【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式学案
第六章 不等式及其证明
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
不等式的概念和性质
5,5分(文)
20,6分(理)
3,5分(文)
6,5分(文)
20,4分(文)
8,5分(理)
9,5分(理)
7,5分(文)
7,5分(文)
10,5分(文)
9,5分(理)
21,3分(文)
不等式的解法
1,5分(理)
1,5分(理)
1,5分(文)
6,5分(理)
15,4分(理)
21,4分(文)
2,5分(理)
7,5分(理)
21,4分(文)
1,5分(理)
21,5分(文)
17,4分(理)
简单的线性规划
3,5分(理)
4,5分(文)
14,4分(理)
14,4分(文)
13,4分(理)
12,4分(文)
13,4分(理)
15,4分(文)
22(2)，7分(理)
14,4分(文)
基本不等式
20,14分(文)
16,4分(文)
绝对值不等式
18,15分(理)
20,14分(理)
18,15分(理)
10,5分(理)
22,14分(理)
22(2)，7分(理)
22,14分(理)
21(2)，7分(文)
[重点关注]
从近五年浙江卷高考题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，解答题重点考查绝对值不等式与二次函数相交汇问题，不等式的证明问题．
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a
b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则a.(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x10
x1＝x2＝－
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]
3．(2017·湖州二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B.>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.故选C.]
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________.
【导学号：51062180】
[0,1) [①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m≠0时，由条件知得0y>0，则( )
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
(1)C [函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故D错误．]
(2)由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
f(－2)＝4a－2b.3分
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则解得10分
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).12分
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围为[5,10].14分
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a|a＋b|
(2)若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)B [(1)由题可知b1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1).14分
[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.4分
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；当01时，解集为.14分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．
(3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练2] (2016·宁波中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|20的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
一元二次不等式恒成立问题
角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
(2017·嘉兴一中月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
(－2,2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－20时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.6分
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.14分
角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3} [x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，
即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
[思想与方法]
1．倒数性质，若ab>0，则a>b⇔<.
2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．
4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．
6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
[易错与防范]
1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．
2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．
3．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
4．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
课时分层训练(三十)
不等式的性质与一元二次不等式
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
D [由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.]
2．已知函数f(x)＝
则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
A [法一：当x≤0时，x＋2≥x2，
∴－1≤x≤0；①
当x>0时，－x＋2≥x2，∴0b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A [因为a＋－＝，若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．]
4．(2016·绍兴一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－ln 3} B．{x|－1－ln 3} D．{x|x<－ln 3}
D [设－1和是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，
∴a＝－＝，
b＝－1×＝－，
∵一元二次不等式f(x)<0的解集为，
∴f(x)＝－＝－x2－x＋，
∴f(x)>0的解集为x∈.
不等式f(ex)>0可化为－10的解集为{x|x<－ln 3}．]
5．若集合A＝＝∅，则实数a的值的集合是( )
A．{a|00的解集为__________.
【导学号：51062182】
[－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)(x－1)<0，解得－0的解集为.]
7．(2017·嘉兴二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是__________．
[－4,2] [不等式f(x)≥－1⇔或解得－4≤x≤0或00，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，12分
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).14分
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
[解] (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，2分
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，10分
等价于解得14分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·诸暨一模)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
A [不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
[解] (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，2分
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.6分
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”.9分
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，
所以
即
解得a≥，13分
则a的取值范围为.14分
