2011中考数学真题汇编专题1规律探索问题

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2011中考数学真题汇编专题1规律探索问题

第二篇 专题能力突破 专题一 规律探索问题 A组 2015年全国中考题组 一、选择题 ‎1.(2015·湖北黄冈中学自主招生,9,3分)两列数如下:‎ ‎7,10,13,16,19,22,25,28,31…‎ ‎7,11,15,19,23,27,31,35,39…‎ 第1个相同的数是7,第10个相同的数是 (  )‎ A.115 B.127 C.139 D.151‎ 解析 第一组数7,10,13,16,19,22,25,28,31,…‎ 第m个数为:3m+4;‎ 第二组数7,11,15,19,23,27,31,35,39,…‎ 第n个数为:4n+3.‎ ‎∵3与4的最小公倍数为12,‎ ‎∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.‎ ‎∵第一个相同的数为7,‎ ‎∴相同的数组成的数列的通式为12n-5.‎ 第10个相同的数是:12×10-5=120-5=115.‎ 答案 A ‎2.(2015·重庆(B),8,3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图1中有2个黑色正方形,图2中有5个黑色正方形,图3中有8个黑色正方形,图4中有11个黑色正方形,…,依此规律,图11中黑色正方形的个数是 (  )‎ A.32 B.29‎ C.28 D.26‎ 解析 观察图形发现:‎ 图1中有2个黑色正方形,‎ 图2中有2+3×(2-1)=5个黑色正方形,‎ 图3中有2+3×(3-1)=8个黑色正方形,‎ 图4中有2+3×(4-1)=11个黑色正方形,‎ ‎…,‎ 图n中有2+3×(n-1)=3n-1个黑色的正方形,‎ 当n=11时,2+3×(11-1)=32.‎ 答案 A ‎3.(2015·重庆(A),8,3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第1个图形中一共有6个小圆圈,第2个图形中一共有9个小圆圈,第3个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第7个图形中小圆圈的个数为 (  )‎ A.21 B.24‎ C.27 D.30‎ 解析 观察图形得:‎ 第1个图形有3+3×1=6个圆圈,‎ 第2个图形有3+3×2=9个圆圈,‎ 第3个图形有3+3×3=12个圆圈,‎ ‎…,‎ 第n个图形有3+3n=3(n+1)个圆圈.‎ 当n=7时,3×(7+1)=24,故选B.‎ 答案 B ‎4.(2015·浙江宁波,10,3分)一列数b0,b1,b2,…,具有下面的规律,b2n+1=bn,b2n+2=bn+bn+1,若b0=1,则b2 015的值是 (  )‎ A.1 B.6 C.9 D.19‎ 解析 ∵b2n+1=bn,b2n+2=bn+bn+1,∴b2 015=b1 007=b503=b251=b125=b62=b30+b31=b14+b15+b15=b6+b7+2b7=3b3+b2+b3=4b3+b0+b1=5b1+b0=6b0.‎ ‎∵b0=1,∴b2 015的值是6.‎ 答案 B ‎5.(2015·山东德州,5,4分)一组数1,1,2,x,5,y,…满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为 (  )‎ A.8 B.9 C.13 D.15‎ 解析 ∵每个数都等于它前面的两个数之和,‎ ‎∴x=1+2=3,∴y=x+5=3+5=8,‎ 即这组数中y表示的数为8.故选A.‎ 答案 A 二、填空题 ‎6.(2015·广东深圳,9,4分)观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第5个图形有________个太阳.‎ 解析 第一行小太阳的个数为1,2,3,4,…,第5个图形有5个太阳,第二行小太阳的个数是1,2,4,8,…,2n-1,第5个图形有24=16个太阳,所以第5个图形共有5+16=21个太阳.‎ 答案 21‎ ‎7.(2015·浙江湖州,16,4分)已知正方形ABC1D1的边长为1,延长C1D1到A1,以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3,(如图所示),以此类推…,若A1C1=2,过点A,D2,D3,…D10都在同一直线上,则正方形A9C9C10D10的边长是________.‎ 解析 设A1C1交AD10于点E,根据正方形的排放规律,可知,‎ ‎△AD1E∽△D2A1E,∴=,解得A1E=;‎ ‎△D2A1E∽△D3A2D2,∴=,解得A2D3=3,‎ ‎△A2D2D3∽△A3D3D4,∴=,解得A3D4=;‎ ‎△A3D3D4∽△A4D4D5,∴=,解得A4D5=;∴AnDn+1=,A9D10=(或).‎ 答案 (或)‎ 三、解答题 ‎8.