2018届二轮复习导数应用名卷考点汇文学案(全国通用)

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2018届二轮复习导数应用名卷考点汇文学案(全国通用)

考点1.6 导数应用 精讲考点汇总表 ‎ 题号 考点 难度星级 命题可能 ‎5‎ 不等式 ‎★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎10‎ 函数零点 ‎★★★★‎ ‎○○○○‎ ‎11‎ 三角恒等变换 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎16‎ 解三角形 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎20‎ 数列综合 ‎★★★★‎ ‎○○○○‎ ‎22‎ 导数应用 ‎★★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎【原题再现】22.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)已知点,曲线在点 处的切线与直线交于点,求(为坐标原点)的面积最小时的值,并求出面积的最小值.‎ 试题解析:解:(Ⅰ)依题意,.‎ 令,故,令,解得,‎ 故在上单调递减,在上单调递增,‎ 故,故,即,‎ 故函数在上单调递增. ‎ 设,.‎ 则 ,‎ 令,得或.‎ ‎,的变化情况如下表:‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,即时,的面积有最小值1.‎ 导数的应用 ‎★★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎1.函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.也就是说,曲线在点处的切线的斜率是.相应地,切线方程为.‎ ‎2.借助导数研究函数单调性 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减;‎ ‎3.借助导数研究函数的极值 若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值 ‎4.借助导数研究函数最值 求函数最值的步骤:(1)求出在上的极值.(2)求出端点函数值.‎ ‎(3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.‎ ‎1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”‎ 在解决曲线的切线问题时,利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意:曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的要切线往往不止一条;切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”,利用该点出的导数为直线的斜率,便可直接求解;若“过”,解决问题关键是设切点,利用“待定切点法”,即:设点A(x,y)是曲线y=f(x)上的一点,则以A为切点的切线方程为y-y=f,再根据题意求出切点.‎ ‎2.函数切线的相关问题的解决,抓住两个关键点:其一,切点是交点;其二,在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系——方程(组).其三,求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.‎ ‎3.函数的导数在其单调性研究的作用:(1)当函数在一个指定的区间内单调时,需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零),当函数在一个区间内不单调时,这个函数的导数在这个区间内一定变号,如果导数的图象是连续的曲线,这个导数在这个区间内一定存在变号的零点,可以把问题转化为对函数零点的研究.‎ ‎(2)根据函数的导数研究函数的单调性,在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论,这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行,其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行,如果这样的点不止一个,则要根据字母参数在不同范围内取值时,导数等于零的根的大小关系进行分类讨论,最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论.[易错提示] 在利用“若函数单调递增,则”求参数的范围时,注意不要漏掉“等号”.‎ ‎4.利用导数研究函数的极值与最值:(1)确定定义域.‎ ‎(2)求导数.‎ ‎(3)①若求极值,则先求方程的根,再检验在方程根左、右值的符号,求出极值.(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)‎ ‎②若已知极值大小或存在的情况,则转化为已知方程根的大小或存在情况,从而求解.‎ ‎5.利用导数处理恒成立问题 不等式在某区间的恒成立问题,可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决,函数的最值问题的求解,利用求导分析函数单调性是常规途径,例如:①为增函数(为减函数).②在区间上是增函数≥在上恒成立;在区间上为减函数≤在上恒成立.‎ ‎6.利用导数,如何解决函数与不等式大题 在高考题的大题中,每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况,基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式),研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围,研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等,这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力,就需要根据导数的方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数,通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值,根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数.因为导数的引入,为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚,但是深入解决函数与不等式相结合的题目时,往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点,不清楚解决技巧.