2019届二轮复习函数的图像与性质学案（全国通用）
函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．
预计2017年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．
1．函数
(1)映射：集合A(A中任意x)集合B(B中有唯一y与A中的x对应)．
(2)函数：非空数集A―→非空数集B的映射，其三要素：定义域A、值域C(C⊆B)、对应法则f.
①求函数定义域的主要依据：
(Ⅰ)分式的分母不为零；
(Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零；
(Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
(Ⅴ)正切函数y＝tanx中，x的取值范围是x∈R，且x≠kπ＋，k∈ .
②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法． 学 -
③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y轴上的正投影对应函数的值域．
2．函数的性质
(1)函数的奇偶性
如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1
f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
(4)最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M (或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
(2)利用基本函数图象的变换作图
①平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－h)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
③对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝f(2a－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.
高频考点一 函数的概念及表示
例1、（2018年江苏卷）函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
【变式探究】(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：通解：(讨论a的取值，计算f(a)，并求a)
当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，即log2(a＋1)＝3，得a＋1＝23＝8，∴a＝7，此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.故选A.
优解：(根据分段函数值域，确定a的范围)
∵2x－1＞0，∴当x≤1时，2x－1－2＞－2，故a＞1.
∴－log2(a＋1)＝－3，∴a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
答案：A
(2)设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是( )
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：优解：(数形结合法)
因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，
所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象如图所示，由于函数g(x)是二次函数，值域不会是选项A，B，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．故选C.
答案：C
【方法规律】1．(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法．学 +
2．求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如y＝(c≠0)的值域，常把其分子分离成不含自变量x的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如y＝x＋(k＞0)的值域，常用基本不等式求解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域．
【变式探究】设函数f(x)＝f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：通解：选C.∵－2＜1，∴f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝3；
∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝9.
优解：由f(－2)＝3，∴f(－2)＋f(log212)＞3排除A.
由于log212＞1，要用f(x)＝2x－1计算，则f(log212)为偶数，∴f(－2)＋f(log212)为奇数，只能选C.
高频考点二 函数的图象及应用
例2、（2018年浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.
【变式探究】【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时， ，故排除D；当时， ，故排除A．故选C．
【变式探究】(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y
1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：(利用图象的对称性求解)
因为f(－x)＝2－f(x)，
所以f(－x)＋f(x)＝2.
因为＝0，＝1，
所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．
函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．
所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，
…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，
所以i＝0，i＝2×＝m，
所以(xi yi)＝m.故选B.
答案：B
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．
∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
答案：D
【方法技巧】识别函数图象的方法
基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(
其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法．
【变式探究】如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
高频考点三 函数性质的应用
例3、（2018年全国卷Ⅱ）若在是减函数，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。
【变式探究】【2017北京，文5】已知函数，则
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
【变式探究】(1)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：通解：利用函数性质去掉“f”得一般不等式求解．
函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)，所以|x|＞|2x－1|，解得＜x＜1，故选A.
优解：(特值验证法)
∵当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
取x＝，有f＞f适合不等式，再取x＝1有f(1)＞f(2×1－1)不适合不等式，故选A.
答案：A
(2)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
解析：通解：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解．
对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错．对于选项B，abc＜bac⇔c＜，又y＝x是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.
优解：取特殊值验证．令a＝4，b＝2，c＝可逐渐排除．选C.
答案：C
【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法．
2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)
的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)cb
【答案】B
【解析】对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数
改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
2.【2016高考新课标1文数】函数在的图像大致为（ ）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【解析】函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.
3. 【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D）
【答案】D
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
4. 【2016高考新课标2文数】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则（ ）
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
【答案】B
【解析】因为都关于对称，所以它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，因此选B.
5. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．
6.【2016高考浙江文数】函数y=sinx2的图象是（ ）
【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.
7.【2016高考浙江文数】已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
当时，，，
当时，，
观察各选项可知选D.
8.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知，最小值为.
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；学
当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．
9.【2016高考浙江文数】已知函数满足：且.（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】B
【解析】可设，则f（x）满足题意.
易知但1＞−5,排除A. 但2＜3,排除C.
排除D.
10.【2016高考北京文数】已知，，若点在线段上，则的最大值为（ ）
A.−1 B.3 C.7 D.8
【答案】C
【解析】由题意得，AB：，
∴，当时等号成立，即的最大值为7，故选C.
11.【2016高考北京文数】下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由在上单调递减可知D符合题意，故选D.
12.【2016高考上海文 】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以
是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D.
13.【2016高考四川文 】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【答案】-2
14.【2016高考上海文 】已知点在函数的图像上，则.
【答案】
【解析】将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.
15.【2016高考浙江文数】设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a= ，b= ．
【答案】－2；1．
【解析】，
，
所以，解得
16.【2016高考山东文数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于
x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得
1.【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
(A)y＝sin(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)
(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx
【答案】B
【解析】A、B、C的周期都是π，D的周期是2π
但A中，y＝cos2x是偶函数，C中y＝sin(2x＋)是非奇非偶函数
故正确答案为B
2.【2015高考天津，文7】 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由 为偶函数得,所以
, ,所以,故选B.
3.【2015高考陕西，文9】 设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】
【解析】，
又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；是增函数.
故答案选
4.【2015高考山东，文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )
（A）( ) (B)() （C） （D）
【答案】
【解析】由题意，即所以，，由得，故选.
5.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．
6.【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
7.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D．
8.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A）y=lnx （B） （C）y=sinx （D）y=cosx
【答案】D
9.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数，其中为实数.
（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.
【解析】（1）当时，，显然是奇函数；
当时，，，且，
所以此时是非奇非偶函数.
（2）设，
则
因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，即，
故函数在上单调递增.
10．【2015高考浙江，文5】函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
11.【2015高考安徽，文10】函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A）a>0，b<0，c>0，d>0
（B）a>0，b<0，c<0，d>0
（C）a<0，b<0，c<0，d>0
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
【答案】A
【解析】由函数的图象可知，令
又，可知是的两根
由图可知
∴；故A正确.
1．（2014·安徽卷）设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
【答案】A 【解析】由已知可得，f＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin ＋sin＝sin＝.
2．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
3．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；
当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；
当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
4．（2014·江西卷）函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】C 【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0.
5．（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C 【解析】根据题意得，解得故选C.
6．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
7．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D
8．（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝ ．
【答案】1 【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
9．（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④ 【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．
易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
10．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…
为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－20，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；
当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
12．（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】C 【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
13．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)
是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
14．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是 ．
【答案】(－1，3) 【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－20，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A B
C D
【答案】B
16．（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；
当a20)，g(x)＝logax的图像可能是( )
A B
C D
图12
【答案】D 【解析】 只有选项D符合，此时0
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