2018届二轮复习三角函数与平面向量理教案（全国通用）

2018届二轮复习三角函数与平面向量理教案（全国通用）

专题二 三角函数与平面向量教师用书 理 第1讲　三角函数的图象与性质 高考定位　高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2013·江苏卷)函数y＝3sin的最小正周期为________.‎ 解析　利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式求解.函数y＝3sin的最小正周期为T＝＝π.‎ 答案　π ‎2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.‎ 解析　因为由图象可知振幅A＝，＝－＝，‎ 所以周期T＝π＝，解得ω＝2，将代入f(x)＝sin(2x＋φ)，解得一个符合的φ＝，从而y＝sin，∴f(0)＝.‎ 答案　 ‎3.(2014·江苏卷)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________.‎ 解析　根据题意，将x＝代入可得cos＝sin，即sin＝，∴＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z).‎ 又∵φ∈[0，π)，∴φ＝.‎ 答案　 ‎4.(2015·浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.‎ 解析　f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴单调递减区间是，k∈Z.‎ 答案　π　(k∈Z)‎ 考 点 整 合 ‎1.常用三种函数的易误性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在(k∈Z)上单调递增；‎ 在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(k∈Z)‎ ‎2.三角函数的常用结论 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.‎ ‎(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.‎ ‎3.三角函数的两种常见变换 热点一　三角函数的图象 ‎【例1】 (1)(2016·无锡高三期末)将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.‎ ‎(2)(2016·南京调研)如图，它是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________.‎ 解析　(1)将f(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位得到g(x)＝2sin 2＝2sin 的图象.‎ ‎(2)由函数图象得A＝3，＝2[3－(－1)]＝8，‎ 解得ω＝，‎ 所以f(x)＝3sin，又因为(3，0)为函数f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，‎ 解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin ＝.‎ 答案　(1)2sin　(2) 探究提高　(1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.‎ ‎(2)已知图象求函数y＝Asin(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ ‎【训练1】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为________.‎ ‎(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f的值为________.‎ 解析　(1)由图象知＝6－(－2)＝8，∴T＝16，A＝4.‎ ‎∴ω＝＝＝.‎ ‎∴y＝4sin，‎ 把点(6，0)代入得：‎ ×6＋φ＝0，‎ 得φ＝－.‎ ‎∴y＝4sin，‎ 又∵|φ|＜.‎ ‎∴y＝－4sin.‎ ‎(2)根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2.‎ 又函数过点，所以有sin＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝2sin，‎ 因此f＝2sin＝1.‎ 答案　(1)y＝－4sin　(2)1‎ 热点二　三角函数的性质 ‎[微题型1]　三角函数的性质及其应用 ‎【例2－1】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.‎ ‎(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.‎ ‎(3)(2016·苏北四市调研)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________.‎ 解析　(1)由得sin ωx＝cos ωx，‎ ‎∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z).‎ ‎∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z).‎ 设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.‎ 又结合图形知|y2－y1|＝＝2，‎ 且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，‎ ‎∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，‎ ‎∴＋(2)2＝12，∴ω＝.‎ ‎(2)由f(x)在上具有单调性，得≥－，‎ 即T≥；因为f＝f，所以f(x)的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.‎ ‎(3)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移后得到y＝sin＝sin的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝.‎ 答案　(1)　(2)π　(3) 探究提高　此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.‎ ‎[微题型2]　三角函数图象与性质的综合应用 ‎【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在x∈上的值域.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即ω＝＋(k∈Z).‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，‎ 即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，‎ ‎∵x∈，∴x－∈，‎ ‎∴函数f(x)的值域为[－1－，2－].‎ 探究提高　求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.‎ ‎【训练2】 已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)，求g(x)的值域.‎ 解　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x ‎＝sin.‎ 则f(x)的最小正周期为π，‎ 由2x－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).‎ ‎(2)g(x)＝[f(x)]2＋f(x)＝sin2＋sin＝－.‎ 当sin＝－时，g(x)取得最小值－，‎ 当sin＝1时，g(x)取得最大值2，‎ 所以g(x)的值域为.‎ ‎1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式 ‎(1)A＝，B＝.‎ ‎(2)由函数的周期T求ω，ω＝.‎ ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.‎ ‎2.运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.‎ ‎(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；‎ ‎(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；‎ ‎(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号.‎ ‎3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.‎ 一、填空题 ‎1.(2016·山东卷改编)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是________.‎ 解析　∵f(x)＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π.‎ 答案　π ‎2.(2016·南通月考)已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.‎ 解析　由图可得sin＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－.‎ 故f(0)＝2sin＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎3.