2018届二轮复习 函数及其表示 学案（全国通用）

2018届二轮复习 函数及其表示 学案（全国通用）

考试内容 等级要求 函数的概念 B 函数的基本性质 B 指数与对数 B 指数函数的图象与性质 B 对数函数的图象与性质 B 幂函数 A 函数与方程 B 函数模型及其应用 B ‎ 2.1　函数及其表示 考情考向分析　以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．‎ ‎1．函数与映射 函数 映射 两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应 名称 称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合 称f：A→B为从集合A到集合B B的一个函数 的一个映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．‎ ‎(3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．‎ ‎3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子 表示，这种函数称为分段函数．‎ 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ 知识拓展 简单函数定义域的类型 ‎(1)当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；‎ ‎(2)当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；‎ ‎(3)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；‎ ‎(4)若f(x)＝x0，则定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；‎ ‎(5)指数函数的底数大于0且不等于1；‎ ‎(6)正切函数y＝tan x的定义域为.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　×　)‎ ‎(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)‎ ‎(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　√　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　×　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P83例1]函数f(x)＝＋log2(6－x)的定义域是________．‎ 答案　[－3,6)‎ ‎3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．‎ 答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]‎ 题组三　易错自纠 ‎4．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______．‎ 答案　2‎ 解析　当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，‎ 即x＝4，解得x0＝2；‎ 当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，‎ 即－x＝4，无解．所以x0＝2.‎ ‎5．已知f(x)＝若f(a)＝2，则a的值为________．‎ 答案　－1或2‎ 解析　当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；‎ 当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.‎ 综上，a的值为－1或2.‎ ‎6．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.‎ 题型一　函数的概念 ‎1．已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．‎ 解　由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k→3k＋1.‎ 由a4≠10，故a2＋3a＝10，解得a＝2或a＝－5(舍去)，‎ 所以a4＝16.‎ 于是3k＋1＝16，所以k＝5.‎ ‎2．有以下判断：‎ ‎①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；‎ ‎②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1表示同一函数；‎ ‎③若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.‎ 其中正确判断的序号是________．‎ 答案　②‎ 解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故②正确；‎ 对于③，由于f＝－＝0，‎ 所以f＝f(0)＝1，故③不正确．‎ 综上可知，正确的判断是②.‎ 思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．‎ 题型二　函数的定义域问题 命题点1　求函数的定义域 典例 (1)函数f(x)＝ln＋的定义域为________．‎ 答案　[－4,0)∪(0,1)‎ 解析　由解得－4≤x＜0或0＜x＜1，故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域为________．‎ 答案　[－1,1)∪(1,2 017]‎ 解析　使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以使函数g(x)有意义的条件是 解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．‎ 引申探究 本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g(x)＝的定义域为________．‎ 答案　[－2,1)∪(1,2 016]‎ 解析　由函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]．‎ 得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 017]，‎ 令 则－2≤x≤2 016且x≠1.‎ 所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．‎ 命题点2　已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　 解析　要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，‎ ‎①当m＝0时，显然满足条件；‎ ‎②当m≠0时，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，‎ 得0＜m＜.‎ 由①②得0≤m＜.‎ ‎(2)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．‎ 答案　－ 解析　函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，‎ 所以解得 所以a＋b＝－－3＝－.‎ 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．‎ ‎(2)求抽象函数的定义域 ‎①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a0恒成立，‎ 得a＝0或 解得0≤a<.‎ 题型三　求函数解析式 ‎1．已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝________.‎ 答案　x2－2(x≥2或x≤－2)‎ 解析　∵f＝2－2，‎ 又x＋≥2，‎ ‎∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．‎ ‎2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.‎ 答案　x2－x＋2‎ 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 由f(0)＝2，得c＝2，‎ f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，‎ 即2ax＋a＋b＝x－1，‎ ‎∴即∴f(x)＝x2－x＋2.‎ ‎3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.‎ 答案　＋(x＞0)‎ 解析　在f(x)＝2f·－1中，‎ 将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1.‎ 由解得f(x)＝＋.‎ 思维升华 函数解析式的求法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．‎ ‎(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．‎ ‎(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ 题型四　分段函数 命题点1　求分段函数的函数值 典例 已知f(x)＝则f＋f的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　f＋f＝f＋f＋1‎ ‎＝cos ＋cos＋1＝1.‎ 命题点2　分段函数与方程、不等式问题 典例 (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.‎ 答案　－ 解析　函数f(x)＝且f(a)＝－3，‎ 若a≤1，则2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程无解；‎ 若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，‎ 则f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.‎ ‎(2)设函数f(x)＝g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，－1]∪[0,2－1]‎ 解析　∵g(x)为定义在R上的奇函数，‎ ‎∴g(0)＝0，若x>0，则－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，‎ ‎∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，‎ 由题意，知f(－2)＝2，‎ ‎∴f(g(a))≤2即为f(g(a))≤f(－2)．‎ 又f(x)＝∴g(a)≥－2，‎ ‎∴或或a＝0，‎ ‎∴a≤－1或0≤a≤2－1.‎ 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路 ‎①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；‎ ‎②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．‎ ‎(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起 ．‎ 跟踪训练 设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的取值集合为__________．‎ 答案　 解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；‎ 若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.‎ 故x的取值集合为.‎ 分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________．‎ ‎(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．‎ 思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；‎ ‎(2)‎ 当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．‎ 解析　(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2t，‎ 当t<1时，3t－1＝2t，‎ 令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，‎ ‎∴g(t)在(－∞，1)上为增函数，‎ ‎∴g(t)0，由f(x)的图象可知，当x∈(2,8]时，f(x)>0.‎ ‎11．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，8]‎ 解析　当x<1时，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，‎ ‎∴x<1；‎ 当x≥1时，由x≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.‎ 综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.‎ ‎12．已知函数f(x)＝ 则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．‎ 答案　0　2－3‎ 解析　∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，‎ ‎∴f(f(－3))＝f(1)＝0.‎ 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时取等号，此时f(x)min＝2－3<0；‎ 当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.‎ ‎13．设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，]‎ 解析　令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于 或 解得t≥－3，则f(a)≥－3等价于 或 解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]．‎ ‎14．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.‎ 答案　7‎ 解析　由f＋f＝2，得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，又f＝＝×2＝1，‎ ‎∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.‎ ‎15．已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)＋y(y－2x＋1)，且f(－1)＝3，则函数f(x)的解析式为________．‎ 答案　f(x)＝x2－x＋1‎ 解析　令x＝0，y＝－x，得f(x)＝f(0)＋x2－x.把x＝－1代入上式，得f(0)＝f(－1)－2＝1，从而有f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎16．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1)上的解析式为f(x)＝x2.‎ ‎(1)求f(－1)，f(1.5)；‎ ‎(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．‎ 解　(1)由题意知，‎ f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，‎ f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.‎ ‎(2)当x∈[0,1)时，f(x)＝x2；‎ 当x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，f(x)＝－f(x－1)‎ ‎＝－(x－1)2；‎ 当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，‎ f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；‎ 当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，‎ f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]‎ ‎＝4(x＋2)2.‎ 令x＝0，则f(0)＝－2f(1)，令x＝1，‎ 则f(1)＝－2f(2)，∴f(0)＝4f(2)．‎ 又f(0)＝0，∴f(2)＝0.‎ 所以f(x)＝