高考数学黄金100题系列第16题对数函数理

高考数学黄金100题系列第16题对数函数理

第 16 题对数函数 I．题源探究·黄金母题 【例 1】已知函数 ( ) log ( 1)af x x  ， ( ) log (1 )ag x x  ， ( 0, 1)a a 且 ． （1）求函数 ( ) ( )f x g x 的定义域； （2）判断函数 ( ) ( )f x g x 的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由 1 0x   ，1 0x  得 1 1x   ，∴函数 ( ) ( )f x g x 的定义域为 ( 1,1) ． （2）根据（1）知：函数 ( ) ( )f x g x 的定义域为 ( 1,1) ∴函数 ( ) ( )f x g x 的定义域关于原点对称． 又∵ ( ) ( ) log (1 ) log (1 )a af x g x x x       ＝ ( ) ( )f x g x ， ∴ ( ) ( )f x g x 是 ( 1,1) 上的偶函数． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修一第 75 页 B 组第 4 题 【母题评析】本题以对数函数为载体，考 查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式 是近几年高考试题常常采用的命题形式， 能达到考查运算能力以及代数恒等变换 能力． 【思路方法】求含有对数的函数的定义域 时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求 外，还须考虑对数的真数必须大于 0．判 断对数型函数的奇偶性时首 先必须确定 函数的定义域是否对称，对称的情况下判 断 ( )f x 与 ( )f x 的关系，进而判定． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复 杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080．则下列各数中与 M N 最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A．1033B．1053 C．1073 D．1093 【答案】D 【解析】设 361 80 3 10 M xN   ，两边取对数， 361 361 80 80 3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x        ，所 以 93.2810x  ，即 M N 最接近 9310 ，故选 D． 【例 2】【2017 高考天津卷文理】已知奇函数 ( )f x 在 R 上是 增函数．若 0.8 2 2 1(log ), (log 4.1), (2 )5a f b f c f    ，则 【命题意图】本类题考查对数型函数的定 义域与奇偶性． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度中等，往往以考查对数运算构成的对数 型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、 对数函数的图象、在实际生活中的应用． 【难点中心】（1）处理含有参数的对数型 函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆 向思维的方法，体现待定系数法的应用； （2）应用对数函数的图象时，常常涉及 不太规范的对数型函数的图象，其作法可 能较难，常常利用转化思想；（3）解决对 数不等式问题的方法就是化为同底的对 数或对数的形式，再利用函数的单调性转 , ,a b c 的大小关系为（） A． a b c  B．b a c  C． c b a  D． c a b  【答案】C 【解析】由题意：  2 2 1log log 55a f f      ，且： 0.8 2 2log 5 log 4.1 2,1 2 2    ， 据此： 0.8 2 2log 5 log 4.1 2  ，结合函数的单调性有：      0.8 2 2log 5 log 4.1 2f f f  ， 即 ,a b c c b a    ，本题选择 C 选项． 【例 3】【2017 高考新课标 I 理数】设 x、y、z 为正数，且 2 3 5x y z  ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【 解 析 】 令 2 3 5 ( 1)x y z k k    ， 则 2logx k ， 3logy k ， 5logz k ，∴ 2 2lg lg3 lg9 13 lg 2 3lg lg8 x k y k     ， 则 2 3x y ，2 2lg lg5 lg 25 15 lg 2 5lg lg32 x k z k     ，则 2 5x z ，故 选 D． 化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际 生活中的应用时如何建立与对数相关的 函数模型，也是相对较难． III．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义 如果 xa N （ 0a  且 1a  ），那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作 logax N ，其中 a 叫做对数 的底数， N 叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a ， 0a  且 1a  loga N 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln N 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（ 0, 1a a 且 ）： ① log 1 0a  ，② log 1a a  ，③ loga Na N ，④ log N a a N ． （2）对数的运算法则： 如果 0a  ，且 1a  ， 0M ， 0N ，那么： 1． Ma (log · )N Malog ＋ Nalog ； 2．  N M alog Malog － Nalog ； 3． n a Mlog n Malog )( Rn  ． （2）换底公式： loglog log a b a NN b  （ ,a b 均为大于零且不等于 1， 0N  ）； 利用换底公式推导下面的结论 （1） ab b a log 1log  ．