(2016·北京卷改编)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则t＝________，s的最小值为________.‎ 解析　点P在函数y＝sin图象上，‎ 则t＝sin＝sin＝.‎ 又由题意得y＝sin＝sin 2x，‎ 故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为.‎ 答案　　 ‎4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为_______.‎ 解析　由图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，‎ ‎∴ω＝2，由sin＝1，|φ|＜得＋φ＝⇒φ＝⇒f(x)＝sin，‎ 则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为y＝sin＝sin.‎ 答案　y＝sin ‎5.(2015·苏北四市调研)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为________.‎ 解析　因为函数f(x)的最大值为2，所以最小正周期T＝2＝，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，‎ 当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，k∈Z，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，‎ 所以函数f(x)在x∈[－1，1]上的单调递增区间是.‎ 答案　 ‎6.(2016·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω取最小值时，φ的值为________.‎ 解析　由－＝≥×，‎ 解得ω≥2，故ω的最小值为2.‎ 此时sin＝0，‎ 即sin＝0，又0＜φ＜π，‎ 所以φ＝.‎ 答案　 ‎7.已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.‎ 解析　由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z且ω＞0，‎ 得≤x≤，k∈Z.‎ 取k＝0，得≤x≤，‎ 又f(x)在上单调递减，‎ ‎∴≤，且π≤，解之得≤ω≤.‎ 答案　 ‎8.(2016·泰州模拟)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________.‎ 解析　f(x)＝sin g(x)＝sin＝sin，‎ 关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，‎ 则－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－π－(k∈Z)，‎ 显然，k＝－1时，φ有最小正值－＝.‎ 答案　 二、解答题 ‎9.已知函数f(x)＝2sin.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)若f＝－，求f(x0)的值.‎ 解　(1)T＝＝π，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－π＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)f＝－，即sin 2x0＝－，‎ ‎∴cos 2x0＝±，‎ ‎∴f(x0)＝2sin＝(sin 2x0＋cos 2x0)＝或－.‎ ‎10.(2016·苏州调研)已知函数f(x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　f(x)＝2sin xcos x－cos 4x ‎＝－sin 2xcos 2x－cos 4x ‎＝－sin 4x－cos 4x ‎＝－sin.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝.‎ 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.‎ 此时－≤sin≤1，‎ 所以－≤－sin≤，‎ 即－≤f(x)≤.‎ 所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－.‎ ‎11.设函数f(x)＝sin＋sin2x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域.‎ 解　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，‎ 得到函数g(x)＝sin＝－cos 2x的图象，即g(x)＝－cos 2x.‎ 当x∈时，2x∈，‎ 可得cos 2x∈，‎ 所以－cos 2x∈，‎ 即函数g(x)在区间上的值域是.‎ 第2讲　三角恒等变换与解三角形 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.‎ 真 题 感 悟 ‎(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)cos的值.‎ 解　(1)由cos B＝，得sin B＝＝.‎ 又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，‎ 得＝，‎ 即＝⇒AB＝5.‎ ‎(2)由(1)得：sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，‎ 则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，‎ cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－，‎ 则cos＝cos Acos＋sin Asin＝.‎ 考 点 整 合 ‎1.三角函数公式 ‎(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：‎ sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎2.正、余弦定理、三角形面积公式 ‎(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；‎ 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.‎ ‎(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.‎ 热点一　三角恒等变换及应用 ‎【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若tan α＝2tan ，则＝________.‎ ‎(2)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.‎ ‎(3)(2016·苏北四市模拟)已知cos·cos＝－，α∈.则sin 2α＝________.‎ 解析　(1)＝＝ ‎＝＝＝＝3.‎ ‎(2)∵α为锐角，cos＝＞0，‎ ‎∴α＋为锐角，∴sin＝，‎ 则sin＝2sincos＝2××＝，‎ 又cos＝sin，∴cos＝.‎ ‎(3)cos·cos＝cos·sin ‎＝sin＝－，即sin＝－.‎ ‎∵α∈，∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin ‎＝sincos －cossin ＝.‎ 答案　(1)3　(2)　(3) 探究提高　1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 ‎(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.‎ ‎【训练1】 (1)已知sin 2α＝，则cos2＝________.‎ ‎(2)(2016·南京、盐城模拟)sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝________.‎ ‎(3)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.‎ 解析　(1)法一　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.‎ 法二　cos＝cos α－sin α.‎ 所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)‎ ‎＝(1－sin 2α)＝.‎ ‎(2)sin(π－α)＝sin α＝－，又α∈，‎ ‎∴cos α＝－＝－＝－.‎ 由cos α＝2cos2－1，∈，‎ 得cos ＝－＝－.‎ 所以sin＝cos ＝－.‎ ‎(3)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，‎ 解得tan β＝3.‎ 答案　(1)　(2)－　(3)3‎ 热点二　正、余弦定理的应用 ‎[微题型1]　三角形基本量的求解 ‎【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ ‎(2)(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎①证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎②若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.‎ ‎(1)解析　在△ABC中由cos A＝，cos C＝，‎ 可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得 b＝＝.‎ 答案　 ‎(2)①证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，有 ＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎②解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B.