【数学】2018届一轮复习北师大版不等式的证明学案

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【数学】2018届一轮复习北师大版不等式的证明学案

第2讲 不等式的证明 ‎)‎ ‎1.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.‎ 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.‎ ‎2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.‎ ‎3.数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键是由n=k时不等式成立推证n=k+1时不等式成立,此步的证明要具有目标意识,要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较,以便确定解题方向.‎ ‎ 比较法证明不等式 ‎ 求证:(1)当x∈R时,1+2x4≥2x3+x2;‎ ‎(2)当a,b∈(0,+∞)时,aabb≥(ab).‎ ‎【证明】 (1)法一:(1+2x4)-(2x3+x2)‎ ‎=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)‎ ‎=(x-1)(2x3-x-1)‎ ‎ =(x-1)(2x3-2x+x-1)‎ ‎=(x-1)‎ ‎=(x-1)2(2x2+2x+1)‎ ‎=(x-1)2≥0,‎ 所以1+2x4≥2x3+x2.‎ 法二:(1+2x4)-(2x3+x2)‎ ‎=x4-2x3+x2+x4-2x2+1‎ ‎=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0,‎ 所以1+2x4≥2x3+x2.‎ ‎(2)=ab=,当a=b时,=1;当a>b>0时,>1,>0,>1;‎ 当b>a>0时,0<<1,<0,>1.‎ 所以aabb≥(ab). ‎ 作商比较法证明不等式的一般步骤 ‎(1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商;‎ ‎(2)变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式;‎ ‎(3)判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1;‎ ‎(4)结论.‎ ‎1.设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).‎ ‎ 由a,b是非负实数,作差得 a3+b3-(a2+b2)‎ ‎=a2(-)+b2(-)‎ ‎=(-).‎ 当a≥b时,≥,‎ 从而()5≥()5,‎ 得(-)≥0;‎ 当a0,‎ 所以a3+b3≥(a2+b2).‎ ‎2.已知a,b∈(0,+∞),求证abba≤(ab).‎ ‎ =ab-ba-=.‎ 当a=b时,=1;‎ 当a>b>0时,0<<1,‎ >0,<1.‎ 当b>a>0时,>1,<0,<1.‎ 所以abba≤(ab).‎ ‎ 用综合法、分析法证明不等式 ‎ 设x≥1,y≥1,求证x+y+≤++xy.‎ ‎【证明】 由于x≥1,y≥1,‎ 要证x+y+≤++xy,‎ 只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.‎ 因为-‎ ‎=-‎ ‎=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)‎ ‎=(xy-1)(xy-x-y+1)‎ ‎=(xy-1)(x-1)(y-1),‎ 因为x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ 分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程. ‎ ‎ 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:‎ ‎(1)ab+bc+ca≤;‎ ‎(2)++≥1.‎ ‎ (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,‎ 即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ ‎ 反证法证明不等式 ‎ 设0,(1-b)c>,(1-c)a>,‎ 三式相乘得(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>,①‎ 又因为00,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0.‎ ‎ (1)设a<0,因为abc>0,所以bc<0.‎ 又由a+b+c>0,则b+c>-a>0,‎ 所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾.‎ ‎(2)若a=0,则与abc>0矛盾,所以必有a>0.‎ 同理可证:b>0,c>0.‎ 综上可证a,b,c>0.‎ ‎ 放缩法证明不等式 ‎ 若a,b∈R,求证:≤+.‎ ‎【证明】 当|a+b|=0时,不等式显然成立.‎ 当|a+b|≠0时,‎ 由0<|a+b|≤|a|+|b|⇒≥,‎ 所以=≤= ‎=+≤+.‎ ‎“放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.‎ 常见的放缩变换有:‎ ‎(1)变换分式的分子和分母,如<,>,<,>.上面不等式中k∈N*,k>1; ‎ ‎(2)利用函数的单调性;‎ ‎(3)真分数性质“若00,则<”.‎ ‎ 在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.‎ ‎ 设n是正整数,求证:≤++…+<1.‎ ‎ 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.