推广 log log log loga b c ab c d d   ． （2） bm nb a n am loglog  ，特例： log logn n aa b b 考点二 对数函数的定义 函数 0(log  axy a ，且 )1a 叫做对数函数，其中 x 是自量，函数的定义域是 (0, ) ． 注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： xy 2log2 ， 5log 5 xy  都 不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制： 0( a ，且 )1a ． 考点三 对数函数图象与性质 图 象 1a  0 1a  性 质 （1）定义域： (0, ) （2）值域： R （3）当 1x  时， 0y  ，即过定点（1，0） （4）当 0 1x  时， ( ,0)y   ； 当 1x  时， (0, )y   （4）当 1x  时， ( ,0)y   ； 当 0 1x  时， (0, )y   （5）在（0，+  ）上为增函数 （5）在（0，+  ）上为减函数 注：确定图中各函数的底数 a b c d， ， ， 与 1 的大小关系 提示：作一直线 1y  ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0 1c d a b     ． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、 单调性、图象，以及不等式、方程有联系； 2．在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、 极值、最值等． 【技能方法】 1．转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行 着两种形式的相互转化，同时要熟练应用公式： log 1 0a  ， log 1a a  ， loga Na N ， log b a a b ． 2．数式化简与求值的规律 含有对数的代数式的化简关键是减少含有对数的项的个数，而含对数的项的合并常用对数的性质，因此， 化简要朝这个方向进行．一般有如下规律： （1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对 数运算法则化简合并； （2）熟练地运用对数的三个运算性质和换底公式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用 的技巧； （3）指数式 ba N 与对数式 loga N b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤： （1）先求出函数的定义域； （2）判断对数函数的底数与 1 的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调 性，就必须对底数进行分类讨论； （3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 4．求函数的最值(或值域) （1）直接法：充分利用函数的单调性和图象直接求解． （2）转化法：利用运算公式将含有对数式的函数转化为求二次函数最值问题，然后采用配方法求解，但 需注意自变量的范围． （3）分解法（复合法）：求解步骤：①分解成  log ,ay u u f x  两个函数；②求 ( )f x 的定义域；③ 求u 的取值范围；④利用 logay u 的单调性求解． 【易错指导】 1．在对数运算中，忽视真数的限制条件，如已知 lg lg 2ln( 2 )x y x y   ，求 2log x y 的值； 2．错误利用对数的运算性质，如求值： 1lg14 2lg lg7 lg183    ； 3．忽视函数中的定义域，如求函数 2 1 2 log ( 2 3)y x x   的单调递增区间； 4．混淆函数定义域与值域的理解，如若函数 2lg( 1)x ax  的值域为 R ，求实数 a 的取值范围； 5．忽视对含参底数的讨论，如已知函数 (log 2 4)ay x x   的最大值比最小值大 1，求 a 的值； 6．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求 2 21( )3 x xy  的单调区间． V．举一反三·触类旁通 考向 1 对数运算性质的应用 【例 1】【2015 高考安徽卷】 15 1lg 2lg 2 ( )2 2    ___________． 【答案】 1 【例 2】用 log ,log ,loga a ax y z 表示下列各式： （1） loga xy z ；（2） 2 3loga x y z ． 【答案】（1） log log loga a ax y z  ；（2） 1 12log log log2 3a a ax y z  ． 【解析】（1） z xy alog  loga xy loga z log log loga a ax y z   ． （2） 3 2 log z yx a  2 3log loga ax y z  2 3 1 1log log log 2log log log2 3a a a a a ax y z x y z      ． 【例 3】【2018 河南南阳一中上学期第三次考试】求值：（1） ； （2） 93 4 1log 161log 9 log 27 4       ． 【答案】（1）1；（2） 43 2 ． 【解析】（1）原式= ． （2）原式    2 1 2 2 22 3 1 14log 4 33 2 3 3 43log 3 log 3 4 4 4 161 2 2 2 2             ． 【跟踪练习】 1．已知函数 3log , 0( ) ,2 , 0x x xf x x    则 1( ( ))9f f 的值为（） A． 1 4 B． 1 3 C． 2 D． 4 【答案】 A 【考点定位】本题考查函数的概念，指数与对数运算等基础知识，意在考查考生的计算能力及分析判断 能力能力． 2 ．【 2016 高 考 浙 江 卷 】 已 知 1a b  ． 若 log lo 5 2ga bb a  ， b aa b ， 则 a  _________ ， b  ___________． 【答案】 4 2 【解析】设 log , 1b a t t 则 ，所以 1 5 2t t   ，解得 2t  ，所以 2a b ，于是由 b aa b ，得 22b bb b ，所 以 22b b ，解得 2, 4b a  ． 【技巧归纳】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对 数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正 用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的 lg 2 lg5 1  ． 