【物理】2020届一轮复习人教版第九章第3节带电粒子在复合场中的运动学案
第 3 节 带电粒子在复合场中的运动
考点 1 ► 带电粒子在组合场中的运动 【p168】
夯实基础
1．复合场的两种形式
(1)组合场
电场或磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域分时间段或分小区域交替出现．
(2)叠加场
电场、磁场、重力场并存或其中某两种场共存．
2．三种场力的分析与比较
种类比较量 电场力 洛伦兹力 重力
力的
大小
①FE＝qE
②与电荷的运动状态
无关．某电荷在匀强
电场中所受电场力为
恒量
①电荷静止或运动方
向与磁场方向平行，
不受洛伦兹力
②电荷运动方向与磁
场方向垂直，洛伦兹
力最大，FBm＝qBv
①G＝mg
②与带电体的运动状
态无关
力的
方向
正电荷受力方向与 E
方向相同，负电荷受
力方向与 E 方向相反
FB 方向垂直于 B、v 所
决定的平面，分清正、
负电荷后应用左手定
则确定 FB 的指向
总是竖直向下
做功
特点
做功多少与路径无
关，只与电场中两点
间电势差有关：W＝
qU.电场力做正功，电
荷电势能减少
洛伦兹力对电荷不做
功，不能改变电荷速
度的大小
做功多少与路径无
关，只取决于始、末
位置的高度差：W＝mg
Δh，重力做正功，重
力势能减少
3.带电粒子在组合场中的运动
(1)带电粒子在匀强电场中只受电场力作用时可做匀变速直线运动、匀变速曲线运动，在点电荷电场
中可做匀速圆周运动．
(2)带电粒子在匀强磁场中可做匀速直线运动(v∥B)、可做匀速圆周运动(v⊥B)或匀速螺旋线运动(v
与 B 既不垂直，又不平行)
4．“磁偏转”和“电偏转”的差别
电偏转 磁偏转
偏转条件
带电粒子以 v⊥E 进入匀强
电场
带电粒子以 v⊥B 进入匀强磁
场
受力情况 只受恒定的电场力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
物理规律 类平抛知识、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式
基本公式 L＝vt，
y＝1
2
at2，
a＝qE
m
，
tan θ＝at
v
(θ是末速度方向
与初速度方向的夹角)
r＝mv
qB
，T＝2πm
qB
，t＝θT
2π
考点突破
例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 内，第Ⅰ象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以 ON 为直
径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带
正电的粒子，从 y 轴正半轴上 y＝h 处的 M 点，以速度 v0 垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上 x＝2h 处的 P 点
进入磁场，最后以速度 v(未知)垂直于 y 轴射出磁场．不计粒子重力．求：
(1)电场强度大小 E；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径；
(3)粒子离开磁场时的位置坐标．
【解析】(1)在电场中粒子做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为 t1，
则有 2h＝v0t1 ①
h＝1
2
at2
1 ②
根据牛顿第二定律得：qE＝ma ③
联立①②③式得：E＝mv2
0
2qh
④
(2)由题意可知，粒子进入磁场时速度也为 v，根据动能定理得：qEh＝1
2
mv2－1
2
mv2
0 ⑤
再根据 qvB＝mv2
r
⑥
联立④⑤⑥式得：v＝ 2v0，r＝ 2mv0
qB
(3)如图，设粒子离开磁场时的位置坐标为(x、－y)，粒子进入磁场时速度 v，与 x 轴正方向的夹角为
θ，由图可得：cos θ＝v0
v
＝ 2
2
⇒θ＝45°
所以 x＝2h－rcos 45°＝2h－mv0
qB
y＝r＋rsin 45°＝（1＋ 2）mv0
qB
.
