【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的折叠问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的折叠问题学案

‎ 专题七 解析几何 问题二：立体几何中折叠问题 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. ‎ 二、经验分享 ‎(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点.‎ ‎(2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．‎ ‎(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.‎ 三、题型分析 ‎(一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.‎ ‎1. 折叠后的形状判断 ‎【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ ④ ⑤ ⑥‎ ‎【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.‎ ‎【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】将平面展开图还原成正方体后,三个面内的线段是平行的,故选B.‎ ‎2.折叠后的线面关系 ‎【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是 (　　)‎ 图1　　　　　　　图2‎ A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.‎ ‎【小试牛刀】【2017届浙江省宁波市高三上 期期末】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将沿BF所在直线进行翻折,将沿DE所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）‎ A. 点A与点C在某一位置可能重合 B. 点A与点C的最大距离为 C. 直线AB与直线CD可能垂直 D. 直线AF与直线CE可能垂直 ‎【答案】D ‎【解析】A不正确,点 恒不重合；不成立,点和点的最大距离是正方形的对角线 ；不正确,不可能垂直；.当平面平面时,平面平面,直线和直线垂直,故选D.‎ ‎3.折叠后几何体的数字特征 折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.‎ ‎【例3】（体积问题）如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）当为何值时,取得最大值？‎ ‎【解析】（1）由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,,‎ V(x)=（）‎ ‎（2）,所以时, ,V(x)单调递增；时 ,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值.‎ ‎【小试牛刀】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD中,·=0,沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C,且,则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【例4】（空间角问题）如左图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如右图所示),连结、、,其中.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面； ‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎.‎ ‎.‎ A C D B E F 图 图 A B C D P E F ‎【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,,,‎ 在中,,所以 在图中,易得, ‎ 在中,,所以 ‎ 又,平面,平面,所以平面.‎ ‎ (Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,‎ ‎,,所以,,, ‎ 设平面的法向量为,则,即,解得 令,得,‎ 设直线与平面所成角为,则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. ‎ 方法二:过点作于,‎ 由(Ⅰ)知平面,而平面 所以,又,平面,平面,‎ 所以平面,‎ 所以为直线与平面所成的角. ‎ 在中, ‎ 在中,由等面积公式得 在中,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎【点评】折叠问题分析求解两原则：‎ ‎(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；‎ ‎(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.‎ ‎【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】如图：在直角梯形中,,,于,把沿折到的位置,使,如图,‎ 分别为,的中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求平面与平面的夹角.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）在中,∵,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴面,‎ ‎∵,‎ ‎∴面,∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴面.‎ 建立如图空间直角坐标系,‎ 则,设面的法向量,‎ 则,‎ ‎∴,∴面.‎ ‎（2）由题意知面的法向量,‎ 设平面的法向量,则 ‎,‎ ‎.‎ ‎∴平面与平面的夹角为.‎ ‎ (二) 几何体的展开 几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.‎ ‎1.展开后形状的判断 ‎【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）‎ 解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.‎ ‎【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.‎ ‎【解析】这个展开图是图⑦的情形,题目给出“程”做底面,“似”做前面,显然,“祝”是后面,“前”和 ‎“你”是往右边翻折的,所以“前”是左面,“你”是上面.‎ 因此,依次填：“后面”、“上面”、“左面”.‎ ‎【点评】正方体展开头记忆口诀:正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁;十四条边布周围,十一类图记分明;四方成线两相卫,六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯.对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”. ②在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个.③正方体的展开图不会有"田"字形,"凹"字形的形状.‎ ‎2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题 ‎【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,分别是两底面的直径,是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到点,求小虫爬行的最短路线的长度．‎ ‎【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.‎ ‎【小试牛刀】如图,在长方体中,,求沿着长方体表面从到的最短路线长.‎ 解析：在长方体的表面上从到有三种不同的展开图.‎ ‎（1）将面绕着折起,得到的平面图形如图1所示：‎ 则,,在直角中,.‎ ‎（2）将面绕着折起,得到的平面图形如图2所示：‎ 则,,在直角中,.‎ ‎（3）将面绕着折起,得到的平面图形如图3所示：‎ 则,,在直角中,.‎ 显然,故沿着长方体表面从到 的最短路线长为.‎ 四、迁移运用 ‎1.【2017辽宁省六校协作体下 期期初】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和,,侧面展开图是一个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设,即,所以圆柱的表面积与侧面积的比是,应选答案A.‎ ‎2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（ ）‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心, ④正确,故选.‎ ‎3.【2017河南省信阳市上 期期末教 质量监测】已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,‎ 则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,‎ 因为平面平面,所以,解得.故选C.‎ ‎4.