2018届二轮复习基本不等式及其应用学案(江苏专用)

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文档介绍

2018届二轮复习基本不等式及其应用学案(江苏专用)

专题7.4 基本不等式及其应用 ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A  ‎ B  ‎ C  ‎ 集合 一元二次不等式 ‎ ‎ ‎√‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分别用A、B、C表示).‎ 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题.‎ 理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 线性规划 ‎ √‎ ‎  ‎ 基本不等式 ‎  ‎ ‎ ‎ ‎ √ ‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1.函数y=x+(x>0)的最小值为________.‎ ‎【解析】∵x>0,∴y=x+≥4,当且仅当x=,即x=2时取等号,故函数y=x+(x>0)的最小值为4.‎ ‎2.一段长为‎40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则菜园的最大面积是________.‎ ‎【解析】设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x+y)=40,即x+y=20,∴ 矩形的面积S=xy≤=100,当且仅当x=y=10时,等号成立,此时菜园的面积最大,最大的面积是‎100 m2‎.‎ ‎3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为‎2 m2‎、形状为直角三角形的框架,选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.‎ ‎【解析】设两直角边长分别为a m,b m,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,即ab=4,∴ l=a+b+≥2+=4+2,当且仅当a=b=2时取等号,故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4+2)m.‎ ‎4.建造一个容积为‎8 m3‎,深为‎2 m的长方体无盖水池,若池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低造价为______元.‎ ‎【解析】设水池的总造价为y元,池底长为x m,则宽为 m,由题意可得y=4×120+2×80=480+320≥480+320×2=480+320×2=1760,当且仅当x=,即x=2时,ymin=1760.‎ 故当池底长为‎2 m时,这个水池的造价最低,最低造价为1760元.‎ 题组二 常错题 ‎5.若x>-1,则x+的最小值为________.‎ ‎【解析】x+=x+1+-1≥4-1=3,当且仅当x+1=,即x=1时等号成立.‎ ‎6.已知00.‎ ‎∴-y=-lg x+≥2=4,‎ 当且仅当-lg x=,即x=时,等号成立,‎ ‎∴ymax=-4.‎ ‎7. 函数y=sin x+,x∈的最小值为 _________________________.‎ ‎【解析】当sin x=时,sin x=±2,显然等号取不到,事实上,设t=sin x,则t∈(0,1],y=t+在(0,1]上为减函数,故当t=1时,y取最小值5.‎ 题组三 常考题 ‎8. 设a>0,b>0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是__________.‎ ‎【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax,代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b,由方程组无解得1-ab=0且1-b≠0,所以ab=1且b≠1.由基本不等式得a+b>2=2,故a+b的取值范围是(2,+∞).‎ ‎9.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于________.‎ ‎【解析】依题意有+=1,所以a+b=(a+b)·+=1+++1≥2+2 =4,当且仅当a=b=2时等号成立.10.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为________时,log‎2a·log2(2b)取得最大值.‎ ‎【知识清单】‎ 考点1利用基本不等式证明不等式 如果,那么(当且仅当时取等号“=”)‎ 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).‎ 考点2 利用基本不等式求最值 常见结论:‎ 1、 如果,那么(当且仅当时取等号“=”)‎ 推论:()‎ 2、 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).‎ 推论:(,);‎ ‎3、‎ 考点3 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求解实际应用题的方法 ‎(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.‎ ‎(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 江苏新高考对不等式知识的考查要求较高,整个高中共有8个C能级知识点,本章就占了两个,高考中以填空题和解答题的形式进行考查,涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想,着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查,如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.‎ 基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点,在处理最值时是一种非常行之有效的工具,在使用时一定多观察所给代数式的形式,和基本不等式成立的条件.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1利用基本不等式证明不等式 ‎【1-1】不已知、、都是正数,求证:‎ ‎【答案】∵a>0,b>0,c>0,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴. ‎ ‎【1-2】已知a>0,b>0,c>0,求证:.‎ ‎【1-3】已知a>0,b>0,a+b=1,求证:.‎ ‎【解析】∵,,,‎ ‎∴.同理,.∴‎ ‎=,当且仅当,即时取“=”.‎ ‎∴,当且仅当时等号成立.‎ ‎【思想方法】‎ 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.‎ ‎【温馨提醒】‎ ‎1. 在运用时,注意条件、均为正数,结合不等式的性质,进行变形.‎ ‎2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号.‎ ‎3. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.‎ 考点2 利用基本不等式求最值 ‎【2-1】若log2x+1og2y=1,则x+2y的最小值是________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为log2x+log2y=1,即log2xy=1,所以xy=2且x>0,y>0,于是x+2y≥2=4,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时取等号,所以x+2y的最小值为4.‎ ‎【2-2】设,函数的最小值为    .‎ ‎【答案】 9‎ ‎【2-3】已知,则的最小值是    .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,即,亦即,且,从而,当且仅当,又 ‎,即,时,取得最小值,注意乘“1”法技巧的使用.‎ ‎【2-4】若a>0,b>0,且a+b=2,则ab+的最小值为    .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由2=a+b≥2得00,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是    .‎ ‎【答案】2‎ ‎【思想方法】‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.‎ 注意:形如y=x+(a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解.‎ ‎【温馨提醒】‎ 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.‎ ‎① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;‎ ‎② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;‎ ‎③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.‎ 若使用基本不等式时,等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值.‎ 考点3 基本不等式的实际应用 ‎【3-1】要制作一个容器为4,高为的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元).‎ ‎【答案】88‎ ‎【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.‎ ‎【3-2】如图,在三棱锥PABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥MPAB,三棱锥MPBC,三棱锥MPCA的体积.若f(M)=,且+≥8恒成立,则正实数a的最小值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【3-3】如图,有一块等腰直角三角形的空地,要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地,已知,,绿地面积最大值为    .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,由条件可知和为等直角三角形,所以,‎ ‎.=≥=,即≤4,所以,所以绿地面积最大值为4.‎ ‎【3-4】某汽车运输公司,购买了一批豪华大巴投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数满足,则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大?‎ ‎【答案】5年 ‎【解析】年平均利润为,‎ 当x=5时,f(x)取得最大值,最大值为2万元.‎ ‎【思想方法】‎ 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:‎ ‎(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;‎ ‎(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;‎ ‎(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;‎ ‎(4)正确写出答案.‎ ‎【温馨提醒】‎ 对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型,然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ ‎ 忽视最值取得的条件致误 典例 (1)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.‎ ‎(2)函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________.‎ 易错分析 (1)多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如:1=+≥2,∴≥2,∴x+y≥2≥4,得(x+y)min=4.‎ ‎(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x+≥2.‎ ‎【答案】(1)3+2 (2)1+2 ‎【解析】(1)∵x>0,y>0,‎ 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;‎ ‎(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.‎ ‎2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.‎
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