吉林省长春外国语学校2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

吉林省长春外国语学校2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

www.ks5u.com 长春外国语学校2018-2019学年第二学期期末考试高一年级 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：(本题共15小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.是( )‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案。‎ ‎【详解】由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，‎ 又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎2.不等式的解集为,则的值为(   )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.‎ ‎【详解】由题意得为方程两根，所以 ‎，选B.‎ ‎【点睛】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.‎ ‎3.已知向量，若，则（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．‎ ‎【详解】；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．‎ ‎4.函数的最小值为( )‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】，时等号成立.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了均值不等式，属于简单题.‎ ‎5.化简（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.‎ ‎6.若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎8.在等比数列中，成等差数列，则公比等于（ ）‎ A. 1 或 2 B. −1 或 −2 C. 1 或 −2 D. −1 或 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 ‎【详解】等比数列中，设首项为，公比为，‎ 成等差数列，，即，‎ 或 答案选C ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题 ‎9.在中，角所对的边分别为己知,则（ ）‎ A. 45° B. 135° C. 45°或135° D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得到答案，再根据内角和为排除一个答案.‎ ‎【详解】己知 或 时，内角和超过，排除 故答案为A ‎【点睛】本题考查了正弦定理，没有考虑内角和是容易犯的一个错误.‎ ‎10.已知等差数列中，则（　）‎ A. 10 B. 16 C. 20 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差数列性质得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】已知等差数列中，‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.‎ ‎11.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，故只需把函数的图象 上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.‎ ‎12.等比数列中，，，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. 128 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.‎ ‎【详解】设公比为，则，∴，‎ ‎∴或，∴或，‎ 即或.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.‎ ‎13.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为(　)‎ A. B. 1 C. 2 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.‎ ‎【详解】若实数x，y满足条件，目标函数 如图：‎ 当时函数取最大值为 ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】求线性目标函数的最值:‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎14.设且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 项，由得到，则，故项正确；‎ 项，当时，该不等式不成立，故项错误；‎ 项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；‎ 项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．‎ 综上所述，故选．‎ ‎15.圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．‎ ‎【详解】圆锥的高和底面半径之比，‎ ‎∴，‎ 又圆锥的体积，‎ 即，‎ 解得；‎ ‎∴，‎ 母线长为，‎ 则圆锥的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)‎ ‎16.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，然后算出函数的周期，利用周期的公式，得到，最后将点 ‎ 代入，得： 结合，可得 ‎ 所以的解析式是．‎ 详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得，又∵函数的周期 ，利用周期的公式，可得，‎ 将点 代入，得： 结合，可得 ‎ 所以的解析式是．‎ 点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．‎ ‎17.已知向量夹角为，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的夹角，，，‎ ‎，.‎ 考点：向量的运算.‎ ‎【思路点晴】平面向量数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎18.若，且，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变换为，展开利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】若，且，则 时等号成立.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.‎ ‎19.如图，正方体的棱长为1，为中点，连接，则异面直线和所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接CD1，CM，由四边形A1BCD1为平行四边形得A1B∥CD1，即∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求△CD1M的三边长，由余弦定理求解即可．‎ ‎【详解】如图，‎ 连接，由，可得四边形为平行四边形，‎ 则，∴为异面直线和所成角，‎ 由正方体的棱长为1，为中点，‎ 得，．‎ 在中，由余弦定理可得，．‎ ‎∴异面直线和所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.‎ 三、解答题：（20题10分，21～25每题12分，共70分）‎ ‎20.已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式，计算的通项公式，再验证时的情况.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，‎ 不满足上式．‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了利用求数列通项公式，忽略的情况是容易犯的错误.‎ ‎21.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．‎ 详解：（1）∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∵为锐角，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎ .‎ 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎22.已知．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）若，求的值域．‎ ‎【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.‎ ‎【详解】（1）‎ 令，则 的对称轴为，最小正周期；‎ ‎（2）当时，，‎ 因为在单调递增，在单调递减，‎ 在取最大值，在取最小值，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.‎ ‎23.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点是和的交点．‎ ‎(1)证明： 平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1) 证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在中，利用中位线性质得到 ，证明平面.‎ ‎(2)直接利用体积公式得到答案.‎ ‎【详解】在中，点是的中点，底面是正方形点为中点 ‎ 根据中位线性质得到，平面，故平面.‎ ‎(2) 底面 ‎【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎24.等差数列中，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.‎ ‎(2)先求出，再利用裂项求和求得.‎ ‎【详解】(1)等差数列中，，‎ 解得： ‎ ‎(2)‎ 数列的前n项和.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.‎ ‎25.已知，，，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设，，若的最大值为，求实数的值.‎ ‎【答案】(1)0 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.‎ ‎【详解】（1）通过可以算出，‎ 即 故答案为0.‎ ‎（2），设，，，‎ 即的最大值为；‎ ‎①当时，（满足条件）；‎ ‎②当时，‎ ‎（舍）；‎ ‎③当时，（舍）‎ 故答案为 ‎【点睛】当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.‎ ‎ ‎