中考第一轮复习三角形教案

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第四章　三角形 第一节　角、相交线与平行线 考点一、直线、射线和线段 （3分）‎ ‎1、直线的性质:‎ 直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。‎ ‎2、线段的性质 ‎（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。‎ ‎（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ ‎5、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。‎ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。‎ 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ 考点二、角 （3分）‎ ‎1、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。‎ 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。‎ 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。‎ ‎2、角的性质 ‎（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。‎ ‎（2）角的大小可以度量，可以比较 ‎（3）角可以参与运算。‎ ‎3、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。‎ 角的平分线有下面的性质定理：‎ ‎（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。‎ 考点三、相交线 （3分）‎ ‎1、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。‎ 直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。‎ ‎2、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。‎ 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。‎ 垂线的性质：‎ 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。‎ 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。‎ 10‎ 考点四、平行线 （3~8分）‎ ‎1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。‎ 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。‎ ‎2、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ ‎3、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。‎ 平行线的两条判定定理：‎ ‎（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。‎ ‎（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。‎ ‎4、平行线的性质 ‎（1）两直线平行，同位角相等。‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等。‎ ‎（3）两直线平行，同旁内角互补。‎ 习题强化 ‎1．(广西桂林)如图X4－1－1，与∠1是内错角的是(　　)‎ A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 ‎ 图X4－1－1 图X4－1－2‎ ‎2．(福建福州)如图X4－1－2，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2的度数是(　　)‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎3．(吉林长春)如图X4－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°.D为边CA延长线上的一点，DE∥AB，∠ADE＝42°，则∠B的大小为(　　)‎ A．42° B．45° C．48° D．58°‎ 图X4－1－3 图X4－1－‎ ‎4‎ ‎4．如图X4－1－4，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.则∠3＝(　　)‎ A．100° B．60° C．40° D．20°‎ ‎5．(2012年湖北襄阳)如图X4－1－12，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为(　　)‎ 10‎ 第二节　三角形及其性质 考点一、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：‎ ‎ 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 ‎ 等腰三角形 ‎ 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：‎ ‎ 直角三角形（有一个角为直角的三角形）‎ 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）‎ ‎ 斜三角形 ‎ 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）‎ 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。‎ 考点二、三角形的性质 ‎1、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ ‎3、三角形的面积 三角形的面积=×底×高 考点三、三角形的主要线段 ‎1、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎2、在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎3、从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎4、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ ‎（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。‎ ‎（2）要会区别三角形中线与中位线。‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。‎ 三角形中位线定理的作用：‎ 位置关系：可以证明两条直线平行。‎ 数量关系：可以证明线段的倍分关系。‎ 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：‎ 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。‎ 10‎ 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。‎ 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。‎ 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。‎ 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。‎ 习题强化：‎ ‎1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝(　　)‎ A．35° B．70° C．110° D．140°‎ ‎2．(湖南怀化)如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)‎ A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 ‎ ‎3．(山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图X4－2－3所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)‎ A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 ‎ 图X4－2－3 图X4－2－4 图X4－2－5‎ ‎4．(山东临沂)如图X4－2－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm.‎ ‎5．(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(　　)‎ ‎ ‎ A 　 B 　C 　D 第三节 全等三角形 （7分）‎ ‎1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。‎ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。‎ ‎2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。‎ 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。