‎ 故tan B＝＝4.‎ 探究提高　1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.‎ ‎[微题型2]　求解三角形中的最值问题 ‎【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.‎ 解　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.‎ 因为B＝π－A－C，‎ 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.‎ 易知sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，‎ 所以sin＝.又0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)法一　由(1)得B＋C＝⇒C＝－B，由正弦定理得＝＝＝＝，‎ 所以b＝sin B，c＝sin C.‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×sin B×sin C·sin ＝sin B·sin C＝·‎ sin B·sin＝‎ ＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋.‎ 易知－＜2B－＜，‎ 故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝.‎ 法二　由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos ，即b2＋c2－bc＝4⇒bc＋4＝b2＋c2≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×bc≤×4＝，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为.‎ 探究提高　求解三角形中的最值问题常用如下方法：‎ ‎(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.‎ ‎[微题型3]　求解三角形中的实际问题 ‎【例2－3】 (2016·无锡高三期末)在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：‎ 方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；‎ 方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上.‎ 请问应选用哪一种方案？并说明理由.‎ ‎　　‎ 方案一　　　　　方案二 解　应选方案二，理由如下：‎ 方案一：过点Q作QM⊥AC于点M，作QN⊥BC于点N，‎ 因为△PQR为等腰直角三角形，且QP＝QR，‎ ‎∠MQR＝∠NQP，∠RMQ＝∠PNQ＝90°，‎ 所以△RMQ≌△PNQ，所以QM＝QN，‎ 所以Q为AB的中点，M，N分别为AC，BC的中点，‎ 则QM＝QN＝5 m，‎ 设∠RQM＝α，则RQ＝，α∈[0°，45°]，‎ 所以S△PQR＝×RQ2＝.‎ 所以当cos2α＝1，即α＝0°时，S△PQR取得最小值 m2.‎ 方案二：设CQ＝x，∠RQC＝β，β∈[0°，90°)，‎ 在△RCQ中，RQ＝，‎ 在△BPQ中，∠PQB＝90°－β，‎ 所以＝，‎ 即＝.‎ 化简得＝，解得x＝，‎ 所以S△PQR＝×RQ2＝，‎ 因为(sin β＋2cos β)2≤5，所以S△PQR的最小值为10 m2.‎ 综上，应选用方案二.‎ 探究提高　应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：‎ ‎(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，‎ 通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.‎ ‎【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.‎ ‎(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，‎ 故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)解　由S＝得absin C＝，‎ 故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，‎ 因sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，‎ 所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝； ‎ 当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ ‎1.对于三角函数的求值，需关注：‎ ‎(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；‎ ‎(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；‎ ‎(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.‎ ‎2.三角形中判断边、角关系的具体方法：‎ ‎(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.‎ ‎3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S＝absin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.‎ 一、填空题 ‎1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝________.‎ 解析　∵sin α＋2cos α＝，‎ ‎∴sin2 α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝＝－.‎ 答案　－ ‎2.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.‎ 解析　化简23cos2A＋cos 2A＝0，‎ 得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，‎ 解得cos A＝，由a2＝b2＋c2－2bccos A，得b＝5.‎ 答案　5‎ ‎3.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝________.‎ 解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－.‎ 答案　－ ‎4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.‎ 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.‎ ‎∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得 ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ 答案　 ‎5.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.‎ 解析　∵α为锐角且cos＝，‎ ‎∴α＋∈，∴sin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin 2cos －cos 2sin ‎＝sincos－ ‎＝××－ ‎＝－＝.‎ 答案　 ‎6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.‎ 解析　∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，‎ S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，‎ 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，‎ a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8.‎ 答案　8‎ ‎7.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cos C，则＋＝________.‎ 解析　＋＝6cos C⇒6abcos C＝a2＋b2，6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.‎ ＋＝· ‎＝·＝·，‎ 由正弦定理得：上式＝·＝4.‎ 答案　4‎ ‎8.(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.‎ 解析　∵sin A＋sin B＝2sin C.‎ 由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，‎ cos C＝＝ ‎＝≥＝，‎ 当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.‎ ‎∴cos C的最小值为.‎ 答案　 二、解答题 ‎9.(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋cos C的最大值.‎ 解　(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.‎ 由余弦定理得cos B＝＝＝.‎ 又0＜B＜π，所以B＝.