【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（　）‎ A．a2＜b2 B． C． D．a2＜ab ‎2．已知复数满足，则的共轭复数是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）‎ A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 ‎4．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y m ‎3.2‎ ‎4.8‎ ‎7.5‎ 若y关于x的线性回归方程为y＝2.1x﹣0.25，则m的值为（　）‎ A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5‎ ‎5．已知函数，则 (　　)‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎6．如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为r1．分析二：剔除点P，由剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为r2．那么（　　）‎ A．0＜r1＜r2＜1 ‎ B．0＜r2＜r1＜1 ‎ C．＜r1＜r2＜0‎ D．＜r2＜r1＜0‎ ‎7．一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是（　）‎ A．甲同学三个科目都达到优秀B．乙同学只有一个科目达到优秀 C．丙同学只有一个科目达到优秀 D．三位同学都达到优秀的科目是数学 ‎8．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．小明的妈妈为小明煮了个粽子，其中两个红枣馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，‎ 事件，事件，‎ 则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在极坐标系中，O为极点，曲线C：上两点A、B对应的极角分别为、，则△AOB的面积为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（　）‎ A．B． C． D．‎ ‎12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度（ ）‎ A． B．C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．已知i为虚数单位，实数x，y满足，则_______．‎ ‎14．若，则的最小值为______．‎ ‎15．凸函数的性质定理为：若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，有≤．已知函数在区间(0，π)上是凸函数，则在中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．‎ ‎16．已知两个变量的关系可以近似地用函数来表示，通过两边取自然对数变换后得到一个线性函数，并利用最小二乘法得到的线性回归方程为，则的近似函数关系式为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸相应位置．）‎ ‎17．（10分）为了解某地区某种产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎7.0‎ ‎6.5‎ ‎5.5‎ ‎3.8‎ ‎2.2‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）‎ 附参考公式：，．‎ ‎18．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：、、中至少有一个不小于．‎ ‎19．（12分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小王是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价．现对其近年的200次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示．‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎（1）是否有的把握认为商品好评与服务好评有关? 请说明理由；‎ ‎（2）现从这200次交易中，按照“对商品好评”和“对商品不满意”采用分层抽样取出5次交易，然后从这5次交易中任选两次进行观察，求这两次交易中恰有一次“对商品好评”的概率．‎ 附：(其中）‎ ‎20．（12分）设函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式的解集为R，求实数m的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若点P的极坐标为（1，π），过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值．‎ ‎22．（12分）‎ 已知，，函数的最小值为1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：（5分×12=60分）‎ ‎1-12、AABCD BCDBD 二、填空题：（5分×4=20分）‎ ‎13. 14. 6 15. 16. ‎ 三、解答题：（共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）解：（1），，，，‎ ‎，，‎ 所以线性回归方程为：.‎ ‎（2）年利润 所以，预计当年产量吨时，年利润最大. ‎ ‎18．（12分）解：（1）∵‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）假设、、都小于，即，‎ 即有，‎ ‎∴，‎ 由（1）可知，矛盾，‎ 假设不成立，即原命题成立．‎ ‎19．解：(1) ,‎ 所以有的把握认为商品好评与服务好评有关.‎ ‎(2) 由表格可知“对商品的好评”的频率为,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易, 则好评的交易次数为3次, 不满意的次数为2次.‎ 设好评的交易为, 不满意的交易, 从5次交易中任意取出2次的所有取法为,, , , 共计10种情况, 其中只有一次好评的情况是,,,,,, 共计6种情况. 因此, 恰有一次好评的概率为.‎ ‎20．（12分）解：（1）当时，‎ 或，解得或，‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）不等式即，即.‎ 当时，因为，所以，又，则恒成立；‎ 当时，可化为，即，‎ 由题意得，解得. ‎ 又，所以实数m的取值范围是.‎ ‎21．（12分）解：‎ ‎（1）将曲线C的参数方程转化为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5，‎ 再转化为极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ﹣2ρsinθ．‎ ‎（2）点P的极坐标为（1，π），转换为直角坐标方程为（﹣1，0），‎ 所以经过点P的直线的参数方程为（t为参数），‎ 代入圆的直角坐标方程（x﹣2）2+（y+1）2＝5，‎ 得t2+（2sinα﹣6cosα）t+5＝0，‎ 所以t1+t2＝﹣2sinα+6cosα，t1t2＝5（t1，t2同号）‎ 所以 ‎,‎ 所以的最大值为.‎ ‎22．（12分）解：（1）令得，令得，‎ ‎∵，，∴，‎ 则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，所以；‎ ‎（2）∵恒成立，∴恒成立，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∴的最小值为，∴.‎