3．【2017 吉林梅河口五中高三一模】已知两条直线 1l ： y m 和 2l ： 8 ( 0)2 1y mm   ， 1l 与函数 2logy x 的图象从左到右相交于点 ,A B ， 2l 与函数 2logy x 的图象从左到右相交于点 ,C D ，记线段 AC 和 BD 在 x 轴的投影长度分别为 ,a b ，当 m 变化时， b a 的最小值为__________． 【答案】8 2    8 1 8 1 1 8 1 72 1 2 2 1 ·2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2m m mm m m            ，当且仅当  1 82 12 2 1m m    时，即 3 2m  时取等号，所以 b a 的最小值为 7 22 8 2 点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题．先分别 m 表示 出 A 、B 、C 、D 的坐标，然后表示用 A 、B 、C 、D 的坐标表示出投影长度 a 、b ，得到 8 2 12 mmb a     ， 然后利用均值不等式求得 b a 的最小值． 考向 2 求对数型函数的定义域、值域 【例 4】【2017 河北唐山二模】函数  21 log 1y x   的定义域为__________． 【答案】 1,1 【解析】要使  21 log 1y x   有意义，则  21 log 1 0x   ，即  2log 1 1x   ，即 0 1 2x   ， 即 1 1x   ，即函数  21 log 1y x   的定义域为 1,1 ． 【例 5】求下列函数的定义域、值域： （1） 31 logy x  ；（2）  2 1 2 log 2 3y x x   ． 【解析】（1）∵ 31 log 0x  ∴ 3 3log 1 log 3x   ∴ 0 x  所以函数的定义域为  0,3x  ∵ 31 log 0x  所以函数的值域为  0,y   ． （2）∵ 2 2 3 0x x   ∴ 3x  或 1x  所以函数的定义域为    , 1 3,x     因为 2 2 3 0x x   ，即 2 2 3x x  能取遍一切正实数，所以  2 1 2 log 2 3x x R   所以函数的值域为 y R ． 【例 6】【2018 黑龙江双鸭山一中卖不】已知函数      log 1 log 3 (0 1)a af x x x a      （1）求函数  f x 的定义域； （2）若函数  f x 的最小值为-4，求 a 的值． 【答案】（1） 3,1 ；（2） 2 2a  试题解析；； （1）要使函数有意义，则有 1 0{ 3 0 x x     解之得 3 1x   ，所以函数的定义域为 3,1 ． （2）       2log 1 3 log 2 3a af x x x x x        2log 1 4a x      3 1x    20 1 4 4x      ． 0 1a  ，  2log 1 4 log 4a ax       ，  min log 4af x  ．由 log 4 4a   ，得 4 4a  ， 1 4 24 2a     ． 【跟踪练习】 1．【2016 高考全国Ⅱ卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数 lg10 xy  的定义域和值域相同的是 （ ） A． y x B． lgy x C． 2xy  D． 1y x  【答案】D 【解析】 lg10 xy x  ，定义域与值域均为 0, ，只有 D 满足，故选 D． 2．【2015 高考湖北卷】函数 2 5 6( ) 4 | | lg 3 x xf x x x      的定义域为（ ） A． (2, 3) B． (2, 4] C． (2, 3) (3, 4] D． ( 1, 3) (3, 6]  【答案】C 【解析】由函数 ( )y f x 的表达式可知，函数 ( )f x 的定义域应满足条件： 2 5 64 | | 0, 03 x xx x     ，解 得 4 4, 2, 3x x x     ，即函数 ( )f x 的定义域为 (2, 3) (3, 4] ，故应选C ． 【方法归纳】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于 0；（2）偶次根式的被 开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 3．【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学 2018 届高三第一次调研】已知函数    2lg 1f x x  的定义域为 P ，不等式 1 1x   的解集为Q ，则 P Q  （） A． 0,1 B． 1,2 C． 1,0 D． 1,2 【答案】B 【解析】因为 21 0, 1 x 1x     ，所以  1,1P   ，由 1 1x   可得 0 2x  ，所以  0,2Q  ，所 以  1,2P Q   ，故选 B． 4．【2017 广西南宁金伦中学高三上学期期末考试】函数 的定义域是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， ，故函数 的定义域为 ，故选 D． 5．【2018 湖南衡阳八中模拟】设函数 f（x）=lg（ax﹣bx），且 f（1）=lg2，f（2）=lg12 （1）求 a，b 的值． （2）当 x∈[1，2]时，求 f（x）的最大值． （3）m 为何值时，函数 g（x）=ax 的图象与 h（x）=bx﹣m 的图象恒有两个交点． 【答案】（1）a=4，b=2；（2）当 x=2 时，函数 f（x）取最大值 lg12，（3） 1 ,04     试题解析：（1）∵f（1）=lg2，f（2）=lg12，f（x）=lg（ax﹣bx） ∴ 2 2 2{ 12 a b a b     ，解得 4{ 2 a b   ．∴a=4，b=2； （2）由（1）得：函数 f（x）=lg（4x﹣2x）， 当1 2x  时， 2 2 4x  ，∴ 21 14 2 2 2 4 x x x       ，∴ 2 4 2 12x x   ， 故当 4 2 12x x  ，即 x=2 时，函数 f（x）取最大值 lg12． （3）若函数 g（x）=ax 的图象与 h（x）=bx﹣m 的图象恒有两个交点．则方程 4x﹣2x=m 有两个解， 令 t=2x，则 t＞0，则方程 2 0t t m   有两个正解；故 1 4 0{ 0 m m       ，解得 1 04 m   ． 所以当 1 04 m   时，函数 g（x）=ax 的图象与 h（x）=bx﹣m 的图象恒有两个交点． 