(2015·四川自贡,22,12分)观察下表:‎ 我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”.例如,第1格的“特征多项式”为4a+b.回答下列问题:‎ ‎(1)第3格的“特征多项式”为________,第4格的“特征多项式”为________,第n格的“特征多项式”为________;‎ ‎(2)若第1格的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16,求a,b的值.‎ 解 (1)观察图形发现:‎ 第1格的“特征多项式”为 4a+b,‎ 第2格的“特征多项式”为 8a+4b,‎ 第3格的“特征多项式”为 12a+9b,‎ 第4格的“特征多项式”为16a+16b,‎ ‎…‎ 第n格的“特征多项式”为4na+n2b;‎ 故填12a+9b 16a+16b 4na+n2b.‎ ‎(2)∵第1格的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16,∴解得:a=-3;‎ b=2,∴a,b的值分别为-3和2.‎ B组 2014~2011年全国中考题组 一、选择题 ‎1.(2012·浙江丽水,10,3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律,图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,…称为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,…称为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是(  )‎ 图1           图2‎ A.2 010 B.2 012 C.2 014 D.2 016‎ 解析 ∵图1中各三角形的棋子数分别是3,6,9,12,…,‎ 显然都是3的倍数,图2中各正方形棋子数分别是4,8,12,16,…,显然都是4的倍数,∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除,而2 010,2 012,2 014,2 016四个数中,只有2 016能被12整除,故答案选D.‎ 答案 D ‎2.(2013·山东日照,11,4分)如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m,n的关系是 (  )‎ A.M=mn B.M=n(m+1)‎ C.M=mn+1 D.M=m(n+1)‎ 解析 方法一:验证法:A中等式不满足第一个图形,故排除A;B中等式不满足第一个图形,故排除B;C中等式不满足第二个图形,故排除C;故选D.方法二:观察三个图形中数字的变化,可知1×(2+1)=3,3×(4+1)=15,5×(6+1)=35,故M与m,n的关系是M=m(n+1),故选D.‎ 答案 D ‎3.(2014·重庆,10,4分)下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,…,依此规律,第五个图形中三角形的个数是 (  )‎ A.22 B.24 C.26 D.28‎ 解析 已知三个图形中三角形的数目为:2,8,14,求差为:8-2=6,14-8=6,差相等,所以各个数据可以看作:2=6-4,8=6×2-4,14=6×3-4,则第五个图形中三角形的个数是:6×5-4=26,故选C.‎ 答案 C ‎4.(2012·浙江绍兴,10,4分)如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点.第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD 交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;……;设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2).则AP6的长为 (  )‎ A. B. C. D. 解析 在Rt△ABC中,AC=4,AB=3,所以BC=5.又D是BC的中点,所以AD=.因为点A,D是一组对称点,所以AP1=×.因为D1是DP1的中点,所以AD1=××,∴AP2=×××,同理AP3=××(×)2,…,APn=××(×)n-1,所以AP6=××(×)6-1=××(×)5=,故应选A.‎ 答案 A ‎5.(2014·山东威海,12,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,…则依此规律,点A2 014的纵坐标为(  )‎ A.0 B.-3×()2 014‎ C.(2)2 014 D.3×()2 013‎ 解析 OA2====3×.同理可求:OA3=3×()2;OA4=3×()3......以此类推OAn=3×()n-1.又因为2 014÷4=503…2,所以点A2 014与点A2在同一半轴上,故点A2 014的纵坐标为3×()2 013,故选D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.