【物理】2018届一轮复习人教版电场能的性质学案
第2讲 电场能的性质
知|识|梳|理
微知识❶ 电场力做功与电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与初末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力所做的功。
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
微知识❷ 电势和等势面
1．电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
3．几种常见的典型电场的等势面比较
电场
等势面
(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂面上的电势相等
等量同种正点电荷的电场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
微知识❸ 电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功与移动的电荷的电荷量的比值。
(2)定义式：UAB＝。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
(4)影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关
，与零电势点的选取无关。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中A、B两点间沿电场线方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小
电场中，场强方向是指电势降落最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
基|础|诊|断
一、思维诊断
1．电场力做功与重力做功相似，均与路径无关(√)
2．电场中电场强度为零的地方电势一定为零(×)
3．电势降低的方向是电场强度的方向(×)
4．电场线与等势面在相交处垂直(√)
5．带电粒子只在电场力作用下一定从电势高的地方向电势低的地方运动(×)
二、对点微练
1．(电势和电势差)如图所示的同心圆是电场中的一簇等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是( )
A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
解析 该电场为负点电荷电场，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，选项A错误；根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，它具有的电势能越来越大，选项B正确；由于电场为非匀强电场，电势差UAB
φB>φC，选项D错误。
答案 B
2.(电场力做功与电势能变化的关系)(2017·广州质检)如图所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正电荷从A经B、C到达D点。从A到D，电场力对电荷做的功为( )
A．4.8×10－8 J B．－4.8×10－8 J
C．8.0×10－8 J D．－8.0×10－8 J
解析 电场力做功与路径无关，WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－4.8×10－8 J，B正确。
答案 B
3.(场强与电势差的关系)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－10 V，则C点的电势( )
A．φC＝10 V
B．φC＞10 V
C．φC＜10 V
D．上述选项都不正确
解析 由于A、C之间的电场线比C、B之间的电场线密，相等距离之间的电势差大，所以φC＜10 V，C正确。
答案 C
4．(等势面)将两金属球P、Q固定，让球P带上正电后，形成稳定的电场如图所示，已知实线为电场线，虚线为等势面，其中A、B、C、D为静电场中的四点，则( )
A．C、D两点的电场强度相同，电势相等
B．A、B两点的电势相同，电场强度不同
C．将电子从A点移至B点，电场力做负功
D．将电子从A点移至D点，电势能增大
解析 C、D两点在同一等势面上，电势相等，但场强方向不同，故电场强度不相同，则A选项错误；A、B两点不在同一等势面上，电势不相同，场强方向相反，电场强度不同，故B选项错误；由题图可知从A点移至B点电势降低，故将电子从A点移至B点，电场力做负功，则C选项正确；A点、D点在同一等势面上，故将电子从A点移至D点，电场力不做功，电势能不变，故D选项错误。
答案 C
核心微讲
1．电势高低的判断方法
(1)沿电场线方向，电势越来越低。
(2)判断出UAB的正负，再由UAB＝φA－φB，比较φA、φB的大小，若UAB>0，则φA>φB；若UAB<0，则φA<φB。
(3)依据电势能高低判断：正电荷的电势能大处的电势高，而负电荷电势能大处的电势低。
2．电势能大小的判断方法