考向 3 对数函数的奇偶性 【例 7】【2018 安徽合肥调研】若函数  f x 为奇函数，当 0x  时，   2logf x x ，则 1 2f f        （） A． 2 B． 1 C．0 D．1 【答案】C 【解析】    2 2 1 1log 1 1 log 1 02 2f f f f f                    ，选 C． 【例 8】【2017 贵州贵阳模拟】已知函数      1 2 1 2f x n x n x    ，则  f x 是（） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【例 9】【2017 吉林实验中学上学期二模】若函数   2lg 2 +1f x a x      为奇函数，则实数 a _______． 【答案】 1 2  【解析】因为函数   2lg 2 +1f x a x      为奇函数，所以    0 lg 2 2 0f a   ，所以 2 2 1a   ，即 1 2a   ． 点睛：解决本题的技巧是利用了奇函数的性质（若奇函数  f x 在 0x  处有定义，则 0 =0f（ ） ），可起到 事半功倍的效果． 【跟踪练习】 1．【2015 高考新课标Ⅰ理】若函数 ( )f x  2ln( )x x a x  为偶函数，则 a  ___________． 【答案】1 【解析】由题知 2ln( )y x a x   是奇函数，所以 2 2ln( ) ln( )x a x x a x      ＝ 2 2ln( ) ln 0a x x a    ，解得 1a  ． 2．【2014 高考湖南卷】若    3ln e 1xf x ax   是偶函数，则 a _________． 【答案】 3 2  【名师点睛】此类试题主要表现为已知函数的单调性求相关的参数，其思考方向：（1）利用定义域的对 称性建立方程求参数；（2）利用定义 ( ) ( )f x f x  或 ( ) ( )f x f x   建立方程求参数；（3）若函数 ( )f x 为奇函数，且在 0x  有定义，则利用 (0) 0f  求参数． 考向 4 对数型函数的单调区间（单调性） 【例 10】求函数  2 0.1log 2 5 3y x x   的递减区间． 【答案】 3, 【解析】先求函数的定义域，由 22 5 3 0x x   ，得 1 2x  ，或 3x  ．令 22 5 3u x x   ， 0.1logy u ，∵对数的底数 0.1 1 ，∴函数 0.1logy u 减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规 律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数 22 5 3u x x   （ 1 2x  ，或 3x  ）的递增区间即 可． ∵ 2 2 5 492 5 3 2 4 8u x x x         ，∴函数 22 5 3u x x   （ 1 2x  ，或 3x  ）的递增区间  3, ，所以函数  2 0.1log 2 5 3y x x   的递减区间为  3, ． 【例 11】【2018 湖北省武汉调研】函数    2log 4 5af x x x   （ 1a  ）的单调递增区间是（） A． , 2  B． , 1  C． 2, D． 5, 【答案】D 【解析】由函数    2log 4 5af x x x   得 2 4 5 0x x   ，得 1x   或 5x  ，根据题意，设 2 4 5u x x   ，则  22 9u x   ，图象开口向上，因函数    2log 4 5af x x x   为单调增函数， 由 1a  得：   logaf x u 也是增函数，又因 2 4 5u x x   在 5, 上是增函数，故 x 的取值范围是  5, ，故选 D． 点睛：复合函数 y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即 y＝f(u)与 u＝g(x)若具有相同的单 调性，则 y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则 y＝f[g(x)]必为减函数． 【跟踪练习】 1．【2014 高考天津卷】函数 ( ) ( )2 1 2 log 4f x x= - 的单调递增区间是（ ） A．( )0,+¥ B．( ),0-¥ C．( )2,+¥ D．( ), 2-¥ - 【答案】D 【方法点拨】此类求对数型复合函数的单调区间，首先要搞清楚函数的复合关系，即把整个函数分解为 若干个单调函数，按照“同增异减”的法则去判断函数的单调性．要讨论函数的单调区间，必须在函数 的定义域内进行，还要注意区间的端点值． 2．【2018 广东揭阳模拟】函数  2ln 2 3y x x    的单调递减区间是 A．（1，+∞） B．（﹣1，1] C．[1，3） D．（﹣∞，1） 【答案】C 【解析】由复合函数的单调性知原函数的单调递减区间就是使函数 2 2 3 0y x x     时对应的单调递 减区间，即[13，）．故本题答案选 C ． 3．【2018 湖北孝感七校联考】函数    2 1 2 log 2 3f x x x   的单调递增区间是____． 【答案】 , 1  【解析】函数有意义，则 2 2 3 0x x   ，解得{ 3 1}x x x  或 ，结合二次函数的性质和复合函数单调 性同增异减可知：函数的单调递增区间为 , 1  ． 4．【2017 山东济宁高三 3 月模拟】若函数    1 2 , 2,{ log , 2a a x a xf x x x     在 R 上单调递减，则实数 a 的 取值范围是__________． 【答案】 2 ,12      【点睛】本题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函 数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相 等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全． 考向 5 对数函数的单调性的应用 【例 12】若 ln 2 ln3 ln5, ,2 3 5a b c   ，则 A． a b c  B． c a b  C． c b a  D．b a c  【答案】B 【解析】∵ 11 622 8 ， 1 1 3 63 9 ，∴ 11 322 3 ， 11 32ln 2 ln3 ，∴ a b ，又 11 1022 32 ， 1 1 5 105 25 ，∴ 1 1 5 25 2 ， 1 1 5 2ln5 ln 2 ，∴ c a ，综上 c a b  ，选 B． 