【数学】2018届一轮复习人教A版第十章10-2用样本估计总体学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章10-2用样本估计总体学案

1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就 得到频率分布折线图． (2)总体分布的密度曲线：将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率 折线图趋于一条光滑曲线，称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线． 3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边 生长出来的数． 4．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s＝ 1 n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]. (3)方差：s2＝1 n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是 样本平均数)． 【知识拓展】 1．频率分布直方图的特点 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率 组距 ，频率＝组距×频率 组距. (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定 值，所以各小长方形高的比也就是频率比． (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a 的平 均数是 m x ＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. ①数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2； ②数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息 就被抹掉了．( √ ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可 以只记一次．( × ) (5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 1. (教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位 数和平均数分别是__________． 答案 91.5 和 91.5 解析 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96， ∴中位数是91＋92 2 ＝91.5， 平均数 x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96 8 ＝91.5. 2．(2015·陕西改编)某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图 所示，则该校女教师的人数为________． 答案 137 解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 110×70%＋150×(1－60%)＝137. 3．一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9； [23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12； [35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3. 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是________． 答案 1 3 解析 由已知，样本容量为 66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为 12＋7＋3＝22，故所求概率 为22 66 ＝1 3. 4．(2016·江苏)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1 解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5 5 ＝5.1， 则方差 s2＝1 5[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 5．(2017·扬州质检)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 (单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株 树木中，有________株树木的底部周长小于 100 cm. 答案 24 解析 底部周长在[80,90)的频率为 0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为 0.025×10＝0.25， 样本容量为 60，所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 题型一 频率分布直方图的绘制与应用 例 1 (2016·北京)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费．从该市随机调查了 10 000 位居 民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： (1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米， w 至少定为多少？ (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 w＝3 时，估计该市居民该月的人 均水费． 解 (1)如图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85. ∴用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85，又 w 为整数， ∴为使 80%以上的居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为 3. (2)当 w＝3 时，该市居民该月的人均水费估计为 (0.1×1 ＋ 0.15×1.5 ＋ 0.2×2 ＋ 0.25×2.5 ＋ 0.15×3)×4 ＋ 0.15×3×4 ＋ [0.05×(3.5 － 3) ＋ 0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)． 即该市居民该月的人均水费估计为 10.5 元． 思维升华 (1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间 上的频率，所有小矩形的面积和为 1. (2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据． (2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随 机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分 布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表． A 地区用户满意度评分的频率分布直方图 图① B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 8 14 10 6 (1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)． B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 图② (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 解 (1)如图所示． 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高 于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度 评分比较分散． (2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；CB 表示事件：“B 地区用户的满意 度等级为不满意”． 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋ 0.02)×10＝0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 题型二 茎叶图的应用 例 2 (1)(2015·山东改编)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天， 将这 5 天中 14 时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论： ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为________． (2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)． 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为________． 答案 (1)①④ (2)5,8 解析 (1)甲地 5 天的气温为 26,28,29,31,31， 其平均数为 x 甲＝26＋28＋29＋31＋31 5 ＝29； 方差为 s2甲＝1 5[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6； 标准差为 s 甲＝ 3.6. 乙地 5 天的气温为 28,29,30,31,32， 其平均数为 x 乙＝28＋29＋30＋31＋32 5 ＝30； 方差为 s2乙＝1 5[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2； 标准差为 s 乙＝ 2. ∴ x 甲＜ x 乙，s 甲＞s 乙． (2)由茎叶图及已知得 x＝5，又乙组数据的平均数为 16.8，即9＋15＋10＋y＋18＋24 5 ＝16.8， 解得 y＝8. 引申探究 1．本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好． 解 由原题可知 x＝5， 则甲组平均数为9＋12＋15＋24＋27 5 ＝17.4. 而乙组平均数为 16.8，所以甲组成绩较好． 2．在本例(2)条件下：①求乙组数据的中位数、众数；②求乙组数据的方差． 解 ①由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为 9,15,18,18,24. 故中位数为 18，众数为 18. ②s2＝1 5[(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76. 思维升华 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布 直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记 录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐． (1)(2016·连云港模拟)一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取 5 人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班 5 名同学成绩的平均数为 81， 乙班 5 名同学成绩的中位数为 73，则 x－y 的值为________． (2)(2016·盐城模拟)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该 运动员在这五场比赛中得分的方差为________． 答案 (1)－3 (2)6.8 解析 (1)由题意得， 72＋77＋80＋x＋86＋90 5 ＝81⇒x＝0， 且易知 y＝3，∴x－y＝－3. (2)由茎叶图可得该运动员得分的平均数为 8＋9＋10＋13＋15 5 ＝11，则方差为 8－112＋9－112＋10－112＋13－112＋15－112 5 ＝6.8. 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例 3 (1)(2017·南京模拟)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果 如下： 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2 解析 x 甲＝1 5(87＋91＋90＋89＋93)＝90， x 乙＝1 5(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s2甲＝1 5[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s2乙＝1 5[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. (2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图． ①分别求出两人得分的平均数与方差； ②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 解 ①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋16 5 ＝13； x 乙＝13＋14＋12＋12＋14 5 ＝13， s2甲＝1 5[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4； s2乙＝1 5[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. ②由 s2甲>s2乙，可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高， 而乙的成绩则无明显提高． 