中考数学一轮复习 专题练习4 数量和位置变化1 浙教版

中考数学一轮复习 专题练习4 数量和位置变化1 浙教版

专题复习·数量和位置变化（1）‎ ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一．选择题 ‎1.函数的取值范围是（ ）‎ A．全体实数 B．x≠0 C．x＞0 D．x≥0‎ ‎2.若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，n）所在的象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）‎ A．　　　B．　　 C．　　　D． ‎ ‎6.函数y=+x﹣2的自变量x的取值范围是（　　）‎ A． x≥2 B． x＞2 C． x≠2 D． x≤2‎ ‎7.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）‎ A．　　B． ‎ C．　　D．‎ ‎8.某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h ‎）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是( )‎ ‎（A）汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h ‎（B）乡村公路总长为90km ‎（C）汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h ‎（D）该记者在出发后4.5h到达采访地 ‎9.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）‎ ‎10.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：‎ ‎①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；‎ ‎②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；‎ ‎③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；‎ ‎④甲的速度是乙速度的一半．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ ‎　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ 二．填空题 ‎11.若正比例函数y ＝kx与y＝2x的图象关于x轴对称，则k的等于 ‎ ‎12.已知抛物线，若点P（，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 ．‎ ‎13.已知关于x的函数同时满足下列三个条件： ‎ ‎①函数的图象不经过第二象限；‎ ‎②当时，对应的函数值；‎ ‎③当时，函数值y随x的增大而增大．‎ 你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．‎ ‎14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为　 　．‎ ‎15.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是.现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是 .‎ ‎16.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　 　．‎ ‎17.如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′‎ 点的坐标为　 　．‎ ‎18.已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝时，x的值等于 .‎ 三．解答题 ‎19.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：‎ 售价(元/件)‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎…‎ 月销量(件)‎ ‎200‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎…‎ 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.‎ ‎（1）请用含x的式子表示：‎ ‎①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 .件；（直接填写结果）‎ ‎（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎20.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．‎ ‎21.已知关于的方程的两个实数根为α、β，且α≤β。‎ ‎ （1）试用含有α、β的代数式表示；‎ ‎ （2）求证：α≤1≤β；‎ ‎ （3）若以α、β为坐标的点M（α、β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（，1），C（1，1），问是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎22.已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．‎ ‎（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标． ‎ ‎23.如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．‎ ‎24.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：ED是⊙P的切线；‎ ‎（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；‎ ‎（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案详解 一．选择题 故选A。‎ ‎4.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 解答：解：画出草图，根据特殊四边形的判定方法判断：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形。故选B。‎ 5. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）‎ A．　　　B．　　 C．　　　D． ‎ 解答：解：直接利用平移中点的变化规律求解即可：‎ 由A点平移前后的横坐标分别为－4、－2，可得A点向右平移了2个单位，‎ 由A点平移前后的纵坐标分别为－1、2，可得A点向上平移了3个单位，‎ 由此得线段AB的平移的过程是：再向右平移2个单位，向上平移3个单位， ‎ 所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B′的坐标为（1+2，1+3），即为（3，4）。