【例 13】【2018 河南漯河高级中学高三上学期三模】已知函数   log 1 ( 0, 1)af x x a a    ，若 1 2 3 4x x x x   ，且        1 2 3 4f x f x f x f x   ，则 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x     （） A． 2 B． 4 C．8 D．随 a 值变化 【答案】A 【 解 析 】 不 妨 设 1a＞ ， 则 令 1 0af x log x b  （ ） ＞ ， 则 1alog x b  或 1alog x b   ； 故 1 2 3 41 1 1 1b b b bx a x a x a x a          ， ， ， ，故 2 2 1 4 2 3 1 1 2 1 1 2 1 1b bx x a x x a     ， ； 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 1 1 b b b b b a x x x x a a a a           故 ，故选 A． 【例 14】【2017 山西三区八校二模】设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】D 【例 15】【2017 江苏无锡江南中学高三考前模拟】设 0.50.82x  ， 10 2log 512y  ， sin1z  ，则 x 、 y 、 z 的大小关系为（） A． x y z  B． y z x  C． z x y  D． z y x  【答案】D 【解析】因为 0.5 0.5 0.9 20.82 0.81 0.9, log 2 0.9, sin1 sin60 0.866 0.9x y z         ，所以 z y x  ，应选答案 D． 【跟踪练习】 1．【2018 青海模拟】已知函数  2 1 2 logy x ax a   在区间 2, 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ___________． 【答案】 4a  【解析】令 2t x ax a   ，则有函数  f x 在区间 2, 上是减函数，可得函数t 在区间 2, 上是 增函数，且 (2) 0t  ，所以 22 (2) 4 2 0 a t a       ，解得 4a  ，所以实数 a 的取值范围是 4a  ． 【易错指导】（1）忽视真数要求大于 0 的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层 函数的单调性． 2．【2018 安徽六安一中模拟】不等式 1 2 log ( 1) 1x   的解集是_______． 【答案】 3(1, )2 【解析】由 log ( )1 2 1 1x   得 10 1 2x   ，即 31 2x  ． 【名师指导】求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数 的限制条件． 3．【2017 河北石家庄考前冲刺】已知 3a  ， 1 6125b  ， 1 6 1log 7c  ，则下列不等关系正确的是（） A．b a c  B． a b c  C．b c a  D． c a b  【答案】D 【解析】由题 1 6125 5 3b a    ．又 23 3 2 2 2 1 6 6 6 1 37 6 ,log log 7 log 6 37 2          ，故选 D ． 4．【2013 高考全国新课标Ⅱ】设 3 5 7log 6, log 10, log 14a b c   ，则（ ） A． c b a  B．b c a  C． a c b  D． a b c  【答案】D 【名师点拨】比较两个对数值大小方法：（1）如果同底数或可转化为同底数的两个对数值的比较，只须 确定其对应函数的单调性，利用真数的大小即可比较；（2）如果底数不同且不能转化为同底数的两个对数 值，则此时可考虑引入一个中间数，间接比较这两个对数值的大小． 考向 6 对数函数的最值（值域） 【例 16】【2017 吉林实验中学高三上学期第二次模拟】已知函数   sin ( 1)cos t xf x tt x   的最大值和最小 值分别是 ,M m ，则 log logt tM m 的值为 A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】B 【解析】由题意，得   sin ( 1)cos t xf x tt x   表示单位圆上动点  cos ,sinA x x 和单位圆外一点  ,B t t  的连线的斜率 k ，当直线 AB 与圆 2 2 1x y  相切时，斜率 k 取得最大值和最小值，设切线方程为  y t k x t   ，即 0kx y kt t    ，则 2 1 1 kt td k    ，即 2 2 2 21 2 1 0t k t k t     的两根分别 为 ,M m ，则 1Mm  ，即 log log log log 1 0t t t tM m Mm    ；故选 B． 点睛：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用 的有： y b x a   表示过点 ,x y 和点 ,a b 的直线的斜率，   2 2x a y b   表示点 ,x y 和点  ,a b 的距 离的平方． 【例 17】函数 2 2( ) log log (2 )f x x x  的最小值为___________． 【答案】 1 4  【解析】       2 2 2 2 2 2 2 1 1 1log 2 log 1 log log log2 2 4f x x x x x x               ， 所以，当 2 1log 2x   ，即 2 2x  时，  f x 取得最小值 1 4  ． 【例 18】【2018 海南模拟】已知 1x ，则 xx 27log9log  的最小值是_______． 【答案】 3 62 【 名 师 点 睛 】 与 对 数 相 关 的 函 数 的 最 值 （ 值 域 ） 的 常 见 三 种 求 法 ：（ 1 ） 对 形 如 2( ) [log ] loga af x a x b x c   的函数的最值（值域）问题，可通过换元，然后配方求解，但需注意新 的变量范围；（2）直接利用对数函数的单调性求解，但需注意底数与单调性的关系；（3）形如 log loga a by a x cx    可考虑利用基本不等式求解． 【跟踪练习】 1．