∴粒子离开磁场时的位置坐标为
[2h－mv0
qB
，－（1＋ 2）mv0
qB
]
【小结】1.组合场一般是指由电场和磁场或磁场和磁场组成，它们互不重叠，分别位于某一直线边界
两侧的情况．
2．在这类问题中，粒子在某一场中运动时，通常只受该场对粒子的作用力．
3．处理该类问题的方法
(1)分析带电粒子在各种场中的受力情况和运动情况，一般在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速
圆周运动．
(2)正确地画出粒子的运动轨迹图，在画图的基础上特别注意运用几何知识，寻找关系．
(3) 选择物理规律，列方程．对类平抛运动，一般分解为初速度方向的匀速运动和垂直初速度方向的
匀加速运动；对粒子在磁场中做匀速圆周运动，应注意洛伦兹力提供向心力这一受力特点．
(4)注意确定粒子在组合场交界位置处的速度大小与方向．该速度是联系两种运动的桥梁．
针对训练
1．一重力不计的带电粒子以初速度 v0(v0
W2
C．一定是 W1W2，也可能是 W10 表示电场方向竖直向上．t＝0 时，一
带正电、质量为 m 的微粒从左边界上的 N1 点以水平速度 v 射入该区域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整
的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 N2 点．Q 为线段 N1N2 的中点，重力加速度为 g.上述 d、E0、m、v、
g 为已知量．
(1)求微粒所带电荷量 q 和磁感应强度 B 的大小．
(2)求电场变化的周期 T.
【解析】(1)微粒做直线运动，则有
mg＋qE0＝qvB①
微粒做圆周运动，则有
mg＝qE0②
联立①②式解得
q＝mg
E0
③
B＝2E0
v
④
(2)设微粒从 N1 运动到 Q 的时间为 t1，做圆周运动的周期为 t2，则
d
2
＝vt1⑤
qvB＝mv2
R
⑥
2πR＝vt2⑦
联立③④⑤⑥⑦式解得
t1＝ d
2v
，t2＝πv
g
⑧
电场变化的周期
T＝t1＋t2＝ d
2v
＋πv
g
考 点 集 训 【p330】
A 组
1．有一个带电荷量为＋q、重力为 G 的小球，从两竖直的带电平行板上方 h 处自由落下，两极板间另
有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向如图所示，则带电小球通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的
是(A)
A．一定做曲线运动
B．不可能做曲线运动
C．有可能做匀加速直线运动
D．有可能做匀速直线运动
【解析】若小球进入磁场时电场力和洛伦兹力相等，因为小球向下运动时，速度会增加，小球所受的
洛伦兹力增大，将不会再与小球所受的电场力平衡，不可能做匀加速直线运动，也不可能做匀速直线运动，
故 C、D 错误．若小球进入磁场时电场力和洛伦兹力不等，则合力方向与速度方向不在同一条直线上，小
球做曲线运动，故 A 正确；B 错误．
2．如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的
速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为 A、B 两束，下列说法正确的是(C)
A．组成 A 束和 B 束的离子都带负电
B．组成 A 束和 B 束的离子质量一定不同
C．A 束离子的比荷大于 B 束离子的比荷
D．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外
【解析】由左手定则知，A、B 离子均带正电，A 错误；两束离子经过同一速度选择器后的速度相同，
在偏转磁场中，由 R＝mv
qB
可知，半径大的 B 束离子对应的比荷小，但离子的质量不一定相同，故选项 B 错
误，C 正确；速度选择器中的磁场方向应垂直纸面向里，D 错误．
3．如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)．一带正电小球从 O
点静止释放，运动轨迹为图中 OPQ 所示，其中 P 为运动轨迹中的最高点，Q、O 在同一水平线上，下列关于