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小；
电场力做负功，电势能增大
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大
能量守
恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
题组突破
1－1.(多选)等量异种点电荷电场线的分布如图所示，OO′是两点电荷连线的中垂线，一带电粒子仅在电场力作用下从a处沿虚线轨迹运动到b，则( )
A．a处的电势小于b处的电势
B．粒子在a处的电势能小于在b处的电势能
C．粒子在a处的加速度大小大于在b处的加速度大小
D．粒子在b处的速率大于在a处的速率
解析 如图所示，画出等量异种点电荷产生的等势面，沿着电场线的方向，电势在降低，故a处的电势大于b处的电势，选项A错误；根据粒子轨迹可知：该粒子带负电，从a处到b处，电场力做负功，电势能增加，动能减小，选项B正确，选项D错误；a、b两处，a处的电场线分布较密集，场强大，粒子受到的电场力大，加速度大，选项C正确。
答案 BC
1－2.(2015·江苏卷)(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
解析 电场线的疏密反映电场的强弱，因此a点的场强比b点的场强大，A正确。a在左侧负电荷附近且在与b同一电场线上某点电势相等，顺着电场线的方向电势逐渐降低，因此b点电势比a点电势高，B错误。两个负电荷在c点场强为零，而在d点的场强向下，正电荷在c、d点场强大小相等，方向相反，由电场的叠加可知，c点场强比d点场强大，C正确。在正电荷的电场中，c、d
两点的电势相等，而在负电荷的电场中离负电荷越远电势越高，因此c、d两点在三个点电荷电场中电势的代数和d点比c点高，D正确。
答案 ACD
(1)电势和电势能都是标量，具有相对性，其正负表示大小，某点电势为零，电荷在该点的电势能也一定为零。
(2)电势和电场强度是两个不同的物理量，分别从能的角度和力的角度描述电场，二者在大小上无必然联系。
核心微讲
1．匀强电场中任意两点间的电势差U和电场强度E的关系为U＝Ed或E＝，式中的d是这两点沿着电场线方向上的距离，即两点所在等势面间的距离。
2．U＝Ed在定量计算时适用于匀强电场，也可以用来定性判断非匀强电场的情况。如电场越强的地方等差等势面间的距离就越小，即等势面越密集。
3．推论：匀强电场中，沿任一方向(等势面除外)两点间的电势差与两点间的距离成正比，即U∝l，式中l是这两点间的距离。
典例微探
【例1】 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为零，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
解题导思：
(1)匀强电场中已知三点的电势，如何作出一条等势线？
答：找电势最高和电势最低的点连线，在连线上找出与第三点电势相等的点，连接两等势点的连线即为一条等势线。
(2)如何进一步画出电场线方向？
答：利用电场线与等势线在相交处垂直且指向电势低的方向即可得到电场线。
解析 根据题意，由匀强电场特点可知OA中点C的电势为3 V，与B点电势相等，则BC连线为等势线，自原点O向BC连线引垂线，垂足为D，D点电势为3 V，根据图中几何关系得＝，OD长度为1.5 cm，则场强为E＝＝200 V/m，本题只有选项A正确。
答案 A
题组微练
2－1.(多选)如图，在正点电荷Q的电场中有M、N、P和F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M＝30°，M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示，已知φM＝φN，φP＝φF，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则( )
A．点电荷Q一定在MP连线上
B．连接PF的线段一定在同一个等势面上
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D．φP大于φM
解析 根据正点电荷的电场的特点可知，点电荷的电场的等势面是以点电荷为中心的同心球面，故分别作MN连线的中垂线和PF连线的中垂线，如图所示，根据图中几何关系可知，两条线交MP于A点，即点电荷在A点，选项A正确、B错误；将正试探电荷从P
点搬运到N点，电场力做正功，选项C错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，故φP>φM，选项D正确。
答案 AD
2－2.(多选)一空间存在匀强电场，场中A、B、C、D四个点恰构成正四面体，如图所示。已知电场强度大小为E，方向平行于正四面体的底面ABC，正四面体棱长为2 cm。已知UAC＝6 V、UBC＝6 V，则可判断( )
A．UDC＝4 V B．UDC＝3 V
C．E＝200 V/m D．E＝ V/m
解析 如图所示，UAC＝6 V、UBC＝ 6 V，则AB在同一条等势线上，从C点向AB线作垂线，垂足为M，则MC为电场线且电场方向由M指向C，由几何关系可得MC＝3 cm，由E＝＝200 V/m，C正确，D错误；从D点向MC作垂线，垂足为O，则OC＝2 cm，UDC＝UOC＝200×0.02 V＝4 V，A正确，B错误。
