【2017届黑龙江虎林一中高三上期中】已知，不等式的解集是.
（1）求 的解析式；
（2）若对于任意 ，不等式恒成立， 求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
考点：（1）二次函数的性质；（2）恒成立问题.