解题技巧总结如下 ‎(1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式.‎ ‎(2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.‎ ‎(3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”.‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若直线与曲线和分别交于两点.设曲线 在点处的切线为,在点处的切线为.‎ ‎(ⅰ)当时,若,求的值;‎ ‎(ⅱ)若,求的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点,,且.若,且恒成立,求的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为.,.‎ ‎(ⅰ)当时,,. 因为,所以. 即.解得. ‎ ‎(ⅱ)因为,则在上有解. 即在上有解.设,,则.当时,恒成立,则函数在上为增函数.‎ ‎ 当时,取,取,, 所以在上存在零点.当时,存在零点,,满足题意.‎ ‎(2)当时,令,则.则在上为增函数,上为减函数.所以的最大值为.解得.取,.因此当时,方程在上有解.所以,的最大值是. ‎ ‎(Ⅱ) . 因为为在其定义域内的两个不同的极值点,所以是方程的两个根. 即,. 两式作差得,. 因为 ,由,得.则 . 令,则,由题意知: ‎ ‎ 在上恒成立, 令, 则=.当,即时,,,所以在上单调递增. 又,则在上恒成立.当,即时,时,,在上为增函数; 当时,,在上为减函数. 又,所以不恒小于,不合题意. 综上,.‎ ‎ ‎ ‎1.已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴 对称的点,则实数的取值范围是(   )‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知方程在上有解,等价于.令,则.令,得或1,则由,,,比较大小知,,所以实数的取值范围是,故选D.‎ ‎3.已知函数.‎ ‎(1)求函数在区间上的最大值;‎ ‎(2)若, 是函数图象上不同的三点,且,试判断与之间的大小关系,并证明.‎ ‎【解析】(1),当时, 时, , ,当时, 时, , ,当时,由,得, ,又,则有如下分类:‎ ‎③当,即时, 在上是减函数,所以 综上,函数在上的最大值为 ‎(2)‎ ‎,‎ ‎,令, , ,所以在上是增函数,又,当时, , , ,故,当时, , , ,故。综上知, .‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎ ‎ ‎ ‎1.已知函数,若关于的函数 有8个不同的零点,则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎2.已知实数,函数,若关于的方程有三个不等的实根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时, 为增函数,当时, , 为增函数,令,解得,故函数在上递减, 上递增,最小值为.由此画出函数图像如下图所示,令,因为,所以,则有,所以 ‎,所以,要有三个不同实数根,则需,解得.‎ ‎3.已知 ,则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎4.过点,且倾斜角为的直线与圆相交于两点,若,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得圆心,显然直线的斜率存在,设直线的方程为,因为,所以圆心到直线的距离为,则,解得,即,所以,故选D.‎ ‎5.在中,,,分别为内角,,的对边,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎ 6. 已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:取BC中点E,DC中点F,由题意:,△ABE中,,,.‎ 又,,‎ 综上可得,△BCD面积为,.‎ ‎7.设,若不等式对所有满足题设的均成立,则实数的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,因为所以设,则,因此的最小值,而,当且仅当时取等号,从而,即实数的最大值为.‎ ‎8.已知,则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 9.已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足,(),若成等差数列,则(   )‎ A.8    B.‎9 ‎   C.7或8    D.8或9‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时,,解得;当时,由,得,则,整理,得,配方,得.由题意知,数列为单调递增数列,且,则,即,所以数列为等差数列,则,所以,则由成等差数列,得,所以.因为,故只能取2,3,5.当时,;当时,;当时,,所以或9,故选D.‎ ‎10.数列的前项和满足,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求使对任意恒成立的实数的取值范围.‎ ‎ 11.已知函数存在极值,若这些极值的和大于,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】对函数求导得. 存在极值,在上有解,即方程在上有解,即.显然当时,无极值,不合题意,所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为,则,由题意知 ‎ ‎,解得,满足,又,即,故所求的取值范围是.故选B. ‎ ‎12.设函数 ‎(1)令(),若的图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,设函数,且函数有且仅有一个零点,若,,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1),,则有在上恒成立,所以 ‎,,当时,取得最大值,所以. ‎ ‎(2)因为,令,则,即,令,则,令,∵在上是减函数,又∵,所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,∴,∵,∴当函数有且仅有一个零点时,.当时,,若,则,,令得或,又∵,∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,∵ , ,∴. ‎
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