【2016 年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）‎ A．点到的距离为 ‎ B．与所成角是 C．三棱锥的体积是 ‎ D．与是异面直线 ‎【答案】D ‎【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,中到的距离为,正确；与所成角是,正确；三棱锥的体积是,正确；,错误．‎ ‎5.【2016 年四川省成都七中】把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为（ ）度 A．90 B．60 C．45 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面垂直平面时三棱锥的体积最大．设的中点为,则即为所求,而是等腰直角三角形,所以,故选C．‎ ‎6.【辽宁省辽阳市2018 届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为， ， ， ， 为圆上的点， ， ， ， 分别以， ， ， ‎ 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以， ， ， 为折痕折起， ， ， ，使得， ， ， 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图：‎ 连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=， .‎ 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则， ，解得，外接球的体积 ‎ ‎7．【2017甘肃省天水市第一中 上 期期末】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,若平面在侧棱长为的正三棱锥中,,过作截面,交于,交于,则截面周长的最小值为__________．[ : ]‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】将棱锥的侧面沿侧棱展开,如图,的长就是截面周长的最小值,由题意 ‎,由等腰三角形的性质得.‎ ‎8.如图所示,在四边形中,,将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论正确的是 ．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）与平面所成的角为； ‎ ‎（4）四面体的体积为．‎ ‎【答案】（2）（4）‎ ‎【解析】平面平面平面,与平面所成的角为 ‎,四面体的体积为,,综上（2）（4）成立．‎ ‎9．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)‎ ‎（1）是定值 ‎ ‎（2）点在某个球面上运动 ‎（3）存在某个位置,使 ‎ ‎（4）存在某个位置,使平面 ‎【答案】（1）（2）（4）．‎ ‎10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形中， ， ， 是的中点，以为折痕将向上折起， 变为，且平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵， ，‎ ‎∴，∴， ‎ 取的中点，连结，则， ‎ ‎∵ 平面平面，‎ ‎∴平面，∴ ，‎ 从而平面，∴‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，从而=（4,0,0），， .‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取 设为平面的法向量，‎ 则可以取 因此， ，有，即平面 平面，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎11．【2017安徽省黄山市上 期期末质量检测】如图1,在中,,是斜边上的高,沿将折成的二面角.如图2.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在图2中,设为的中点,求异面直线与所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明：因为折起前是边上的高,则当△折起后,‎ ‎,,‎ 又,则平面,‎ 因为平面,所以平面平面．‎ ‎（2）解：取的中点,连结,则,‎ 所以为异面直线与所成的角,‎ 连结、,设,则,,,,‎ 在中,,‎ 在中,由题设,则,‎ 即,‎ 从而,,‎ 在△中,,‎ 在中,．‎ 在△中,,‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ ‎12．【2017辽宁省六校协作体下 期期初】如图（1）所示,在直角梯形中,,,,,、、分别为线段、、的中点,现将折起,使平面平面（图（2））．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点是线段的中点,求证：平面.‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3） ‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）证明：∵、分别是的中点,‎ ‎∴‎ 又．∴．‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面．‎ 同理,平面,∵,‎ 平面,平面 ‎∴平面平面. ‎ ‎（2）连接,,‎ ‎∵、分别是、的中点,∴,又．‎ ‎∴ ‎ ‎∵平面平面,,‎ ‎∴平面．‎ ‎∴,‎ 又,,∴平面,∴．‎ 在中,,是的中点,∴,‎ ‎∵,∴平面,即平面． ‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎13．【2017届河北省正定中 高三上 期第三次月考】如图,菱形的对角线与交于点,,,点分别在上,,交于点,将沿折到的位置,．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ‎ ‎【解析】(1)由已知得,,又由得,故∥,因此 ‎ ,从而⊥.由得. ‎ 由∥得.所以,. ‎ 于是,故.又,而,‎ ‎ 所以平面. ‎ 如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 ‎ ,,,,,,,‎ ‎ . ‎ ‎ 设是平面的法向量,‎ ‎ 则,即,可取.‎ ‎ 设是平面的法向量,‎ ‎ 则,即,可取 ‎ ‎ 于是, ‎ 设二面角的大小为,.因此二面角的正弦值是. ‎ ‎14. 如图1所示,正的边长为,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点.现将沿CD翻折,使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）‎ 求三棱锥C-DEF的体积.‎ ‎【解析】过点E作EMDC于点M,‎ ‎∵面ACD面BCD,面ACD面BCD＝CD,而EM面ACD ‎∴EM平面BCD ‎ 即EM是三棱锥E-CDF的高 ‎∴.‎ 又∵为的中点,‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点,,‎ ‎∴EM＝‎ ‎∴三棱锥C-DEF的体积为：.‎ ‎15.如图1,在直角梯形中,,,且．‎ 现以为一边向梯形外作正方形,然后沿边将正方形折叠,使平面与平面垂直,为的中点,如图2．‎ ‎ （1）求证：∥平面;‎ ‎（2）求证：;‎ 图2‎ ‎ （3）求点到平面的距离.‎ 图1‎ ‎ ‎ 解析：（1）证明：取中点,连结．‎ 在△中,分别为的中点,‎ 所以∥,且．‎ 由已知∥,,[ : K]‎ 所以∥,且． ‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以∥． ‎ 又因为平面,且平面,‎ 所以∥平面． ‎ ‎ ‎ ‎（3）解法一：因为平面, 所以平面平面．‎ 过点作的垂线交于点,则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 ‎ 在直角三角形中,‎ 所以 所以点到平面的距离等于. ‎ 解法二：平面,所以 所以 ‎ ‎ 又,设点到平面的距离为 则 ,所以 所以点到平面的距离等于. ‎ ‎16.正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角．‎ ‎（1）试判断直线与平面的位置关系,并说明理由；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点,使？证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面的中位线得到,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角将条件转化为面,‎ 然后做出过点且与面垂直的直线,再在平面内过作的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把作为已知条件利用,利用中过与垂直的直线确定点的位置.‎ ‎【解析】（1）如图：在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,‎ 又AB平面DEF,EF平面DEF．‎ ‎∴AB∥平面DEF． ‎ ‎（2）∵AD⊥CD,BD⊥CD ‎ ‎ ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ‎∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ‎∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角,‎ 在Rt△EMN中,EM=1,MN=‎ ‎∴tan∠MNE=,cos∠MNE=‎