【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-3三角函数的图象与性质教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-3三角函数的图象与性质教案

第三节　三角函数的图象与性质 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎(对应学生用书第42页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎ 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎ 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 单调性 递增区间：‎ ，‎ k∈Z，‎ 递减区间：‎ 递增区间：‎ ‎[2kπ－π，2kπ]，‎ k∈Z，‎ 递减区间：‎ ‎[2kπ，2kπ＋π]，‎ k∈Z 递增区间 ，‎ k∈Z ，‎ k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 ‎(kπ，0)，k∈Z 对称中心 ，‎ k∈Z 对称中心 ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，(k∈Z)‎ 对称轴 x＝kπ(k∈Z)‎ 周期性 ‎2π ‎2π π ‎[知识拓展]‎ ‎1．对称与周期 ‎ (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．‎ ‎ (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．‎ ‎2．奇偶性 ‎ 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 ‎ (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎ (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)‎ ‎ (2)y＝sin |x|是偶函数．(　　)‎ ‎ (3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)‎ ‎ (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(2018·昆明模拟)函数f(x)＝cos的图象关于(　　)‎ ‎ A．原点对称　　　　　　 B．y轴对称 ‎ C．直线x＝对称 D．直线x＝－对称 ‎ A　[函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A．]‎ ‎3．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，‎ ‎ ∴y＝tan 2x的定义域为.]‎ ‎4．(2018·长沙模拟)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)‎ ‎ A． B．和 ‎ C． D． ‎ C　[令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C．]‎ ‎5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．‎ ‎ 【导学号：79170091】‎ ‎ 2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]‎ ‎ (对应学生用书第43页)‎ 三角函数的定义域与值域 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos(－x)的最大值为(　　)‎ ‎ A．4　　　 B．5　　　‎ ‎ C．6　　　 D．7‎ ‎ (2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．‎ ‎ (1)B　(2)∪　[(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos－x＝cos 2x＋6sin x ‎ ＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ ‎ 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．‎ ‎ (2)由得 ‎ ∴－3≤x＜－或0＜x＜，‎ ‎ ∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.]‎ ‎ [规律方法]　　1.三角函数定义域的求法 ‎ 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎ 2．求三角函数最值或值域的常用方法 ‎ (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．‎ ‎ (2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．‎ ‎ (3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)‎ ‎ A．2　　　 B．3　　　‎ ‎ C．＋2　　　 D．2－ ‎ (2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．‎ ‎ (1)B　[∵x∈，∴cos x∈，∴y＝2cos x的值域为[－2,1]，‎ ‎ ∴b－a＝3.]‎ ‎ (2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈， 3分 ‎ ∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，‎ ‎ ∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝， 7分 ‎ ∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为. 12分 三角函数的单调性 ‎　(1)(2018·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) 【导学号：79170092】‎ ‎ A． B． ‎ C． D．(0,2]‎ ‎ (2)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．‎ ‎ (1)A　(2)(k∈Z)　[(1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知ω＋，πω＋⊆，所以解得≤ω≤.‎ ‎ (2)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．‎ ‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ ‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ ‎ 故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．]‎ ‎ [规律方法]　　1.求三角函数单调区间的两种方法 ‎ (1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．‎ ‎ (2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．‎ ‎ 2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．‎ ‎ (2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.‎ ‎ (1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)．‎ ‎ (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，‎ ‎ ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；‎ ‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．‎ ‎ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，‎ ‎ 在上单调递减知，＝，∴ω＝.]‎ 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 角度1　奇偶性与周期性的判断 ‎　(1)(2018·大连模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ ‎ 【导学号：79170093】‎ ‎ A．②④　　　　　　 B．①③④‎ ‎ C．①②③ D．①③‎ ‎ (2)函数y＝1－2sin2是(　　)‎ ‎ A．最小正周期为π的奇函数 ‎ B．最小正周期为π的偶函数 ‎ C．最小正周期为的奇函数 ‎ D．最小正周期为的偶函数 ‎ (1)C　(2)A　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.‎ ‎ ②由图象知，函数的周期T＝π.‎ ‎ ③T＝π.‎ ‎ ④T＝.‎ ‎ 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.‎ ‎ (2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．]‎ 角度2　求三角函数的对称轴、对称中心 ‎　(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ A　[由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，‎ ‎ 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎ 所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜，‎ ‎ 得φ＝，故f(x)＝sin.‎ ‎ 令x＋＝kπ(k∈Z)，‎ ‎ 得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A．]‎ 角度3　三角函数对称性的应用 ‎　(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (2)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为 ‎(　　)‎ ‎ A．－ B．－ ‎ C． D． ‎ (1)A　(2)B　[(1)由题意得3cos ‎ ＝3cos＝3cos＝0，‎ ‎ ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎ ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.‎ ‎ (2)由x＝是f(x)图象的对称轴，可得f(0)＝f，‎ ‎ 即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，解得a＝－.]‎ ‎ [规律方法]　　1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎ 2．求三角函数周期的方法：‎ ‎ (1)利用周期函数的定义．‎ ‎ (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎ (3)借助函数的图象．‎