‎ ‎(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以 C＝－A，0＜A＜.‎ 所以cos A＋cos C＝cos A＋cos ‎＝cos A＋coscos A＋sin sin A ‎＝cos A－cos A＋sin A ‎＝sin A＋cos A＝sin，‎ ‎∵0＜A＜，∴＜A＋＜π，故当A＋＝，‎ 即A＝时，cos A＋cos C取得最大值为1.‎ ‎10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值.‎ 解　(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝5，‎ 得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.‎ 又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A＝‎ sin2A＝×＝.‎ ‎11.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解　(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.由正弦定理＝，得 AB＝·sin C＝×＝1 040(m).‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，‎ 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ‎＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.‎ ‎(3)由正弦定理＝，‎ 得BC＝·sin A＝×＝500(m).‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.‎ 第3讲　平面向量 高考定位　平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；‎ ‎(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.‎ 真 题 感 悟 ‎ 1.(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.‎ 解析　∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即 解得故m－n＝2－5＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎2.(2011·江苏卷)已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________.‎ 解析　因为e1，e2是夹角为π的两个单位向量，所以 e1·e2＝cos〈e1，e2〉＝cos＝－，又a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，‎ 即k－－2＋(－2k)＝0，‎ 解得k＝.‎ 答案　 ‎3.(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ 解析　如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝‎ ‎－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.‎ 答案　 ‎4.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________.‎ 解析　设＝a，＝b，则·＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.‎ 又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，‎ 则＝(＋)＝a＋b，‎ ＝＝a＋b.‎ ＝＝a＋b，‎ ＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b，‎ ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，‎ 则·＝＝‎ ‎－a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1.‎ 可得a2＋b2＝.‎ 又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b.‎ ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，‎ 则·＝＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝.‎ 答案　 考 点 整 合 ‎1.平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝ ‎(＋).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.‎ 热点一　平面向量的有关运算 ‎[微题型1]　平面向量的线性运算 ‎【例1－1】 (1)(2016·南通调研)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________.‎ ‎(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.‎ 解析　(1) 依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.‎ 又＝x＋(1＋x)，且、不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.‎ ‎(2)法一　如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以· ‎＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos 120°＋＋＝1，解得λ＝2.‎ 法二　建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：‎ A(0，1)，C(0，－1)，B(－，0)，‎ D(，0).‎ 由BC＝3BE，DC＝λDF，‎ 可求点E，F的坐标分别为E，‎ F，‎ ‎∴·＝· ‎＝－2＋＝1，解得λ＝2.‎ 答案　(1)　(2)2‎ 探究提高　用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.‎ ‎[微题型2]　平面向量的坐标运算 ‎【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.‎ 解析　(1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，‎ 即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8.‎ ‎(2)||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝，‎ 则∠ABC＝30°.‎ 答案　(1)8　(2)30°‎ 探究提高　若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.‎ ‎[微题型3]　平面向量数量积的运算 ‎【例1－3】 (1)(2016·连云港调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________.‎ ‎(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________.‎ 解析　(1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，‎ 则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，‎ 即x＋y≥1.‎ 又a＋b－c＝(1－x，1－y)，‎ ‎∴|a＋b－c|＝＝.①‎ 法一　如图.c＝(x，y)对应点在上，而①式的几何意义为P点到 上点的距离，其最大值为1.‎ 法二　|a＋b－c|＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ ‎∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.‎ ‎(2)法一　在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，‎ ‎∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.‎ 法二　以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.‎ 又＝λ，＝，‎ 则E，F，λ＞0，‎ 所以·＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ＞0，‎ 当且仅当＝λ，‎ 即λ＝时取等号，‎ 故·的最小值为.‎ 答案　(1)1　(2) 探究提高　(1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.‎ ‎(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法 ‎，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.‎ ‎【训练1】 (1)(2015·福建卷改编)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于________.‎ ‎(2)(2016·苏、锡、常、镇模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________.