全国高考模拟试题数学理科

全国高考模拟试题数学理科

‎2016年全国高考理科数学模拟试题四 一、选择题(每题5分，共60分)‎ ‎1．全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则复数对应的点位于复平面内的（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．以下函数，在区间内存在零点的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知函数的导函数的图像是一条如图所示的直线，直线与轴交于点，则与的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎5．“为第一象限角”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知点在抛物线上，点到轴的距离与到焦点的距离之比为，则点到轴的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某同学在借助计算器求方程的近似数（精确度）时，构造函数，得出，且，他用“二分法”又取了个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为．那么他所取的个值中的第二个值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．安排甲、乙、丙在周一至周五这五天值班，每天安排一人，每人至少值班一天，则不同的安排方案有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接 圆的直径．如下图所示，中，已知，点在直线上从左到右运动（点不与、重合），对于的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么（ ）‎ A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．是一个定值 D．仅当为线段的中点时，取得最大值 ‎10．如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知奇函数是上的单调函数，若关于的函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．把函数的图像绕着原点顺时针旋转角度后恰与轴相切，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题(每题5分，共20分)‎ ‎13．等差数列中，已知，则该数列前项的和为 ．‎ ‎14．中，已知，面积，则该三角形最长边的长度为 ．‎ ‎15．中，，若，则 ．‎ ‎16．如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出关于函数的四个性质，其中说法正确的是 ．‎ ‎①； ‎ ‎②在上单调递增；‎ ‎③当时，取得最大值；‎ ‎④对于任意的，都有．‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分10分）设，函数，‎ ‎（1）如果在上单调递增，求实数的取值范围；（5分）‎ ‎（2）当时，求函数在上的极值．（5分）‎ ‎18．（本小题满分12分）某工厂有甲乙两条流水线生产同一种工艺品，随机在这两条流水线上各抽取件产品并称出它们的重量（单位：克）如下表，假设重量值落在的产品为优质品，否则为非优质品．‎ 分组 ‎[29.86，‎ ‎29.90)‎ ‎[29.90，‎ ‎29.94)‎ ‎[29.94，‎ ‎29.98)‎ ‎[29.98，‎ ‎30.02)‎ ‎[30.02，‎ ‎30.06)‎ ‎[30.06，‎ ‎30.10)‎ ‎[30.10，‎ ‎30.14]‎ 频数 ‎（甲流水线）‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎125‎ ‎198‎ ‎77‎ ‎35‎ ‎20‎ 频数 ‎（乙流水线）‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎79‎ ‎162‎ ‎59‎ ‎55‎ ‎35‎ ‎（1）由以上统计数据填下面的列联表，并问是否有超过的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同流水线生产有关”？（6分）‎ 甲流水线 乙流水线 合计 优质品 非优质品 合计 ‎（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从每条流水线已抽取的件产品中各抽取五件产品，然后分别从中随机的各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为，求的数学期望．（6分）‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题满分12分）已知平行四边形中，，为的中点，且是等边三角形，沿把折起至的位置，使得．‎ ‎（1）是线段的中点，求证：平面；（4分）‎ ‎（2）求证：；（4分）‎ ‎（3）求点到平面的距离．（4分）‎ ‎20．（本小题满分12分）已知点与两个定点、距离的比是一个常数（）．