该带电小球运动的描述，正确的是(A)
A．小球在运动过程中受到的磁场力先增大后减小
B．小球在运动过程中电势能先增加后减少
C．小球在运动过程中机械能守恒
D．小球到 Q 点后将沿着 QPO 轨迹回到 O 点
【解析】小球由静止开始运动，可知电场力大于重力，在运动的过程中，洛伦兹力不做功，电场力和
重力的合力先做正功，后做负功，根据动能定理知，小球的速度先增大后减小，则小球受到的磁场力先增
大后减小，故 A 正确．小球在运动的过程中，电场力先做正功，再做负功，则电势能先减小后增加，故 B
错误．小球在运动的过程中，除重力做功以外，电场力也做功，机械能不守恒，故 C 错误．小球到 Q 点后，
会重复之前的运动，不会沿着 QPO 轨迹回到 O 点，故 D 错误．
4．(多选)如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系 Oxyz(z 轴正方向竖直向
上)，一质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球从原点 O 以速度 v 沿 x 轴正方向出发．下列说法正确的是(BD)
A．若电场、磁场均沿 z 轴正方向，小球可能做匀速直线运动
B．若电场、磁场分别沿 z 轴正方向和 x 轴正方向，小球可能做匀速直线运动
C．若电场、磁场分别沿 z 轴正方向和 y 轴负方向，小球不可能做匀速直线运动
D．若电场、磁场分别沿 y 轴负方向和 z 轴正方向，小球不可能做匀速圆周运动
【解析】若电场、磁场均沿 z 轴正方向，则小球受沿 y 轴正向的洛伦兹力、沿 z 轴向上的电场力以及
向下的重力，三力不可能平衡，则小球不可能做匀速直线运动，选项 A 错误；若电场、磁场分别沿 z 轴正
方向和 x 轴正方向，则有带正电粒子所受到的电场力方向沿 z 轴正方向，由于运动方向与磁场方向平行，
所以不受洛伦兹力，因此当电场力等于重力时，粒子可能做匀速直线运动；当电场力不等于重力时，粒子
做曲线运动，故 B 正确；若电场、磁场分别沿 z 轴正方向和 y 轴负方向，则电场力沿 z 轴正方向，洛伦兹
力根据左手定则可得也沿 z 轴正方向，所以当电场力与洛伦兹力之和等于重力时，小球做匀速直线运动，
选项 C 错误；若电场、磁场分别沿 y 轴负方向和 z 轴正方向，则电场力沿 y 轴负方向，而洛伦兹力沿 y 轴
正方向，不可能做匀速圆周运动，故 D 正确．
5．(多选)如图所示，平行板电容器竖直放置，右侧极板中间开有一小孔，两极板之间的距离为 12 cm，
内部电场强度大小为 10 N/C；极板右侧空间有磁感应强度大小为 0.5 T 的匀强磁场．一比荷为 1.6×102 C/kg
的带负电粒子，从电容器中间位置以大小为 8 m/s 的初速度平行于极板方向进入电场中，经过电场偏转，
从电容器右极板正中间的小孔进入磁场，不计带电粒子的重力及空气阻力．下列说法正确的是(ABD)
A．电容器极板长度为 8 3×10－2 m
B．粒子进入磁场时的速度大小为 16 m/s
C．粒子进入磁场时速度与水平方向夹角为 60°
D．粒子在磁场中的运动时间为 π
120
s
【解析】带电粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向：1
2
L＝v0t；水平方向：1
2
d＝1
2
·Eq
m
t2，解得 L
＝8 3×10－2 m，选项 A 正确；粒子进入磁场时水平速度：vx＝ 2Eq
m
·d
2
＝8 3 m/s，则粒子进入磁场时
的速度大小为 v＝ v2
0＋v2
x＝16 m/s；粒子进入磁场时速度与水平方向夹角为 tan θ＝v0
vx
＝ 3
3
，则θ＝30
°，选项 C 错误；粒子在磁场中转过的角度为 120°，则在磁场中运动的时间 t＝120°
360°
T＝1
3
·2πm
qB
＝ π
120
s，
选项 D 正确．
6．图示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面向下，
通入图示方向的电流 I，C、D 两侧面会形成电势差 UCD，下列说法正确的是(该元件正常工作时，磁场必须
垂直工作面)(B)
A．电势差 UCD 仅与材料有关
B．若霍尔元件的自由电荷是自由电子，则 C 侧的电势低于 D 侧的电势