【2018 江苏南师附中等四校高三联考】若函数       2,log 2,)2 1()( 3 xx xxf a x （ ,0a 且 1a ）的值域是 ),2[  ， 则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 ]2,1( 【解析】当 2x 时， 2)2 1()( 32  xf ，即函数的值域为 ),2[  ；当 2x 且 1a 时， 2log)( axf  ， 即函数的值域为 ),2(log a ，由 ),2[),2(log a ，得 22log a ，解得 21  a ；若 2x 且 10  a 时， 2log)( axf  ，与题设不符，所以实数的取值范围是 21  a ，即 ]2,1( ． 【易错点晴】本题属于一道逆向型的问题，中档偏难题．解题时一定要注意对底数 a 进行分类．解题过程 中还运用了函数值域内中的一个重要性质 ),2[),2(log a ，并以此为基点建立不等式求出了参数 a 的取值范围．解本题的关键是如何理解题设中“值域为 ),2[  ”并能建立等价的不等式． 2．【2018 江苏扬州模拟】若函数 2( ) log ( 1)( 0af x x ax a     且 1)a  有最大值，则实数 a 的取值范 围是___________． 【答案】 (2, ) 【易错指导】（1）注意真数对应的二次函数的开口方向；（2）注意函数为复合函数，解答时注意利用单 调性的复合规律求解；（3）注意定义域要求． 考向 7 指数函数的图象过定点 【例 19】函数 log ( 3) 1( 0,ay x a    且 1)a  的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 1 0mx ny   上， 其中 m ， n 均大于 0，则 1 2 m n  的最小值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【 解 析 】 根 据 题 意 ， 有 ( 2, 1)A   ， 所 以 有 2 1m n  ， 所 以 1 2 1 2 4( )(2 ) 4 n mm nm n m n m n        44 2 8n m m n     ，故选 C． 【方法提炼】因为指数函数 log ( 0, 1)ay x a a   恒过定点，则函数 log ( ) ( 0, 1)ay m f x n a a    所 过的定点可令 ( ) 1f x  求得横坐标，而纵坐标为 n ，由此可得定点坐标． 【例 20】【2017 陕西西安一模】函数 过定点 ，且角 的终边过点 ，则 的值为（） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【跟踪练习】 1．函数    log 2 1 0 1ay x a a   且 恒过定点． 【答案】 3 ,1 【解析】当 3x  时， 1y  ，故函数    log 2 1 0 1ay x a a   且 恒过定点 3 ,1 ． 2．【2017 广东揭阳模拟】若函数 f（x）=3ax﹣k+1（a＞0，且 a≠1）过定点（2，4），且 f（x）在定义域 R 内是增函数，则函数 g（x）=loga（x-k）的图象是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】  f x 函数图象过定点 2,4 ，则 2k  ，在定义域内为增函数，可知 1a  ．则原函数为    log 2ag x x  ．其定义域为 2, 且函数为增函数．故选 A ． 考向 8 对数型函数的图象识别 【例 21】函数 )1ln()( 2  xxf 的图象大致是（ ） （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数解析式可知 )()( xfxf  ，即函数为偶函数，排除 C；由函数过 )0,0( 点，排除 B，D， 故选 A． 【题型归纳】对对数函数的图象识别考查主要有两种题型：（1）根据对数函数的图象确定相关参数的值 或函数的解析式；（2）根据函数的解析式确定对应的函数的图象． 【例 22】【201 海南海南中学、文昌中学下学期联考】函数   af x x 满足  2 4f  ，那么函数    log 1ag x x  的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】C 【跟踪练习】 1．已知函数 log ( )( ,ay x c a c  为常数，其中 0a  且 1a  ）的图象如图，则下列结论成立的是（ ） A． 1, 1a c  B． 1,0 1a c   C． 0 1, 1a c   D．0 1,0 1a c    【答案】D 【解析】由图可知， log ( )ay x c  的图象是由 logay x 的图象向左平移 c 个单位而得到的，其中 0 1c  ，再根据单调性易知 0 1a  ，故选 D． 2．【2017 江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）第三次调研】如图，已知正方形 的边长为 2， 平行于 轴，顶点 ， 和 分别在函数 ， 和 的图象上， 则实数 的值为__________． 【答案】 考向 9 对数函数图象的应用 【例 23】函数 0.5( ) 2 | log | 1xf x x  的零点个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 0.5( ) 2 | log | 1xf x x  的零点，即为方程 0.52 | log | 1x x  的根，亦即为函数 0.5| log |y x 与 1( )2 xy  函 数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数 1( )2 xy  与 0.5| log |y x 的图象，由图象可知零点个数为 2 个，选 B． 【技巧点拨】在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要 利用数形结合的思想来解决． 【例 24】【2018 湖北华师一附中 9 月调研】使  2log 1x x   成立的 x 的取值范围是___________ 【答案】（-1，0） 【解析】在同一坐标系中分别画出函数  2logy x  和 1y x  的图象（如图所示），由图象，得使  2log 1x x   成立的 x 的取值范围是 1,0 ；故填  1,0 ． 【例 25】【2017 重庆 4 月调研】设函数   2 2 log , 12{ 1 4 2 , 13 3 3 x x f x x x x            ，若  f x 在区间 ,4m 上的 值域为 1,2 ，则实数 m 的取值范围为__________． 【答案】 8, 1  【解析】 【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题．