【数学】2020届一轮复习人教A版第三章第3节定积分与微积分基本定理学案

【数学】2020届一轮复习人教A版第三章第3节定积分与微积分基本定理学案

第3节　定积分与微积分基本定理 最新考纲　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.定积分的概念与几何意义 ‎(1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝‎ 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.‎ ‎(2)定积分的几何意义 f(x)‎ f(x)dx的几何意义 f(x)≥0‎ 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)＜0‎ 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 ‎2.定积分的性质 ‎(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).‎ ‎(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.‎ ‎(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).‎ ‎3.微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).‎ ‎[微点提醒]‎ 函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 ‎(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.‎ ‎(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)‎ ‎(2)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是(x2－x)dx.(　　)‎ ‎(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　)‎ ‎(4)定积分f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.(　　)‎ ‎(5)加速度对时间的积分是路程.(　　)‎ 解析　(2)y＝x2与y＝x所围成的面积是(x－x2)dx.‎ ‎(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大.‎ ‎(4)定积分f(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的代数和.‎ ‎(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2.(选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析　|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2＝1.‎ 答案　A ‎3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)‎ A.10t B.5t C.t D.t 解析　S＝vdt＝＝5t.‎ 答案　B ‎4.(2018·青岛月考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积S，正确的是(　　)‎ A.S＝(4x－x3)dx B.S＝(x3－4x)dx C.S＝dy D.S＝dy 解析　两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x≥x3，故直线y＝4x与曲线y＝x3所围成的封闭图形的面积S＝(4x－x3)dx.‎ 答案　A ‎5.(2019·安阳模拟)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.‎ 解析　(1)由定积分的几何意义知， dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ dx＝×π×4＝π.‎ ‎(2)由得或则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝＝－k3＝，则k3＝8，∴k＝2.‎ 答案　(1)π　(2)2‎ 考点三　定积分在物理中的应用 ‎【例3】 (1)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________ J(x的单位：m，力的单位：N).‎ 解析　(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.‎ 所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5.‎ 整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.‎ ‎(2)变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为 W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J).‎ 答案　(1)C　(2)342‎ 规律方法　定积分在物理中的两个应用 ‎(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的位移s＝v(t)dt.‎ ‎(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.‎ ‎【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A.1＋25ln 5 B.8＋25ln C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2‎ 解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，‎ ‎∴汽车行驶距离s＝dt ‎＝ ‎＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).‎ 答案　C ‎[思维升华]‎ ‎1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.‎ ‎2.f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方、也可以在x轴下方、还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间[a，b]上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积；而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.‎ ‎2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.‎ ‎3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：35分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2019·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)‎ A.e＋2 B.e＋1‎ C.e D.e－1‎ 解析　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.‎ 答案　C ‎2.已知dx＝，则m的值为(　　)‎ A. B. C.－ D.－1‎ 解析　由微积分基本定理得dx＝(ln x－mx))＝m＋1－me，结合题意得m＋1－me＝，解得m＝.‎ 答案　B ‎3.(2019·郑州模拟)汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是(　　)‎ A. m B.6 m C. m D.7 m 解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m).‎ 答案　A ‎4.sin2dx等于(　　)‎ A.0 B.－ C.－ D.－1‎ 解析　sin2dx＝dx＝＝－.‎ 答案　B ‎5.定积分|x－1|dx等于(　　)‎ A.1 B.－1 C.0 D.2‎ 解析　|x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx ‎＝(1－x)dx＋(x－1)dx ‎＝＋ ‎＝＋－＝1.‎ 答案　A ‎6.如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于(　　)‎ A. 　　 B.8 C. 　　 D.9‎ 解析　设指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，因为其过点E(2，9)，所以a2＝9，解得a＝3，所以图中阴影部分的面积S＝3xdx＝＝.‎ 答案　A ‎7.若f(x)＝f[f(1)]＝1，则a的值为(　　)‎ A.1 B.2 C.－1 D.－2‎ 解析　因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f[f(1)]＝1，得a3＝1，a＝1.‎ 答案　A ‎8.由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为(　　)‎ A. B. C.2 D.1‎ 解析　如图所示，阴影部分的面积为 S＝2 ‎＝2 ‎＝2＝.‎ 答案　A 二、填空题 ‎9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx＝________.‎ 解析　原式＝f(x)dx＋f(x)dx，‎ 因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8×2＝16.‎ 答案　16‎ ‎10.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.‎ 解析　由 解得x1＝0，x2＝2.‎ ‎∴S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx ‎＝＝－＋4＝.‎ 答案　 ‎11.(2019·济南模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.‎ 解析　封闭图形如图所示，则dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.‎ 答案　 ‎12.(2019·广州调研)设f(x)＝则f(x)dx的值为________.‎ 解析　f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx ‎＝π×12＋＝＋.‎ 答案　＋ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13.(一题多解)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)‎ A.S1

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