C．其他条件不变，仅增大匀强磁场的磁感应强度时，电势差 UCD 变小
D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
【解析】根据 C、D 间存在电势差，之间就存在电场，电子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，设
霍尔元件的长宽高分别为 a、b、c，有 qU
b
＝qvB，I＝nqvS＝nqvbc，得：UCD＝ IB
nqc
，n 由材料决定，故 UCD
与材料有关；UCD 还与厚度 c 成反比，与宽度 b 无关，同时还与磁场 B 与电流 I 有关，故其他条件不变，仅
增大匀强磁场的磁感应强度时，电势差 UCD 变大，故 A、C 错误；根据左手定则，电子向 C 侧面偏转，C 表
面带负电，D 表面带正电，所以 D 表面的电势高，则 UCD<0，故 B 正确．在测定地球赤道上方的地磁场强弱
时，应将元件的工作面保持竖直，让磁场垂直通过，故 D 错误．
7．(多选)如图所示，开始静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为 m(不计重力)，从点 P 经电场加速
后，从小孔 Q 进入右侧的边长为 L 的正方形匀强磁场区域(PQ 的连线经过 AD 边、BC 边的中点)，磁感应强
度大小为 B，方向垂直于纸面向外，若带电粒子只能从 CD 边射出，则(AC)
A．两板间电压的最大值 Umax＝25B2L2q
32m
B．两板间电压的最小值 Umin＝25B2L2q
32m
C．能够从 CD 边射出的粒子在磁场中运动的最长时间 tmax＝πm
qB
D．能够从 CD 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间 tmin＝πm
qB
【解析】当粒子从 D 点射出时速度最小，加速电压最小，此时：rmin＝L
4
；Bqvmin＝mv2
min
rmin
；Uminq＝1
2
mv2
min；
联立解得：Umin＝B2L2q
32m
；此时粒子在磁场中运动的时间最长：tmax＝T
2
＝πm
qB
，选项 B、D 错误，C 正确；当粒
子从 C 点射出时速度最大，加速电压最大，此时由几何关系：r2
max＝L2＋
rmax－L
2
2
，解得 rmax＝5L
4
；Bqvmax＝
mv2
max
rmax
；Umaxq＝1
2
mv2
max；联立解得：Umax＝25B2L2q
32m
，选项 A 正确．
8．(多选)如图所示，MN 是纸面内的一条直线，其所在空间充满与纸面平行的匀强电场或与纸面垂直
的匀强磁场(场区都足够大且两种场不会同时存在)，现有一个重力不计的带电粒子从 MN 上的 O 点以水平
初速度 v0 射入场区，下列判断正确的是(ABD)
A．如果粒子回到 MN 上时速度增大，则该空间存在的场一定是电场
B．如果粒子回到 MN 上时速度大小不变，则该空间存在的场可能是电场
C．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到 MN 上时与其所成的锐角夹角不变，则该空间存在的
场一定是磁场
D．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到 MN 上所用的时间不变，则该空间存在的场一定是磁
场
【解析】电场力可以做功，洛伦兹力不做功，速度增大，故是电场，故 A 正确；如果粒子回到 MN 上
时速度大小不变，可能是磁场，也有可能是电场，物体做类似上抛运动，抛出点和落回点在同一等势面上，
故 B 正确；如果是磁场，粒子做匀速圆周运动，粒子再回到 MN 上时与其所成的锐角夹角不变；如果是电
场，当电场力竖直向下时，粒子再回到 MN 上时与水平方向所成的锐角夹角的正切等于位移方向与水平方
向夹角正切的 2 倍，也不变；故 C 错误；若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到 MN 上所用的时间
不变，粒子只能是在磁场中运动，t＝ θ
360°
T＝θm
qB
，与速度无关，故 D 正确．
B 组
9．(多选)在竖直放置固定的光滑绝缘圆环中，套有一个带电荷量为－q、质量为 m 的小环，整个装置