答案 AC
核心微讲
分析力、电综合问题的三个有效途径
1．建立物体受力图景
①弄清物理情境，选定研究对象；
②对研究对象按顺序进行受力分析，画出受力图；
③应用力学规律进行归类建模。
2．建立能量转化图景
各种不同的能量之间相互转化时，遵守能量守恒定律，运用能量观点，建立能量转化图景是分析解决力、电综合问题的有效途径。
3．运用等效思维法构建物理模型
电场力和重力做功均与路径无关，在同一问题中可将它们合成一个等效重力，从而使问题简化。在对物理过程分析的基础上构建相应的物理模型，是一种科学的思维方法。
典例微探
【例2】如图所示，在绝缘水平面上，有相距为L的A、B两点，分别固定着两个带电荷量均为Q的正电荷。O为AB连线的中点，a、b是AB连线上两点，其中Aa＝Bb＝。一质量为m、电荷量为＋q的小滑块(可视为质点)以初动能Ek0从a点出发，沿AB直线向b运动，其中小滑块第一次经过O点时的动能为2Ek0，第一次到达b点时的动能恰好为零，小滑块最终停在O点，已知静电力常量为k。求：
(1)小滑块与水平面间滑动摩擦力的大小；
(2)小滑块刚要到达b点时加速度的大小和方向；
(3)小滑块运动的总路程s。
解题导思：
(1)分析电场分布特点，a、b间电势差为多少？
答：Uab＝0。
(2)滑块到达b点时速度为零，此时受摩擦力作用吗？
答：此时速度为零，但不是静止状态，之后会反向加速，此时受到摩擦力作用。
(3)电场力做功与路径有关吗？滑动摩擦力做功与路径有关吗？
答：电场力做功与路径无关，滑动摩擦力做功与路径有关。
解析 由Aa＝Bb＝，O为AB连线的中点可知a、b关于O点对称，则a、b之间的电势差为Uab＝0。
(1)设小滑块与水平面间摩擦力的大小为F，滑块从a→b的过程，由动能定理得q·Uab－F·＝0－Ek0。
解得F＝。
(2)根据库仑定律，小滑块刚要到达b点时受到的库仑力的合力为F′＝－＝。
根据牛顿第二定律，小滑块刚要到达b点时加速度的大小为a＝＝＋，
方向由b指向O(或向左)。
(3)设滑块从a→O的过程中电场力做功为W，由动能定理得W－FL＝2Ek0－Ek0。
解得W＝1.5Ek0。
对于小滑块从a开始运动到最终在O点停下的整个过程中，由动能定理得W－Fs＝0－Ek0。
解得s＝1.25L。
答案 (1) (2)＋，方向由b指向O
(3)1.25L
题组微练
3－1.(多选)如图所示，长为L的绝缘轻杆在水平向右的匀强电场中，杆与电场线垂直，杆两端固定带电小球A和B，初始时处于图中实线位置。现将轻杆向右平移2L，然后以球B
为轴在纸面内顺时针转动90°到图中虚线位置，杆与电场线平行，在实线位置和虚线位置，A、B两球电势能之和相同。不考虑带电小球之间的相互作用。则( )
A．A球所带电荷量绝对值比B球的大
B．A球所带电荷量绝对值比B球的小
C．从实线位置到虚线位置的过程中，电场力对A球一定做正功
D．从实线位置到虚线位置的过程中，电场力对B球可能做正功
解析 在实线位置和虚线位置，A、B两球电势能之和相同，则由实线到虚线，两球电势能变化量绝对值相等，电场力做功绝对值相等，而A初末位置的电势差大于B初末位置的电势差，由W＝qU得知，A球所带电荷量绝对值比B球的小，故A错误、B正确；由于两球的电性未知，不能确定电场力做功的正负，电场力对A球可能做正功，对B球做负功，也可能电场力对A球做负功，对B球做正功，故C错误、D正确。
答案 BD
3－2.(多选)光滑绝缘的水平面上方存在一个水平方向的电场，电场线与x轴平行，电势φ与坐标值x的关系式为：φ＝106x(φ的单位为V，x的单位为m)。一带正电小滑块P，从x＝0处以初速度v0沿x轴正方向运动，如图所示，则( )
A．电场的场强大小为106 V/m
B．电场方向沿x轴正方向
C．小滑块的电势能一直增大
D．小滑块的电势能先增大后减小
解析 根据场强与电势差的关系可知，E＝＝106 V/m，A项正确；沿x轴正方向电势升高，由沿电场线方向电势不断降低可知，电场方向应沿x轴负方向，B项错误；小滑块带正电，受电场力方向水平向左，故小滑块先向右减速再反向加速运动，因此电场力先做负功再做正功，其电势能先增大后减小，C项错误，D项正确。
答案 AD
静电场中的图象问题
核心微讲
1．v－t图象：根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向，电势的高低及电势能的变化。
2．φ－x图象：(1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零。(2)在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。(3)在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
3．E－t图象：根据题中给出的E－t图象，确定E的方向，再画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布。
4．Ep－x图象：Ep－x图象提供了势能随距离x的变化信息，图象斜率的绝对值表示电场力，求解时充分利用功能关系。
母题导航
【母题】 一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图所示。下列图象中合理的是( )
