【数学】2020届一轮复习（理）人教A版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否
命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充
要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的
语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p
⇒
q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p
⇒
q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q
⇒
p
p 是 q 的充要条件 p
⇔
q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只
否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A
⇒
B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B
⇒
A
且 A B)两者的不同.
3.A 是 B 的充分不必要条件
⇔
綈 B 是綈 A 的充分不必要条件.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”.( )
(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.( )
(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修 2－1P6 练习引申)命题“若α＝π
4
，则 tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠π
4
，则 tan α≠1 B.若α＝π
4
，则 tan α≠1
C.若 tan α≠1，则α≠π
4 D.若 tan α≠1，则α＝π
4
解析 命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，所以该命题的逆否
命题是“若 tan α≠1，则α≠π
4
”.
答案 C
3.(选修 2－1P8AT2(1)改编)“若 a，b 都是偶数，则 ab 必是偶数”的逆否命题为
________.
解析 “a，b 都是偶数”的否定为“a，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定
为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数”.
答案 若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数
4.(2018·天津卷)设 x∈R，则“|x－1
2|<1
2
”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由|x－1
2|<1
2
，得 0
b>c，则 a＋b>c”是假命
题的一组整数 a，b，c 的值依次为________.
解析 a>b>c，取 a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则 a＋b＝－61，则 a2>1”的否命题是“若 a>1，则 a2≤1”
B.“若 am24 x0 成立
D.“若 sin α≠1
2
，则α≠π
6
”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0，2]都成立，则 f(x)在[0，2]
上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)对于选项 A，“若 a>1，则 a2>1”的否命题是“若 a≤1，则 a2≤1”，
A 错；
对于 B 项，若“am23x，C 错；
对于 D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π
6
，则 sin α＝1
2
”是真命题，故原命题是
真命题.
(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在
定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)min＝f(0).
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如 f(x)＝
0，x＝0，
1
x
，00，则 x>a；命题 q：若 m≤a－2，则 ma，则 x>0，故 a≥0.因为命题 q 的逆否命题为真命题，
所以命题 q 为真命题，则 a－2<－1，解得 a<1.则实数 a 的取值范围是[0，1).
答案 (1)D (2)[0，1)
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例 2】 (1)(2018·北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是
“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设函数 f(x)＝
2mx＋1，x≥0，
－x－1
x
，x<0. 则“m>1 是 f[f(－1)]>4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 (1)|a－3b|＝|3a＋b|
⇔
(a－3b)2＝(3a＋b)2
⇔
a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，
又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0
⇔
a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
(2)当 m>1 时，f [f(－1)]＝f
－（－1）－ 1
（－1） ＝f(2)＝22m＋1>4，
当 f[f(－1)]>4 时，f [f(－1)]＝f
－（－1）－ 1
（－1） ＝f(2)＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得 m>1
2.
故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件.
答案 (1)C (2)A
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据 p
⇒
q，q
⇒
p 进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为
其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练 2】(1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线 m，n 满足 m⊄α，n
⊂
α，则“m∥n”
是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·佛山质检)已知函数 f(x)＝3x－3－x，
∀
a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若 m
⊄
α，n
⊂
α，m∥n，由线面平行的判定定理知 m∥α.若 m∥α，m
⊄α，n
⊂
α，不一定推出 m∥n，直线 m 与 n 可能异面，故“m∥n”是“m∥α”
的充分不必要条件.
(2)因为 f(x)＝3x－3－x，
所以 f′(x)＝3xln 3－3－xln 3×(－1)＝3xln 3＋3－xln 3，
易知 f′(x)>0，
所以函数 f(x)＝3x－3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得
“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.
答案 (1)A (2)C
考点三 充分条件、必要条件的应用 典例迁移
【例 3】 (经典母题)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋
m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求实数 m 的取值范围.
解 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S
⊆
P.
∴ 1－m≥－2，
1＋m≤10，
解得 m≤3.
又∵S 为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得 m≥0.
综上，m 的取值范围是[0，3].
【迁移探究 1】 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条
件？并说明理由.
解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.