放在如图所示的正交匀强电磁场中，磁感应强度大小为 B，电场 E＝3mg
4q
，重力加速度为 g.当小环从大环顶
端无初速度下滑时，则小环(BD)
A．运动到最低点的速度最大
B．不能做完整的圆周运动
C．对轨道最大压力为 N＝23
4
mg
D．受到的最大洛伦兹力 f＝3
2
qB 2gR
【解析】将重力与电场力合成为一个等效“重力”，其大小为 5
4
mg，方向如图所示，故小环运动到等
效最低点时速度最大，A 错；根据能量守恒小环不能运动到等效最高点的位置，B 错；根据动能定理有 5
4
mg(R
＋Rsin θ)＝1
2
mv2
m，其中θ＝53°，解得 vm＝3
2
2gR，fm＝qvmB＝3
2
qB 2gR，D 对；在等效最低点对轨道压
力最大，此时有 N－5
4
mg－fm＝mv2
m
R
，解得 N＝23
4
mg＋fm，C 错．
10．如图所示，三块等大且平行正对的金属板水平放置，金属板厚度不计且间距足够大，上面两金属
板间有竖直向下的匀强电场，下面两金属板间有竖直向上的匀强电场，电场强度大小均为 E.以中间金属板
的中轴线为 x 轴，金属板右侧存在一范围足够大的匀强磁场，现有一重力不计的绝缘带电粒子，质量为 m，
带电荷量为－q，从中间金属板上表面的电场中坐标位置(－l，0)处以初速度 v0 沿 x 轴正方向开始运动，
已知 l＝mv2
0
qE
，求：
(1)带电粒子进入磁场时的位置坐标(用 l 表示)以及带电粒子进入磁场时的速度大小与方向；
(2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面关于 x 轴与释放点对称的位置，计算匀强磁场的磁感应
强度 B 的大小(用 E、v0 表示)．
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向上有 l＝v0t，竖直方向上有 y＝qE
2m
t2
联立解得 y＝l
2
所以带电粒子进入磁场时的位置坐标为(0，l
2
)，竖直方向速度 vy＝qE
m
t＝v0，设速度方向与 y 轴正方向
夹角为θ，
所以 v2
0＋v2
y＝ 2v0，因为 tan θ＝v0
vy
＝1，所以速度方向与 y 轴正向夹角为 45°.
(2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面与释放点对称的位置，根据对称性可知，它在磁场中做
圆周运动的圆心应在 x 轴上，其部分运动轨迹如图所示．
由几何关系有 r＝ 2y＝ 2l
2
，根据 qvB＝mv2
r
，
联立解得 B＝2E
v0
.
11．如图所示，在互相垂直的水平方向的匀强电场(E 已知)和匀强磁场(B 已知)中，有一固定的竖直
绝缘杆，杆上套一个质量为 m、电量为＋q 的小球，它们之间的动摩擦因数为μ，现由静止释放小球，试
求小球沿棒运动的最大加速度和最大速度 vmax.(重力加速度为 g，mg＞μqE，小球的带电量不变)
【解析】小球在运动过程中受到重力 G＝mg、洛伦兹力 F 洛＝Bqv、电场力 F＝qE、杆对球的摩擦力 Ff
和杆的弹力 FN 的作用，如图所示．
由于 FN＝qE＋Bqv，所以 F 合＝mg－μFN＝mg－μ(qE＋Bqv)．可见随着速度 v 的增大，F 合逐渐减小，
由牛顿第二定律知，小球做加速度越来越小的变加速运动直到最后匀速．故当 v＝0 时，最大加速度 amax＝
mg－μEq
m
＝g－μEq
m
.
当 F 合＝0 时，即 a＝0 时，v 有最大值 vmax，即 mg－μ(qE＋Bqvmax)＝0，所以 vmax＝mg－μEq
μBq
.
12．如图所示，在 x 轴上方有一匀强电场，场强大小为 E，方向竖直向下，在 x 轴下方有一匀强磁场，
磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里．在 x 轴上有一点 P，离原点距离为 a，现有一带电荷量为＋q，质量
为 m 的粒子，从 00 区域，粒子重力不计)
【解析】粒子必须从电场中释放，根据洛伦兹力方向可知释放点必须在 P 点的左侧空间：0
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