‎ 当k=1时,≤<;‎ 当k=2时,≤<;‎ ‎…‎ 当k=n时,≤<,‎ 所以=≤++…+<=1.‎ 所以原不等式成立.‎ ‎ 用数学归纳法证明不等式 ‎ 证明贝努利不等式:‎ 设x∈R,且x>-1,x≠0,n∈N,n>1,则(1+x)n>1+nx.‎ ‎【证明】 (1)当n=2时,因为x≠0.‎ 所以(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,‎ 即有(1+x)k>1+kx,‎ 则当n=k+1时,由于x>-1,x≠0. ‎ 所以(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)‎ ‎=1+x+kx+kx2>1+(k+1)x,‎ 所以当n=k+1时不等式成立.‎ 由(1)(2)可知,贝努利不等式成立.‎ 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤:‎ ‎(1)证明当n=n0(满足命题的最小的自然数的值)时,命题正确. ‎ ‎(2)在假设n=k(k≥n0)时命题正确的基础上,推证当n=k+1时,命题也正确.‎ 这两步合为一体才是数学归纳法,缺一不可.其中第一步是基础,第二步是递推的依据.‎ ‎ 证明:对于n∈N*,不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立.‎ ‎ (1)当n=1时,上式左边=|sin θ|=右边,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立, ‎ 即有|sin kθ|≤k|sin θ|.‎ 当n=k+1时,|sin(k+1)θ|=|sin kθcos θ+cos kθsin θ|‎ ‎≤|sin kθcos θ|+|cos kθsin θ|‎ ‎=|sin kθ|·|cos θ|+|cos kθ|·|sin θ|‎ ‎≤|sin kθ|+|sin θ|‎ ‎≤k|sin θ|+|sin θ|‎ ‎=(k+1)|sin θ|.‎ 所以当n=k+1时不等式也成立.‎ 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立.‎ ‎1.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(1)求a3+b3的最小值;‎ ‎(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎ (1)由=+≥,‎ 得ab≥2,且当a=b=时等号成立.‎ 故a3+b3≥2≥4,‎ 且当a=b=时等号成立.‎ 所以a3+b3的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.‎ 由于4>6,从而不存在a,b,‎ 使得2a+3b=6 .‎ ‎2.(2017·贵州省六校第一次联考)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:‎ ‎(1)++≥8;‎ ‎(2)≥9.‎ ‎ (1)因为a+b=1,a>0,b>0,‎ 所以++=++ ‎=2 ‎=2 ‎=2+4‎ ‎≥4 +4=8‎ ,‎ 所以++≥8.‎ ‎(2)因为=+++1,‎ 由(1)知++≥8.‎ 所以≥9.‎ ‎3.(2017·沈阳模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:‎ ‎(1)a+b+c≥.‎ ‎(2)++≥(++).‎ ‎ (1)要证a+b+c≥,‎ 由于a,b,c>0,‎ 因此只需证明(a+b+c)2≥3.‎ 即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3.‎ 而ab+bc+ca=1,‎ 故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),‎ 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.‎ 所以原不等式成立.‎ ‎(2)++=.‎ 在(1)中已证a+b+c≥.‎ 因此要证原不等式成 立,‎ 只需证明≥++,‎ 即证a+b+c≤1,‎ 即证a+b+c≤ab+bc+ca.‎ 而a=≤,‎ b≤,c≤,‎ 所以a+b+c≤ab+bc+ca.‎ ‎(当且仅当a=b=c=时等号成立).‎ 所以原不等式成立.‎ ‎4.(20 16·高考全国卷甲)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎ (1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,‎ 所以-1<x≤-;‎ 当-<x<时,f(x)<2恒成立;‎ 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,‎ 所以≤x<1.‎ 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.‎ ‎(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.‎ 因此|a+b|<|1+ab|.‎ ‎5.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,求证:++≥.‎ ‎ 法一:因为(a-d)‎ ‎= ‎≥3·3=9,‎ 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,‎ 所以++≥.‎ 法二:因为(a-d)‎ ‎= ‎≥=9,‎ 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,‎ 所以++≥.‎ ‎6.求证:+++…+<2.‎ ‎ 因为<=-,‎ 所以+++…+<1++++…+ ‎=1+++…+=2-<2.‎
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