函数图象是函数的一 种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来， 图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集； 4、研究函数性质． 【跟踪练习】 1．【2018 河南郑州一中上学期入学考试】设函数   2 2 1 2 2, 0{ 2 log , 0 x x xf x x x     ，若关于 x 的方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则 1 2 2 4 3 4 1x x x x x   的取值范围是（） A． 3,  B． ,3 C． 3,3 D． 3,3 【答案】D 点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结 合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及 4x 的取值范围． 2．【2017 湖南雅礼中学高三下学期月考五】若 1x 满足 522  xx ， 2x 满足 5)1(log22 2  xx ，则  21 xx （） A． 2 5 B．3 C． 2 7 D． 4 【答案】C 【解析】 xx 252  ， xx 25)1(log2 2  ，即 xx  2 52 1 ， xx  2 5)1(log2 ，作出 12  xy ， xy  2 5 ， )1(log2  xy 的图象（如图）．由图知 12  xy 与 )1(log2  xy 的图象关于 1 xy 对称， 它们与 xy  2 5 的交点 A 、 B 的中点为 xy  2 5 与 1 xy 的交点 C ， 4 7 2 21  xxxC ，∴ 2 7 21  xx ，故选 C． 【方法点晴】本题主要考查的是指数函数图象、对数函数图象及图象之间的关系，属于中档题．本题通 过化方程解为两函数图象交点问题，将求解方程根的和的问题，转化为直线与指数函数图象、对数函数 图象交点横坐标之和的问题．本题利用互为反函数的图象关于直线 y x 对称，又 5 2y x  与对称轴垂 直，可知 5 2y x  与两函数图象交点的中点在直线 y x 上，从而求出两交点横坐标之和． 3．【2016 高考天津卷】已知函数 2 (4 3) 3 , 0( ) ( 0 1) log ( 1) 1, 0a x a x a xf x a a x x           且 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| ( )| 2 3 xf x   恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是_________． 【答案】 1 2[ , )3 3 相等的实数解，则函数 | ( ) |y f x 与函数 23 xy    的图象有两个不同的交点，如图所示，则由图可知 3 2 1 1 6 a a    ，解得 1 2 7 3a  ，因此 a 的取值范围是 1 2[ , )3 3 ． 考向 10 对数方程的解法 【例 26】【2015 高考上海理】方程    1 1 2 2log 9 5 log 3 2 2x x     的解为___________． 【答案】 2 【 解 析 】 设 13 ,( 0)x t t   ， 则 2 2 2 2log ( 5) log ( 2) 2 5 4( 2) 0t t t t         2 4 3 0t t    ， 15 3 3 3 1 1 2xt t x x          ． 【方法点拨】对数方程的最基本的法则是首先统一底数，然后根据方程的特征利用对数的运算性质，结 合对数相等，真数相等去掉对数符号，或通过换元去掉对数符号，转化为代数方程后，利用代数的方法 求求解，最后回代验证即可． 【例 27】【2017 河南安阳二模】已知函数 ， ． （Ⅰ）若 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围； （Ⅱ）证明： ． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析． 令 ，得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 上的最大值为 ． 又 ， ，所以 的取值范围为 ． （Ⅱ） ，即 ，等价于 ， 设 ，则 ， 所以当 时， ， 单调递减；当 时， 单调递增． 所以 在 上的最小值为 ． 设 ，则 ， 所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以 在 上的最大值为 ． 因为 ，所以 ，故 ． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）的有效而重要的工具，求解本题的第一问时，依据题设 条件将方程问题转化为函数问题，再构造函数运用导数知识分析求解而获解；解答第二问时，则首先将 不等式进行等价转化，然后再构造函数运用导数知识及转化化归的思想方法进行分析推证，从而使得问 题简捷、巧妙获证． 【例 28】【2017 重庆上学期第一次诊断模拟】已知函数    ln ,f x x ax b a b R    有两个不同的零点 1 2,x x ．  I 求  f x 的最值；  II 证明： 1 2 2 1x x a   ． 【答案】（1）  max ln 1f x a b    ，无最小值（2）见解析 【解析】试题分析：（1）求出导函数   1'f x ax   ，    10 ,f x x f xa     在 10, a      上单增， 1 ,a     上单减，  max 1 ln 1f x f a ba          ，无最小值；（2）通过 1 1 2 2 0{ 0 lnx ax b lnx ax b       ，两式 相减化为 1 2 1 2 ln x xa x x   ，故要证 1 2 2 1x x a  ，即证 1 1 2 2 2 1 2ln 2x x x x x x    ，不妨设 1 2x x ，令  1 2 0,1x tx   ， 则只需证 2 1ln 2t t t    ，构造函数   2 1ln 2g t t t t     ，通过函数的导数以及函数的单调性求解最值 即可．  