【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形专题探究课二高考中三角函数问题的热点题型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形专题探究课二高考中三角函数问题的热点题型学案

专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型 高考导航　该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.‎ 热点一　三角函数的图象和性质(规范解答)‎ 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.‎ ‎【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ 满分解答　(1)解　因为f(x)＝sin x＋cos x－.‎ ‎2分 ‎＝2sin－.4分 所以f(x)的最小正周期为2π.6分 ‎(2)解　因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.8分 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.11分 所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.‎ ‎13分 ‎　‎ ‎❶将f(x)化为asin x＋bcos x＋c形式得2分.‎ ‎❷将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋h形式得2分.‎ ‎❸求出最小正周期得2分.‎ ‎❹写出ωx＋φ的取值范围得2分.‎ ‎❺利用单调性分析最值得3分.‎ ‎❻求出最值得2分.‎ ‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；‎ 第二步：由T＝求最小正周期；‎ 第三步：确定f(x)的单调性；‎ 第四步：确定各单调区间端点处的函数值；‎ 第五步：明确规范地表达结论.‎ ‎【训练1】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.‎ 因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π.又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t.‎ 当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ，如图所示，作出函数y＝sin t在 上的图象，‎ 由图象可知，当t∈时，sin t∈，‎ 故－1≤－sin t≤，因此－1≤f(x)＝－sin≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ 热点二　解三角形 高考对解三角形的考查，‎ 以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.‎ ‎【例2】 (2017·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图象关于点对称.‎ ‎(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若a＝7，且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)∵f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)‎ ‎＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ‎＝2sin xcos Acos x－2cos2xsin A＋sin A ‎＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)，‎ 又函数f(x)的图象关于点对称，‎ 则f＝0，即sin＝0，‎ 又A∈(0，π)，则A＝，‎ 则f(x)＝sin.‎ 由于x∈，‎ 则2x－∈，‎ 即－b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范围是(，2].‎ 探究提高　向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【训练3】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.‎ 解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和，‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，‎ 由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).‎ 将其代入y＝g(x)得sin＝1，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，‎ 因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z. ‎