故选B。‎ ‎6.函数y=+x﹣2的自变量x的取值范围是（　　）‎ A． x≥2 B． x＞2 C． x≠2 D． x≤2‎ 解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，‎ 解得：x＞2．‎ 故选：B．‎ ‎7.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）‎ A．　　B． ‎ C．　　D．‎ 解答：解：根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴、轴轴对称的特点得出答案：‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（）。‎ 当将抛物线作关于轴对称变换时，顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即新抛物线顶点坐标为（）。同时抛物线的开口变为向下，即二次项系数为负。因此变换后的函数式为。‎ 当再将所得的抛物线作关于轴对称变换时，顶点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即新抛物线顶点坐标为（）。同时抛物线的开口方向不变。因此变换后的函数式为，即。故选C。‎ ‎8.某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是( )‎ ‎（A）汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h ‎（B）乡村公路总长为90km ‎（C）汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h ‎（D）该记者在出发后4.5h到达采访地 解答：解：根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，‎ A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误；‎ B、乡村公路总长为360－180=180（km），故本选项错误；‎ C、汽车在乡村公路上的行驶速度为180÷3=60（km/h），故本选项正确；‎ D、该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误。‎ 故选C。‎ ‎9.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）‎ ‎10.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：‎ ‎①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；‎ ‎②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；‎ ‎③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；‎ ‎④甲的速度是乙速度的一半．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ ‎　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ 解答： 解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；‎ 甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，‎ 则，‎ 解得：a=80，‎ ‎∴乙开汽车的速度为80千米/小时，‎ ‎∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；‎ ‎∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80﹣40）=60（千米），故②正确；‎ 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；‎ ‎∴正确的有3个，‎ 故选：B．‎ 二．填空题 ‎11.若正比例函数y ＝kx与y＝2x的图象关于x轴对称，则k的等于 ‎ 解答：解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．则两个解析式的k值应互为相反数， 即k=－2。‎ ‎12.已知抛物线，若点P（，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 ．‎ 解答：解：根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x，再根据图象得出点P（－2，5）关于对称轴对称点Q：两点的纵坐标不变，两点横坐标到对称轴的距离相等，都为3，得到Q点坐标为（4，5）。‎ ‎13.已知关于x的函数同时满足下列三个条件： ‎ ‎①函数的图象不经过第二象限；‎ ‎②当时，对应的函数值；‎ ‎③当时，函数值y随x的增大而增大．‎ 你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．‎ 解答：解：此函数可以是一次函数y=k（x－2）＋b（k＞0，b≤0）；‎ 也可为二次函数y=a（x－2）2＋b（a＜0，b≤0）。‎ 如y= x－2，y= 2（x－2）－1=2 x－5，y=－（x－2）2=－x2＋4x－4等等，答案不唯一。‎ ‎14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为　 　．‎ 解答： 解：由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变，‎ ‎∴点A′的纵坐标为6，‎ ‎﹣x=6，解得x=﹣8，‎ ‎∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位，‎ ‎∴点B与其对应点B′间的距离为8，‎ 故答案为：8．‎ ‎15.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是.现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是 .‎ 解答： 解：如答图，旋转后点C的坐标C1是.‎ ‎ ∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．‎ ‎ ∵=125…15，‎ ‎ ∴移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点，‎ 解答：解：作B′E⊥x轴，‎ ‎ 易证AD=CD，‎ ‎ 设OD=x，AD=5﹣x，‎ ‎ 在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2，‎ ‎ 解得：x=2.1，‎ ‎ ∴AD=2.9，‎ ‎ ∵OD∥B′E，‎ ‎ ∴△ADO∽△AB′E，‎ ‎ ‎ ‎18.已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝时，x的值等于 .