‎ ‎3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：‎ ‎（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）‎ ‎（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。‎ 直角三角形全等的判定：‎ 10‎ 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）‎ ‎4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。‎ 全等变换包括一下三种：‎ ‎（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。‎ ‎（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。‎ ‎（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。‎ 习题强化 ‎1．(湖北十堰)如图X4－2－5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE.‎ ‎2．(四川宜宾)如图X4－2－6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.‎ 图X4－2－6‎ ‎12．(四川广元)如图X4－2－7，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.‎ ‎(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)；‎ ‎(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．‎ 图X4－2－7‎ 第四节 特殊的三角形 考点一、等腰三角形 ‎ 性质 ‎(1)等腰三角形的两个底角①______(简写成“等边对等角”)；‎ ‎(2)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)；‎ ‎(3)是轴对称图形，有②____条对称轴 判定 ‎(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；‎ ‎(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积 S＝ah(h是边a上的高)‎ 10‎ 考点2. 等边三角形 性质 ‎(1)三边相等；‎ ‎(2)三个内角都相等且每一个角都等于③____；‎ ‎(3)是轴对称图形，有三条对称轴 判定 ‎(1)三边都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎(2)三角都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎(3)有一个角是④____的等腰三角形是等边三角形 面积 ‎(a为三角形边长，h为边上的高)‎ 考点3. 直角三角形的性质及判定 性质 ‎(1)两锐角之和等于⑤______；‎ ‎(2)斜边上的中线等于斜边的⑥______；‎ ‎(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑦____；‎ ‎(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2；‎ ‎(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑧____‎ 判定 ‎(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；‎ ‎(2)勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a、‎ ‎ b、c为边的三角形是直角三角形；‎ ‎(3)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形 ‎ 面积 a、b为两直角边，h是斜边c上的高)‎ ‎3. 直角三角形的性质及判定 ‎　90°‎ 一半 一半 ‎30° ‎ 习题强化 1． ‎ (浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(　　)‎ A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°‎ ‎2．(广东深圳)如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是(　　)‎ A．40° B．35° C．25° D．20°‎ 10‎ ‎3．(山东济宁)如图X4－2－15，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)‎ A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间 ‎4．如图X4－2－16，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为(　　)‎ A．50° B．60° C．30° D．40° ‎ 图X4－2－16 图X4－2－17‎ ‎5．(河北)如图X4－2－17，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　　)‎ A.　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 ‎ ‎6．(吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.‎ ‎7．(江苏无锡)如，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_________cm.‎ ‎8．(辽宁沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.‎ ‎(1)求∠DAC的度数；‎ ‎(2)求证：DC＝AB.‎ ‎9．(湖南湘潭)如图X4－2－22，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.‎ ‎(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)求线段BD的长．‎ 图X4－2－22‎ 10‎ 第五节　图形的相似 考点一：比例线段及性质 ‎1. 比例的性质 性质1： (abcd≠0)．‎ 性质2：如果 ，那么 .‎ 性质3：如果 …＝ (b＋d＋…＋n≠0)， 那么 ‎ ‎2. 比例中项：若a∶b＝b∶c或 ，则b叫做比例中项，即b2＝ac.‎ ‎3. 平行线分线段成比例 ‎(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段③________．‎ 如图所示，若l1∥l2∥l3，‎ 则 , ，‎ ‎(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线)，所得的对应线段④________．‎ 如图所示，若DE∥BC，则 ‎, ‎ ‎, ‎ 考点二：相似三角形的性质与判定 ‎ ‎1. 相似三角形的概念 如果两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．‎ ‎2. 相似三角形的判定及性质 判定 ‎(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；‎ ‎(2)三边⑤____________的两三角形相似；‎ ‎(3)两边成比例且⑥________相等的两三角形相似；‎ ‎(4)⑦________分别相等的两三角形相似；‎ ‎(5)两直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似 性质 ‎(1)相似三角形的⑧______相等；对应边成比例；‎ ‎(2)相似三角形的对应高的比，对应中线的比及对应角平分线的比都⑨________相似比；‎ ‎(3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于⑪__________‎ 10‎ ‎4. 相似三角形的几种常见基本图形 ‎(1)“平行线型”的相似三角形有“A型”与“X型”图形 ‎(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1＝∠2，有“反A共角型”、“反A共角边型”、“蝶型”)．‎ ‎(3)“垂直型”的相似三角形(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”、“三垂直型”)．‎ 考点四、相似多边形 ‎1. 定义：各角对应______，各边对应______的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形 ______的比叫做相似比．‎ ‎2. 性质：(1)相似多边形的对应角 _____，对应边 _____；‎ ‎(2)相似多边形的周长比等于 ______，面积比等于_____________．‎ 命题点　相似三角形的性质及判定 1. ‎(2012陕西5题3分)如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线，‎ 第1题图 则S△EDC∶S△AB=（ )‎ ‎ A. 1∶2　　　　B. 2∶3 C. 1∶3 D. 1∶4‎ 2. ‎(2016陕西副题6题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则 的值为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. 第2题图 10‎ 练习 (2016娄底)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是____________ ．‎ ‎(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．‎ 10‎