【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量及其运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量及其运算学案

第6讲　空间向量及其运算 最新考纲　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.‎ 知 识 梳 理 ‎1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.‎ 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①‎ 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.‎ ‎(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.‎ ‎3.空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面(　　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b(　　)‎ ‎(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量(　　)‎ ‎(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角(　　)‎ 解析　对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，‎ ‎∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.‎ ‎∴AB∥CD.‎ 答案　B ‎3.(选修2－1P‎97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝1＋＝1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ 答案　A ‎4.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.‎ 解析　a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，∴|b|＝＝2.‎ 答案　2 ‎5.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.‎ 解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.‎ 答案　 ‎6.(2017·浙江三市十二校联考)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＝________；y＝________.‎ 解析　由题意知a∥b，则＝＝，可得 把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.‎ 当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.‎ 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－‎2a，向量a与b反向，不符合题意，故舍去.‎ 当时，b＝(1，2，3)＝a，向量a与b同向，故 答案　1　3‎ 考点一　空间向量的线性运算 ‎【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B‎1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)＋.‎ 解　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋ ‎＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 规律方法　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，‎ 这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.‎ ‎(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.‎ 提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.‎ ‎【训练1】 (2017·上饶期中)如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)‎ A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)‎ C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)‎ 解析　＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).‎ 答案　B 考点二　共线定理、共面定理的应用 ‎【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ 证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.‎ ‎(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ 规律方法　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎①＝λ(λ∈R)；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).‎ ‎(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎①＝x＋y；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；‎ ‎③∥(或∥或∥).‎ ‎(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.‎ ‎【训练2】 (1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________.‎ ‎(2)已知空间四点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则t的值为________.‎ 解析　(1)＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2).‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴m＝－7，n＝4，∴m＋n＝－3.‎ ‎(2)＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(3，2，t－2)，‎ ‎∵A，B，C，D四点共面，‎ ‎∴，，共面.‎ 设＝x＋y，‎ 即(3，2，t－2)＝(x－y，x，2y)，‎ 则解得∴t的值为0.‎ 答案　(1)－3　(2)0‎ 考点三　空间向量数量积的应用 ‎【例3】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.‎ ‎(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求MN的长；‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明　设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴⊥，即MN⊥AB.‎ 同理可证MN⊥CD.‎ ‎(2)解　由(1)可知＝(q＋r－p)，‎ ‎∴||2＝(q＋r－p)2‎ ‎＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]‎ ‎＝ ‎＝×‎2a2＝.‎ ‎∴||＝a.‎ ‎∴MN的长为a.‎ ‎(3)解　设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，‎ ＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)·(q－p)‎ ‎＝(q2－q·p＋r·q－r·p)‎ ‎＝(a2－a2cos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°)‎ ‎＝(a2－＋－)＝.‎ 又∵||＝||＝a，‎ ‎∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝，∴向量与的夹角的余弦值为，‎ 因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎ 规律方法　利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.‎ ‎(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎(2)|a|＝；‎ ‎(3)cos〈a，b〉＝.‎ ‎【训练3】 如图所示，四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长；‎ ‎(2)求证：AC1⊥BD；‎ ‎(3)求BD1与AC夹角的余弦值.‎ ‎(1)解　记＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)‎ ‎＝1＋1＋1＋2×＝6，‎ ‎∴|1|＝，即AC1的长为.‎ ‎(2)证明　∵＝a＋b＋c，＝b－a，‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)‎ ‎＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ‎＝b·c－a·c ‎＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.‎ ‎∴⊥，∴AC1⊥BD.‎ ‎(3)解　＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)‎ ‎＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.‎ ‎2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.‎ ‎3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.‎ ‎4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在利用＝x＋y①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示与，共面).‎ ‎2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.‎ ‎3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.‎ ‎4.a·b<0不等价为〈a，b〉为钝角，因为〈a，b〉可能为180°；‎ a·b>0不等价为〈a，b〉为锐角，因为〈a，b〉可能为0°. ‎