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（4分）‎ ‎（2）当时，过点作斜率为的直线交轨迹于、两点，‎ ‎①若，求；（4分）‎ ‎②若，求．（4分）‎ ‎21．（本小题满分14分）已知，函数，为自然对数的底数，‎ ‎（1）求函数的单调区间；（4分）‎ ‎（2）构造函数 ‎①如果对于任意的正数，恒成立，求的取值范围；（5分）‎ ‎②如果对于任意的，总存在以为边长的三角形，求的取值范围．（5分）‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答．(本题10分)‎ ‎22．如图所示，过圆上一点的切线与圆一条直径所在的直线交于（在、之间），‎ ‎（1）若，求的度数；（4分）‎ ‎（2）若，求的长．（6分）‎ ‎23．已知参数方程为（为参数，）的直线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求的值；（4分）‎ ‎（2）设直线与椭圆的交于、两点，求的值．（6分）‎ ‎（参考公式：设，、是二次方程的两个根，则）‎ ‎24．设，，‎ ‎（1）解关于的不等式；（4分）‎ ‎（2）如果恒成立，求实数的取值范围．（6分）‎ ‎2016年全国高考理科数学模拟试题四答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C A C B D ‎ B C D A A 二、填空题13．； 14．； 15．； 16．②④．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）因为在上单调递增，故在上恒成立，；‎ ‎（2），，‎ 由，得，，‎ 结合，知在上递减，在上递增，‎ 故函数在上的极小值为，没有极大值．‎ ‎18．解：（1）列联表如下，‎ 甲流水线 乙流水线 合计 优质品 ‎400‎ ‎300‎ ‎700‎ 非优质品 ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎，‎ 故有超过99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同流水线有关”；‎ ‎（2）甲流水线抽取优质品件，非优质品件；乙流水线抽取优质品件，非优质品件；‎ ‎ 的可能取值为，‎ ‎ ； ；‎ ‎；；‎ 所以的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎19．证明：（1）取的中点，连、，‎ 因为为中点，故，且，‎ 又，且，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 又平面，平面，故平面；‎ ‎（2）折叠前，，，即 在四棱锥中，即有，‎ 在中，，，由余弦定理得，‎ 又，由勾股定理的逆定理，得，，‎ 又，从而平面，‎ 平面，得；‎ ‎（也可连，证平面）‎ ‎（3）由（2）知，平面，‎ 设点到平面的距离为，则由，‎ 得，，‎ 解得．‎ ‎（也可取中点，连、，证面面，就是所求的距离）‎ ‎20．解：设，依题意，，即，…………………1分 化简整理得，……………………………2‎ 分 当时，轨迹表示直线；………………………………………………………………3分 当，轨迹是一个圆；……………………………………………………………………………4分 ‎（2）当时，轨迹的方程是，‎ 即，它表示圆心，半径的圆；…………………………………5分 ‎①时，的方程为，即，……………………6分 圆心到直线距离，…………………………………………………………7分 由勾股定理，；……………………………………………………………8分 ‎②法一：因为，结合轨迹的定义，、…………9分 故有，即为线段的中点，………………………………………………10分 过圆心作的垂线，垂足为，‎ 由勾股定理，且…………………12分 结合，可解得，‎ 即圆心到直线的距离为，…………………………………………………………13分 的方程为，即，‎ 故，解得．…………………………………………………………14分 法二：因为，结合轨迹的定义，、…………9分 故有，即为线段的中点，………………………………………………10分 设，则，代入圆的方程，得 ‎，以及，……………………………12分 联立两个方程可解得或，……………………………13分 故或．………………………………………………………14分 ‎（注：最后一问，得出后，也可以结合割线长定理求得的长度，据此再求）‎ ‎21．解：（1），‎ 当时，；当时，；‎ 于是的递增区间为，递减区间为；‎ ‎（2）， ‎ ‎①当时，由，得，‎ 于是恒成立 而，仅当时取等号，于是；‎ ‎②对于任意的，总存在以为边长的三角形，‎ 等价于当，；‎ 当时，在恒成立，递减，‎ ‎∴，解得；‎ 当时，在恒成立，递增，‎ ‎∴，解得；‎ 当时，‎ 在，，递减；在，，递增；‎ ‎；‎ 又由（1）知，在上单调递减，故；‎ 而，故恒成立，‎ 综上所述，．‎ ‎22．解：（1）由，得圆的半径为，，‎ 连，则，，，‎ 于是，；‎ ‎（2），由切割线定理，，，圆的半径为．‎ 于是，，‎ 在等腰中，，‎ 根据余弦定理，．‎ ‎23．解：（1）在椭圆中，，‎ 右焦点，而直线经过定点，故；‎ ‎（2）把代入，整理，得，‎ 设点对应的参数为，根据参数的几何意义，‎ ‎．‎ ‎24．（1）解法一：‎ 不等式等价于或者，解得；‎ 解法二：由，得，即，‎ ‎，即，解得． ‎ ‎（2），‎ 因为恒成立，故有，解得．‎