思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的 情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波 动大小． (2016·全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机 器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使 用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以下柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件， 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台 机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解 (1)当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x>19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700. 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝ 3 800，x≤19， 500x－5 700，x>19 (x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的 最小值为 19. (3)若每台机器在购机的同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零 件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)， 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上 的费用为 4 000 元，10 台的费用为 4 500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数为 1 100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件． 9．高考中频率分布直方图的应用 考点分析 频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有填空题，也有解答题， 难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘 制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在 计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方 图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示 样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见 的错误． 典例 (14 分)(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对 居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)， 将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中 a 的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数． 规范解答 解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为 0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.[3 分] 由 1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得 a＝0.30.[5 分] (2)由(1)知，100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本 的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12＝36 000. [9 分] (3)设中位数为 x 吨． 因为前 5 组的频率之和为 0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前 4 组的频率之和为 0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以 2≤x<2.5.[12 分] 由 0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得 x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04.[14 分] 1．(2016·苏北四市模拟)从某班抽取 5 名学生测量身高(单位：cm) ，得到的数据为 160,162,159,160,159，则该组数据的方差 s2＝________. 答案 6 5 解析 数据的平均数为 160，则这组数据的方差 s2＝4＋1＋1 5 ＝6 5. 2．(2016·山东改编)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示 的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)， [22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小 时的人数是________． 答案 140 解析 设所求人数为 N， 则 N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140. 3．某一个班全体学生参加某次选拔测试，成绩的频率分布直方图如图，则可估计该班的平均 分是________． 答案 68 解析 由直方图可知各组的频率分别是 0.1,0.2,0.4,0.3，则可估计该班的平均分是 30×0.1＋ 50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68. 4．某公司 10 位员工的月工资(单位：元)为 x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为 x 和 s2， 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的平均数和方差分别为 __________． 答案 x ＋100，s2 解析 x1＋x2＋…＋x10 10 ＝ x ， yi＝xi＋100， 所以 y1，y2，…，y10 的均值为 x ＋100，方差不变． 5．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数 字 0～9 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1、a2，则 a1，a2 的大小关系为________． 答案 a2>a1 解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是 20，乙选手叶上的数字之 和是 25，故 a2>a1. 6．(2016·北京朝阳区期末)在一段时间内有 2 000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其 中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正 常行驶速度为 90 km/h～120 km/h，试估计 2 000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处 的汽车约有________辆． 答案 1 700 解析 以正常速度通过该处的汽车频率为 1－(0.01＋0.005)×10＝0.85，所以以正常速度通过 该处的汽车约有 0.85×2 000＝1 700(辆)． 7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 答案 2 解析 由题意可知样本的平均值为 1， 所以a＋0＋1＋2＋3 5 ＝1， 解得 a＝－1，所以样本的方差为 1 5[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 8．(2016·南京模拟)从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频 率分布直方图(如图)．由图中数据可知 a＝____________.若要从身高在[120,130)，[130,140)， [140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在[140,150] 内的学生中选取的人数应为________． 答案 0.030 3 解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为 0.700，∴a＝1－0.700 10 ＝0.030. 由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的学生分别为 30 人，20 人，10 人， ∴由分层抽样可知抽样比为18 60 ＝ 3 10 ， ∴在[140,150]中选取的学生应为 3 人． 9．若样本数据 x1，x2，…，x10 的标准差为 8，则数据 2x1－1,2x2－1，…，2x10－1 的标准差 为________． 答案 16 解析 若 x1，x2，…，xn 的标准差为 s，则 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的标准差为 as.由题 意 s＝8，则上述标准差为 2×8＝16. 10．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率 分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)， [40,60)，[60,80)，[80,100]．则 (1)图中的 x＝________； (2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，则该校 600 名新生中估计有 ________名学生可以申请住宿． 答案 (1)0.012 5 (2)72 解析 (1)由频率分布直方图知 20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)， 解得 x＝0.012 5. (2)上学时间不少于 1 小时的学生的频率为 0.12，因此估计有 0.12×600＝72(人)可以申请住宿． 11．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不 同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题： (1)求分数在[50,60]的频率及全班人数； (2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高． 解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10＝0.08. 由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为 2， 所以全班人数为 2 0.08 ＝25. (2)分数在[80,90]之间的频数为 25－2－7－10－2＝4， 频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为 4 25÷10＝0.016. 12．从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果 得到如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品的 80%”的规定？ 解 (1)如图所示： (2)质量指标值的样本平均数为 x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08 ＝100. 质量指标值的样本方差为 s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产 品至少要占全部产品的 80%”的规定． 13.某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：(a，b)，(a， b )，(a，b)，( a ，b)，( a ， b )，(a，b)，(a，b)， (a， b )，( a ，b)，(a， b )，( a ， b )，(a，b)，(a， b )，( a ，b)，(a，b)，其中 a， a 分别表示甲组研发成功和失败；b， b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分．试计算甲、乙两组研发新产 品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数 x 甲＝10 15 ＝2 3 ； 方差为 s2甲＝ 1 15[(1－2 3)2×10＋(0－2 3)2×5]＝2 9. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数 x 乙＝ 9 15 ＝3 5 ； 方差为 s2乙＝ 1 15[(1－3 5)2×9＋(0－3 5)2×6]＝ 6 25. 因为 x 甲> x 乙，s2甲

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