‎ 解答： 解：根据P点的位置，由三角形面积公式表达出分段函数，在分段函数中，已知y的值，求x：‎ 当点P在AB边上时，y=•x•1=，解得x=。‎ 当点P在BC边上时，y=•（1+）•1－•（x－1）•1－••（2－x）=，解得x=。‎ 当点P在CE上时，y=•（2－x）•1=，解得x=。它不在CE上，舍去。‎ ‎∴当y＝时，x的值等于或。‎ 三．解答题 ‎19.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：‎ 售价(元/件)‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎…‎ 月销量(件)‎ ‎200‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎…‎ 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.‎ ‎（1）请用含x的式子表示：‎ ‎①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 .件；（直接填写结果）‎ ‎（2）设销量该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【答案】解：（1）①；‎ ‎②.‎ ‎（2）依题意可得：.‎ 当x=130时，y有最大值980.‎ ‎∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.‎ ‎20.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）设二次函数解析式为，‎ ‎∴二次函数图象过点，∴，得。‎ ‎∴二次函数解析式为，即。‎ ‎ ‎ 轴的另一个交点坐标为。‎ ‎21.已知关于的方程的两个实数根为α、β，且α≤β。‎ ‎ （1）试用含有α、β的代数式表示；‎ ‎ （2）求证：α≤1≤β；‎ ‎ （3）若以α、β为坐标的点M（α、β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（，1），C（1，1），问是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵α、β为方程的两个实数根，‎ ‎∴判别式△=，且α+β=，αβ=。‎ ‎∴=αβ，=α+β－－1=α+β－αβ－1。‎ ‎（2）∵（1－α）（1－β）=1－（α+β）+αβ=－≤0（≥0），又α≤β，‎ ‎∴α≤1≤β。‎ ‎（3）若使成立，只需α+β=。‎ ‎①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（，1），C（1，1），‎ 得≤α≤1，β=1，而α=－β=－1=＞1，‎ 故在BC边上存在满足条件的点M，其坐标为（，1）。‎ ‎②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），‎ 得α=1，1≤β≤2，此时β=－α=－1=。又因为1＜＜2，‎ 故在AC边上存在满足条件的点M，其坐标为（1，）。‎ ‎③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（， 1），得≤α≤1，1≤β≤2。‎ ‎ 设AB所在直线为：，由A（1，2），B（，1），‎ 得，解得。∴AB所在直线为：。‎ ‎∴由点M（α，β）在AB边上运动，得。‎ 又α+β=，得。‎ 又∵，∴在线段AB上。‎ 故在AB边上存在满足条件的点M，其坐标为。‎ 综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（，1），（1，）和点，使成立。‎ ‎22.已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．‎ ‎（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标． ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，‎ 则。‎ 设点的坐标为，‎ 则。‎ ‎∴。‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 即，解得。‎ ‎∴点的坐标为。‎ ‎（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,‎ 则。‎ 由题设，，‎ 则。‎ 在中，由勾股定理，得，即，‎ ‎∴。‎ 由点在边上，有，‎ ‎∴解析式（）为所求。‎ ‎∵当时，随的增大而减小，∴的取值范围为。‎ ‎（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且，‎ 则。‎ 又∵，∴。‎ ‎∴。∴。‎ ‎∴，得。‎ 在中，设，则。‎ 由（Ⅱ）的结论，得，即，解得。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴点的坐标为。‎ ‎23.如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．‎ 解答：解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），‎ ‎ ∴AB=CD=4，DC∥AB，‎ ‎ ∴C（4，3），‎ ‎ 设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，‎ ‎ 则反比例解析式为y=；‎ ‎ （2）∵B（6，0），‎ ‎ ∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2），‎ ‎ ∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2，‎ ‎ ∴D′（0，5），‎ ‎24.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：ED是⊙P的切线；‎ ‎（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；‎ ‎（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解答： 解：（1）∵C（2，0），BC=6，‎ ‎ ∴B（﹣4，0），‎ ‎ 在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，‎ ‎ 而∠DAE=∠DCB，‎ ‎ ∴△AED∽△COD，‎ ‎ ∴∠ADE=∠CDO，‎ ‎ 而∠ADE+∠ODE=90°‎ ‎ ∴∠CDO+∠ODE=90°，‎ ‎ ∴CD⊥DE，‎ ‎ ∵∠DOC=90°，‎ ‎ ∴CD为⊙P的直径，‎ ‎ ∴ED是⊙P的切线；‎ ‎ （3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下：‎ ‎ ∵△AED∽△COD，‎ ‎ ‎ ‎ ∵∠CDE=90°，DE＞DC，‎ ‎ ∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，‎ ‎ 而点C、D在抛物线上，‎ ‎ ∴点E′不能在抛物线上；‎ ‎ （4）存在．‎ 如图2，‎ 当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，‎