‎ 解析　(1)建立如图所示坐标系，则 B，C(0，t)，＝，‎ ＝(0，t)，‎ ＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·‎ ‎(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.‎ ‎(2)法一　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，则B(，0)，E(，1).设F(x，2)，则＝(x，2)，又＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝.‎ 法二　∵·＝||||cos ∠BAF＝，||＝，∴||cos ∠BAF＝1，‎ 即||＝1，∴||＝－1，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.‎ 答案　(1)13　(2) 热点二　平面向量与三角的交汇 ‎【例2】 (2016·宿迁月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，b2－a2－c2) ，n＝(2sin A－sin C，c2－a2－b2)，且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围.‎ 解　(1)＝＝＝＝，‎ 因为sin C≠0，‎ 所以sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B，‎ 所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，‎ 因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝.‎ ‎(2)T＝sin2A＋sin2B＋sin2C ‎＝(1－cos 2A)＋＋(1－cos 2C)‎ ‎＝－(cos 2A＋cos 2C)‎ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－cos.‎ 因为0＜A＜，所以0＜2A＜，故＜2A＋＜，‎ 因此－1≤cos＜，所以＜T≤.‎ 探究提高　三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.‎ ‎【训练2】 (2016·北京海淀区模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.‎ 解　(1)因为p⊥q，‎ 所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)·(1＋sin B)＝0，‎ 即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，‎ 即sin2B＝，‎ 又角B是锐角三角形ABC的内角，‎ 所以sin B＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，‎ 所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又b＝2，‎ 所以a2＋c2＝8，②‎ 联立①②，解得a＝c＝2.‎ ‎1.平面向量的数量积的运算有两种形式：‎ ‎(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；‎ ‎(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.‎ ‎2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直.‎ ‎3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.‎ 一、填空题 ‎1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.‎ 解析　由|a＋b|＝得|a＋b|2＝10，‎ 即a2＋2a·b＋b2＝10，①‎ 又|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，②‎ 由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.‎ 答案　1‎ ‎2.(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝__________；y＝__________.‎ 解析　＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝－，∴x＝，y＝－.‎ 答案　　－ ‎3.已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.‎ 解析　由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.‎ 答案　90°‎ ‎4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).‎ 解析　由已知，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知＋＝2，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心.‎ 答案　重心 ‎5.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.‎ 解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.‎ 答案　 ‎6.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.‎ 解析　由题图可得，＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－.‎ ‎∴·＝· ‎＝2－·－2＝2，‎ 故有2＝25－·－×64，解得·＝22.‎ 答案　22‎ ‎7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.‎ 解析　∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；‎ ‎∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴||＝|b|＝2，故②错误；‎ ‎∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；‎ ‎∵＝b，故④正确；‎ ‎∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，‎ ‎∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.‎ 答案　①④⑤‎ ‎8.(2016·淮安月考)如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.‎ 解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.‎ 由题意知：A(3，0)，B(0，3)，‎ 设M(x，y)，由＝2，‎ 得解得 即M点坐标为(2，1)，‎ 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.‎ 法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.‎ 答案　3‎ 二、解答题 ‎9.已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.‎ 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝＝2，‎ 因为x∈，所以cos x≥0，‎ 所以|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，‎ 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.‎ 因为x∈，所以0≤cos x≤1.‎ ‎①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；‎ ‎③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.‎ ‎10.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.‎ 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎11.(2016·南师附中调研)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行.‎ ‎ (1)求A；‎ ‎ (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.‎ 解　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，‎ 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，‎ 又sin B≠0，从而tan A＝，‎ 由于0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，‎ 即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，‎ 故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.‎ 法二　由正弦定理，得＝，‎ 从而sin B＝，又由a＞b，知A＞B，‎ 所以cos B＝，故sin C＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.‎ 所以△ABC的面积为S＝absin C＝.‎