A．电场强度与位移关系
B．粒子动能与位移关系
C．粒子速度与位移关系 D．粒子加速度与位移关系
解析 在粒子运动中的某一小段位移Δx内电场力做功qEΔx。由功能关系知ΔEp＝－qE·Δx，即＝－qE，Ep—x图线斜率的绝对值表示电场力，故由图线可知E逐渐减小，A错误；因粒子仅受电场力作用，由qE＝ma可知a也逐渐减小，D正确；再由动能定理有ΔEk＝qE·Δx，即＝qE，Ek—x图线的斜率也表示电场力，则Ek—x图线应是一条斜率逐渐减小的曲线，B错误；由v2＝2ax有v＝，可知v－x图线应是一条曲线，故C错误。
答案 D
特别提醒：我们解题要注意以下三方面：
(1)分析图象找出带电粒子或带电体的运动规律是解题的突破点。
(2)注意分析图象特点，找出图象的斜率、截距等，明确其意义，如Ep－x的斜率表示带电粒子受到的电场力，根据斜率的变化规律可以分析出物体受力情况、加速度情况等。
(3)分析图象时注意与动能定理、功能关系、能量守恒定律或牛顿运动定律相结合，找出图象的数学表达式或物理量的变化规律。
子题微练
1．(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
解析 由题图可知，将正电荷沿x轴正向移动，从x2移动到x4的过程电场力做功不为零，两点处的电势能不相等，选项A错误；从x1运动到x3的过程电场力沿x轴负方向，电场力做负功，电势能增大，选项B正确；从x1运动到x4的过程场强先增大后减小，所以电场力先增大后减小，选项C正确，D错误。
答案 BC
2．两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确的是( )
A．q1、q2为等量异种电荷
B．N、C两点间场强方向沿x轴负方向
C．N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小
解析 根据q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低可判断两者均为正电荷，A错。N、
C间的电场方向沿x轴正方向，C点场强为0，B错。根据ND段图线的斜率大小先减小后增大可知，场强先减小到零后反向增大，C正确；正电荷从N移到D，由Ep＝qφ知，电势能先减小后增大，D错。
答案 C
1．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
解析 电场中等势面上各点电势相等，故电势不同的等势面不可能相交，A项错误；电场线与等势面处处垂直，B项正确；电场强度与等势面的疏密程度有关，C项错误；电势较高点与电势较低点的电势差大于0，由W＝qU知，负电荷受到的电场力做负功，D项错误。
答案 B
2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆。带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
解析 由点电荷电场强度公式E＝k可知，离场源点电荷P越近，电场强度越大，Q
受到的电场力越大，由牛顿第二定律可知，加速度越大，由此可知，ab>ac>aa，A、B选项错误；由力与运动的关系可知，Q受到的库仑力指向运动轨迹凹的一侧，因此Q与P带同种电荷，Q从c到b的过程中，电场力做负功，动能减少，从b到a的过程中电场力做正功，动能增加，因此Q在b点的速度最小，由于c、b两点的电势差的绝对值小于a、b两点的电势差的绝对值，因此Q从c到b的过程中，动能的减少量小于从b到a的过程中动能的增加量，Q在c点的动能小于在a点的动能，即有va>vc>vb，D选项正确。
答案 D
3．(2017·安徽联考)图甲中直线PQ表示电场中的一条电场线，质量为m，电荷量为q的带负电粒子仅在电场力作用下沿电场线向右运动，经过P点时速度为v0，到达Q点时速度减为零，粒子运动的v －t图象如图乙所示，下列判断不正确的是( )
甲
乙
A．P点电势高于Q点电势
B．P点场强大于Q点场强
C．P、Q两点的电势差为
D．带负电粒子在P点的电势能大于在Q点的电势能
解析 由图乙知带电粒子的速度减小，受到向左的电
场力，故电场线方向向右，P点电势一定高于Q点电势，故A正确；由乙图可知，P处的加速度大于Q处的加速度，故P处的场强大于Q处的场强，故B正确；由动能定理知qUPQ＝mv，可求出PQ两点的电势差为，故C正确；负电荷在电势低的地方电势能大，故电荷在P点的电势能一定小于Q点的电势能，故D错误。
答案 D
4．(2015·四川卷)(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O。最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零，则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
解析 小球a从N到Q过程中，离小球b越来越近，电势能逐渐增大，C正确。N到Q过程中，重力做正功，库仑力做负功，重力功率逐渐减小为零，库仑力功率由零逐渐增大，总功率先为正，后为负，小球速率先增大后减小，B正确。P到Q过程中，重力和库仑力都做负功，重力势能和电势能增加量等于动能减少量，D错误。
答案 BC