★(2013·江西,11,3分)观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n的代数式表示).‎ 解析 第一个图形共有4个点,第二个图形共有9个点,第三个图形共有16个点,4,9,16都是完全平方数,故可看作4=(1+1)2,9=(2+1)2,16=(3+1)2,则第n个图形中所有点的个数为(n+1)2.‎ 答案 (n+1)2‎ ‎7.(2013·浙江湖州,15,4分)将连续的正整数按以下规律排列,则位于第七行、第七列的数x是________.‎ 第一列 ‎ 第二列 ‎ 第三列 ‎ 第四列 ‎ 第五列 ‎ 第六列 ‎ 第七列 ‎ ‎…‎ ‎ 第一行 ‎ ‎1 ‎ ‎3 ‎ ‎6 ‎ ‎10 ‎ ‎15 ‎ ‎21 ‎ ‎28 ‎ ‎ 第二行 ‎ ‎2 ‎ ‎5 ‎ ‎9 ‎ ‎14 ‎ ‎20 ‎ ‎27 ‎ ‎ 第三行 ‎ ‎4 ‎ ‎8 ‎ ‎13 ‎ ‎19 ‎ ‎26 ‎ ‎… ‎ ‎ 第四行 ‎ ‎7 ‎ ‎12 ‎ ‎18 ‎ ‎25 ‎ ‎… ‎ ‎ 第五行 ‎ ‎11 ‎ ‎17 ‎ ‎24 ‎ ‎… ‎ ‎ 第六行 ‎ ‎16 ‎ ‎23 ‎ ‎… ‎ ‎ 第七行 ‎ ‎22 ‎ ‎…‎ x ‎…‎ ‎… ‎ 解析 第一行的第一列与第二列相差2,第二列与第三列相差3,第三列与第四列相差4,…第六列与第七列相差7,第二行的第一列与第二列相差3,第二列与第三列相差4,第三列与第四列相差5,…第五列与第六列相差7,第三行的第一列与第二列相差4,第二列与第三列相差5,第三列与第四列相差6,第四列与第五列相差7,…第七行的第一列与第二列相差8,是30,第二列与第三列相差9,是39,第三列与第四列相差10,是49,第四列与第五列相差11,是60,第五列与第六列相差12,是72,第六列与第七列相差13,是85;故答案为85.‎ 答案 85‎ ‎8.(2014·贵州毕节,18,5分)观察下列一组数:,,,,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数据的第n个数是________.‎ 解析 分子依次为1,3,5,7,9,…,可表示为2n-1;分母依次为22,32,42,52,62,…,可表示为(n+1)2,所以第n个数是.‎ 答案  ‎9.(2012·浙江湖州,16,4分)如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形,若=,则正△ABC的边长是________.‎ 解析 设正△ABC的边长为x,则高为x,S△ABC=x·x=x2.∵所分成的都是正三角形,‎ ‎∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-,‎ 较短的对角线为(x-)=x-1,‎ ‎∴黑色菱形的面积==(x-2)2,‎ ‎∴==,‎ 整理得,11x2-144x+144=0,解得x1=(不符合题意,舍去),x2=12.∴△ABC的边长是12.‎ 答案 12‎ ‎10.(2014·江苏扬州,18,3分)设a1,a2,…,a2 014是从1,0,-1这三个数中取值的一列数,若a1+a2+…+a2 014=69,(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2 014+1)2=4 001,则a1,a2,…,a2 014中为0的个数是________.‎ 解析 设这些数中0的个数为a,则由a1+a2+a3+…+a2 014=69可知:1的个数比-1的个数要多69,即1的个数为,而-1的个数为;再考虑到另一个等式(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2 014+1)2=4 001,得到每个数+1后,其中平方后为4的数有个,1有a个,其余都是0,可知4·+a=4 001,解得a=165.‎ 答案 165‎ 三、解答题 ‎11.(2013·浙江绍兴,19,8分)如图,矩形ABCD中,AB=6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1;第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2;…;第n 次平移矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移5个单位,得到矩形AnBnCnDn(n≥2).‎ ‎(1)求AB1和AB2的长;‎ ‎(2)若ABn的长为56,求n.‎ 解 (1)由题意可得,B点向右平移5个单位到达B1点,故AB1=6+5=11;B1点再向右平移5个单位到达B2点,所以AB2=11+5=16;‎ ‎(2)由(1)知AB1=6+5,AB2=6+2×5,依此类推,AB3=6+3×5,…,ABn=6+5n,∴ABn=6+5n=56,n=10.‎
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