2018届二轮复习（文）　概率与统计专题七第1讲学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　概率与统计专题七第1讲学案（全国通用）

第1讲　概　率 ‎1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用．‎ ‎2．将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．‎ 热点一　古典概型 古典概型的概率 P(A)＝＝.‎ 例1　(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：‎ ‎{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，‎ 则所求事件的概率为P＝.‎ 思维升华　求古典概型概率的步骤 ‎(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．‎ ‎(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．‎ ‎(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.‎ ‎(4)计算事件A的概率P(A)＝.‎ 跟踪演练1　(1)有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设两男两女分别为a1，a2，b1，b2，则基本事件分别是(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a2)，(b1，a1)，(b1，b2)，(b2，a2)，(b2，a1)，(b2，b1)，基本事件总数n＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件数m＝6，所以概率P＝，故选B.‎ ‎(2) (2017·武汉调研)若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由图表可知，点数和共有36种可能性，其中是6的共有5种，所以点数和是6的概率为，故选C.‎ 两枚骰子 的点数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,6)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎(2,6)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎(3,6)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎(4,6)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ ‎(6,1)‎ ‎(6,2)‎ ‎(6,3)‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,6)‎ ‎热点二　几何概型 ‎1．几何概型的概率公式：‎ P(A)＝.‎ ‎2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．‎ 例2　(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)的点，而平方和小于1的点均在阴影区域中，由几何概型概率计算公式知≈，‎ ‎∴π≈，故选C.‎ ‎(2)(2017届四川省成都市九校联考)在区间[0,4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a－b|≤1的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　在区间[0,4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，区域面积为16，‎ 则|a－b|≤1表示的区域面积为16－9＝7，‎ ‎∴所求概率为，故选B.‎ 思维升华 ‎　当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ 跟踪演练2　(1)(2017·石家庄模拟)在长为8 cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积小于15 cm2的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设AC＝x，CB＝8－x，且05，由几何概型的概率公式可知所求概率P＝＝，故选C.‎ ‎(2) (2017·江西省赣中南五校联考)如图所示的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．‎ 答案　 解析　矩形面积为10，设阴影部分面积为S，‎ 则＝，解得S＝.‎ 热点三　互斥事件与对立事件 ‎1．事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎2．在一次试验中，对立事件A和B不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(B)＝1－P(A)．‎ 例3　某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖．‎ ‎(1)求中二等奖的概率；‎ ‎(2)求不中奖的概率．‎ 解　(1)记“中二等奖”为事件A.‎ 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．‎ 记两个小球的编号之和为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x＝5，x＝6.‎ 事件x＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，‎ 故P(x＝5)＝＝；‎ 事件x＝6的取法有1种，即{2,4}，故P(x＝6)＝.‎ 所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝.‎ ‎(2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件：中一等奖(x＝7)，中二等奖(事件A)，中三等奖(x＝4)．‎ 事件x＝7的取法有1种，即{3,4}，‎ 故P(x＝7)＝；‎ 事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，‎ 故P(x＝4)＝＝.‎ 由(1)可知，P(A)＝.‎ 所以P()＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 所以不中奖的概率为P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ 思维升华　事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．‎ 跟踪演练3　(1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是(　　)‎ A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球 C．3个都是红球 D．至少有一个红球 ‎(2)(2017·孝义模拟)现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球” 说明有白球，白球的个数可能是1或2，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球”都能同时发生，既不互斥，也不对立．故选C.‎ ‎(2)甲抽取一张卡片获胜的概率为；甲抽取两张卡片获胜的概率为××1＝，‎ 所以甲获胜的概率为＋＝，故选D.‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．‎ 答案　 解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，‎ ‎∴所求概率P＝＝.‎ ‎2．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．‎ 答案　 解析　如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.‎ ‎3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．‎ ‎(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；‎ ‎(2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；‎ ‎(3)乙盒中红球不多于丙盒中红球；‎ ‎(4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多．‎ 答案　(2)‎ 解析　取两个球往盒子中放有4种情况：‎ ‎①红＋红，则乙盒中红球数加1；‎ ‎②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；‎ ‎③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；‎ ‎④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.‎ 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故(2)正确．‎ ‎4．(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ 答案　 解析　设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，‎ 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，‎ ‎∴D＝[－2,3]．‎ 如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，‎ ‎∴P(A)＝.‎ 押题预测 ‎1．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 押题依据　古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点．‎ 答案　B 解析　将一骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，…‎ ‎，(6,6)，共36个．由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为＝.‎ ‎2．已知集合M＝{x|－10，‎ 即m>n，满足题意的情况如下：‎ 当m＝2时，n＝1；‎ 当m＝3时，n＝1,2；‎ 当m＝4时，n＝1,2,3；‎ 当m＝5时，n＝1,2,3,4；‎ 当m＝6时，n＝1,2,3,4,5，共15种，‎ 故所求事件的概率为＝.‎ ‎14．(2017·衡水中学二模)如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．‎ ‎(1)若某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天(到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率；‎ ‎(2)若某人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率．‎ 解　(1)设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，14)．‎ 依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅ (i≠j)．‎ 设B为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1” ，则B＝A3∪A5∪A6∪A7∪A10，‎ 所以P(B)＝P(A3)∪P(A5)∪P(A6)∪P(A7)∪P(A10)‎ ‎＝，‎ 即此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率为.‎ ‎(2)记3月7日至3月12日中重度污染的2天为E，F，另外4天记为a，b，c，d，则6天中选2天到达的基本事件如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F)，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F)，(c，d)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)，(E，F)，共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含(a，E)，(a，F)，(b，E)，(b，F)，(c，E)，(c，F)，(d，E)，(d，F)这8个基本事件，故所求事件的概率为.‎