II 由题知 1 1 2 2 0{ 0 lnx ax b lnx ax b       ，两式相减得  1 1 2 2 ln x a x xx   ，即 1 2 1 2 ln x xa x x   故要证 1 2 2 1x x a   ，即证  2 1 2 1 2 2 1 2 ln x xx x x x   ，即证  2 1 22 1 1 2 2 1 2 2 1 ln 2x xx x x x x x x x    不妨设 1 2x x ，令  1 2 0,1x tx   ，则只需证 2 1ln 2t t t    设   2 1ln 2g t t t t     ，则   2 12ln1 12 ln 1 t t tg t tt t t       设   12lnh t t t t    ，则    2 2 1 0,th t t     h t 在 0,1 上单减，    1 0h t h   ，  g t 在 0,1 上单增，    1 0g t g   ，即 2 1ln 2t t t    在  0,1t  时恒成立，原不等式得证． 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题．不等式证明问题是 近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型 题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已 证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明． 【例 29】【2018 浙江嘉兴一中模拟】已知 ，函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围； （3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取 值范围． 【答案】(1） ；(2) ；（3） ． 时，则 ，故有 ，判断出函数的单调性，可设函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，令其两者之差不小于 列出不等式，解不等式即可． 试题解析：（1）由 ，得 ， 解得 ． （2） ， ， 当 时， ，经检验，满足题意． 当 时， ，经检验，满足题意． 当 且 时， ， ， ． 是原方程的解当且仅当 ，即 ； 是原方程的解当且仅当 ，即 ． 于是满足题意的 ． 综上， 的取值范围为 ． （3）当 时， ， ， 所以 在 上单调递减． 函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ． 即 ，对任意 成立．因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时， 有最小值 ，由 ，得 ．故 的取值范围为 ． 【跟踪练习】 1．【2017 黑龙江哈尔滨三中二模】已知函数  f x kx 21 x ee      ，与函数   21 x g x e      ，若  f x 与  g x 的图象上分别存在点 ,M N ，使得 MN 关于直线 y x 对称，则实数 k 的取值范围是（）． A． 1 ,ee     B． 2 ,2ee     C． 2 ,2ee     D． 3,3ee     【答案】B 2．【2017 安徽江南十校高三 3 月联考】已知函数 ，函数 ． （Ⅰ）若曲线 与直线 相切，求 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明： ； （Ⅲ）若函数 与函数 的图象有且仅有一个公共点 ，证明： ． 【答案】（I） ；（II）详见解析；（III）详见解析． 试题解析： 解：（Ⅰ）设曲线 在 点处切线是 ，则 由于 所以 ， 由题意知： ，于是 ． （Ⅱ）令 ， 当 时， ，所以 ， 即 ，当 时， ，所以 ， 即 ，于是 在（0，1）单调递减， 单调递增， 其最小值是 ，所以 ，于是原不等式成立． （Ⅲ）令 ， 则函数 与函数 的图象有且仅有一个公共点 等价于函数 有且只有一个零点 ， ， 注意到 为 上的增函数且值域为 ， 所以 在 上有唯一零点 ， 且 在 上为负， 上为正，所以 为极小值， 又函数 有唯一零点 ，结合 的单调性知 ， 所以 ，即 ， 即 ， 即 ．令 ， 显然， 是 的零点， ， 在（0，1）上为正， 上为负，于是 在 上单调递减， 注意到 ， 所以 在（1，2）内有一个零点，在 内无零点， 所以 的零点一定小于 ，从而函数 与函数 的图象有且仅有一个公共点 时一定有 ． 点睛：本题以含参数的两个函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的 单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件，运用导数的几何意义建 立方程使得问题获解；第二问的求解则是将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推 证从而获解；第三问求解时先构造函数，进而运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分 析探求，进而使得问题获解． 3．【2018 甘肃通渭二中上学期第一次月考】函数 f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）． （1）求方程 f（x）=0 的解； （2）若函数 f（x）的最小值为﹣1，求 a 的值． 【答案】（1） 1 3x    （2） 1 4 试题解析：（1）要使函数有意义，则有 ，解得：﹣3＜x＜1， 函数可化为 由 f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1 即 x2+2x﹣2=0， 解得 1 3x    或 1 3x    ．满足﹣3＜x＜1． ∴方程   0f x  的解为 1 3x    ． （2） ， ∵ 3 1x   ， ∴  0 1 4 4x     ， ∵ 0 1a  ， ∴  log 1 4 log 4a ax      ． 由题意可得 log 4 1a   ， 解得 1 4a  ，满足条件． ∴ 1 4a  ． 即 a 的值为 1 4 ． 点睛：解决对数型函数的有关问题时，要注意以下几点：（1）函数的定义域；（2）底数与 1 的大小关系； （3）如何将函数解析时变形，并确保变形的等价性；（4）复合函数是怎样构成的，即它是由哪些基本初 等函数复合而成的． 4．【2017 重庆巴蜀中学模拟】已知函数 为 上的偶函数， 为 上的奇函数，且 ． （1）求 的解析式； （2）若函数 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） 或 ． 【解析】 （2）由 ． 得： ， 令 ，则 ，即方程 ……（*）只有一个大于 0 的根， ①当 时， ，满足条件； ②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则 ，∴ ， ③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则 ，∴ ， （舍去）， 时， ，综上： 或 ．