若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，
∴ 1－m＝－2，
1＋m＝10，
∴ m＝3，
m＝9，
这样的 m 不存在.
【迁移探究 2】 设 p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1
＋m}，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，
p 是 q 的充分不必要条件.
∴p
⇒
q 且 q p，即 P S.
∴ 1－m≤－2，
1＋m>10
或 1－m<－2，
1＋m≥10，
∴m≥9，又因为 S 为非空集合，
所以 1－m≤1＋m，解得 m≥0，
综上，实数 m 的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时
需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之
间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范
围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解
的现象.
【训练 3】 (2018·浏阳三校联考)设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：
实数 x 满足 x2－x－6≤0 或 x2＋2x－8>0.若 a<0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求
实数 a 的取值范围.
解 由 p 得(x－3a)(x－a)<0，当 a<0 时，3a0，则－2≤x≤3 或 x<－4 或 x>2，则 x<－4 或
x≥－2.
设 p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又 p 是 q 的充分不必要条件.
可知 A B，∴a≤－4 或 3a≥－2，即 a≤－4 或 a≥－2
3.
又∵a<0，∴a≤－4 或－2
3
≤a<0，
即实数 a 的取值范围为(－∞，－4]∪ －2
3
，0 .
[思维升华]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结
论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条
件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相
对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、
“逆否命题”.
2.充分、必要条件与集合的关系，p，q 成立的对象构成的集合分别为 A 和 B.
(1)若 A
⊆
B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.
(2)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件.
(3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而
不必要条件是 q”等语言.
基础巩固题组
(建议用时：30 分钟)
一、选择题
1.(2019·河南八市联考)命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B.若 a＋c≤b＋c，则 a≤b
C.若 a＋c>b＋c，则 a>b D.若 a>b，则 a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由 2－x≥0，得 x≤2，由|x－1|≤1，得 0≤x≤2.
当 x≤2 时不一定有 0≤x≤2，而当 0≤x≤2 时一定有 x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
3.设 a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A.ac2>bc2 B.a
b>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
解析 对于选项 A，a>b，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；对于选项 B，a>b，
若 a>0，b<0，则a
b<1，故 B 错；对于选项 C，a>b，则 a－c>b－c，故 C 正确；
对于选项 D，a>b，若 a，b 均小于 0，则 a2b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、
逆否命题中，真命题共有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个
解析 原命题：若 c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；
逆命题为：设 a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则 a>b”.由 ac2>bc2 知 c2>0，∴由不
等式的基本性质得 a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，
∴真命题共有 2 个.
答案 C
6.已知命题 p：x2＋2x－3＞0；命题 q：x＞a，且綈 q 的一个充分不必要条件是
綈 p，则 a 的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由 x2＋2x－3＞0，得 x＜－3 或 x＞1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈
p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a≥1.
答案 A
7.(2017·北京卷)设 m，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”
的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得 m＝λn，则 m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之 m·n＝|m||n|cos
〈m，n〉<0
⇒
cos〈m，n〉<0
⇔
〈m，n〉∈
π
2
，π ，当〈m，n〉∈
π
2
，π 时，m，
n 不共线.故“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0
或 n≠0”
解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0”.若方程有
实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即 m≥－1
4
，不能推出 m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中
后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充
要”“既不充分也不必要”中的一个).
解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼
兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 必要
10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命
题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等价.
解析 ①不正确.由 log2a>0，得 a>1，∴f(x)＝logax 在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为：“若 x＋y 是偶数，则 x，y 都是偶数”，是假命
题，如 1＋3＝4 为偶数，但 1 和 3 均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两
命题等价.
答案 ②④
11.直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点等价于|1－0－k|
2
< 2，
解之得－12S5 等价 d>0，
所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：
x－a
x－a－1
>0，且綈 q 的一个必要不充分条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )
A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)
解析 法一 由 x2＋2x－3>0，得 x<－3 或 x>1.
则綈 p 对应的集合为 A＝{x|－3≤x≤1}.
命题 q：x>a＋1 或 x0}＝{x|x<－3 或 x>1}，
q 对应的集合 D＝ x| x－a
x－a－1
>0 ＝{x|x>a＋1 或 x
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