武汉市中考数学试题及答案解析

武汉市中考数学试题及答案解析

‎2012年湖北省武汉市中考数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2012武汉）在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　）‎ ‎　 A． 2.5 B． ﹣‎2.5 ‎C． 0 D． 3‎ 考点：有理数大小比较。‎ 解答：解：∵﹣2.5＜0＜2.5＜3，‎ ‎∴最小的数是﹣2.5，‎ 故选B．‎ ‎2．（2012武汉）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． x＜3 B． x≤‎3 ‎C． x＞3 D． x≥3‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，‎ 解得x≥3．‎ 故选D．‎ ‎3．（2012武汉）在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（　　）‎ ‎　 A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。‎ 解答：解：x﹣1＜0，‎ ‎∴x＜1，‎ 在数轴上表示不等式的解集为：‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎4．（2012武汉）从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（　　）‎ ‎　 A． 标号小于6 B． 标号大于‎6 ‎C． 标号是奇数 D． 标号是3‎ 考点：随机事件。‎ 解答：解：A．是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确；‎ B．是不可能发生的事件，故选项错误；‎ C．是随机事件，故选项错误；‎ D．是随机事件，故选项错误．‎ 故选A．‎ ‎5．（2012武汉）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（　　）‎ ‎　 A． ﹣2 B． ‎2 ‎C． 3 D． 1‎ 考点：根与系数的关系。‎ 解答：解：由一元二次方程x2﹣3x+2=0，‎ ‎∴x1+x2=3，‎ 故选C．‎ ‎6．（2012武汉）某市2012年在校初中生的人数约为23万．数230000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　 A． 23×104 B． 2.3×‎105 ‎C． 0.23×103 D． 0.023×106‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 解答：解：23万=230 000=2.3×105．‎ 故选B．‎ ‎7．（2012武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）‎ ‎　 A． 7 B． ‎8 ‎C． 9 D． 10‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 解答：解：∵△DEF由△DEA翻折而成，‎ ‎∴EF=AE=5，‎ 在Rt△BEF中，‎ ‎∵EF=5，BF=3，‎ ‎∴BE===4，‎ ‎∴AB=AE+BE=5+4=9，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴CD=AB=9．‎ 故选C．‎ ‎8．（2012武汉）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 解答：解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．‎ 故选D．‎ ‎9．（2012武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a4的值为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点：规律型：数字的变化类。‎ 解答：解：将a1=代入an=得到a2==，‎ 将a2=代入an=得到a3==，‎ 将a3=代入an=得到a4==．‎ 故选A．‎ ‎10．（2012武汉）对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（　　）‎ ‎　 A． 2.25 B． ‎2.5 ‎C． 2.95 D． 3‎ 考点：加权平均数；扇形统计图；条形统计图。‎ 解答：解：总人数为12÷30%=40人，‎ ‎∴3分的有40×42.5%=17人 ‎2分的有8人 ‎∴平均分为：=2.95‎ 故选C．‎ ‎11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步‎500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（　　）‎ ‎　 A． ①②③ B． 仅有①② C． 仅有①③ D． 仅有②③‎ 考点：一次函数的应用。‎ 解答：解：甲的速度为：8÷2=‎4米/秒；‎ 乙的速度为：500÷100=‎5米/秒；‎ b=5×100﹣4×（100+2）=‎92米；‎ ‎5a‎﹣4×（a+2）=0，‎ 解得a=8，‎ c=100+92÷4=123，‎ ‎∴正确的有①②③．‎ 故选A．‎ ‎12．（2012武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（　　）‎ ‎　 A． 11+ B． 11﹣‎ ‎　 C． 11+或11﹣ D． 11﹣或1+‎ 考点：平行四边形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=5，BC=AD=6，‎ ‎①如图：‎ 由平行四边形面积公式地：BC×AE=CD×AF=15，‎ 求出AE=，AF=3，‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，‎ 把AB=5，AE=代入求出BE=，‎ 同理DF=3，‎ ‎∴CE=6﹣，CF=5﹣3，‎ 即CE+CF=11﹣，‎ ‎②如图：‎ ‎∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，‎ 同理DF=3，‎ 由①知：CE=6+，CF=5+3，‎ ‎∴CE+CF=11+，‎ 故选C．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．tan60°= ．‎ 考点：特殊角的三角函数值。‎ 解答：解：tan60°的值为．‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2012武汉）某校九（1）班8名学生的体重（单位：kg）分别是39，40，43，43，43，45，45，46．这组数据的众数是 ．‎ 考点：众数。‎ 解答：解：在这一组数据中43是出现了3次，次数最多，‎ 故众数是43．‎ 故答案为：43．‎ ‎15．（2012武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 解答：解：连DC，如图，‎ ‎∵AE=3EC，△ADE的面积为3，‎ ‎∴△CDE的面积为1，‎ ‎∴△ADC的面积为4，‎ 设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=‎2a，‎ 而点D为OB的中点，‎ ‎∴BD=OD=b，‎ ‎∵S梯形OBAC=S△ABO+S△ADC+S△ODC，‎ ‎∴（a+‎2a）×b=a×b+4+×‎2a×b，‎ ‎∴ab=，‎ 把A（a，b）代入双曲线y=，‎ ‎∴k=ab=．‎ 故答案为．‎ ‎16．（2012武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．‎ 考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。‎ 解答：解：‎ 当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，‎ AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=，‎ ‎∵∠BOA=∠AC′O=90°，‎ ‎∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°，‎ ‎∴∠BOC′=∠OAC′，‎ tan∠BOC==，‎ 随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°，‎ ‎∴tan∠BOC≥，‎ 故答案为：≥．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎17．（2012武汉）解方程：．‎ 考点：解分式方程。‎ 解答：解：方程两边都乘以3x（x+5）得，‎ ‎6x=x+5，‎ 解得x=1，‎ 检验：当x=1时，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0，‎ 所以x=1是方程的根，‎ 因此，原分式方程的解是x=1．‎ ‎18．（2012武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（﹣1，1），求不等式kx+3＜0的解集．‎ 考点：一次函数与一元一次不等式。‎ 解答：解：如图，∵将（﹣1，1）代入y=kx+3得1=﹣k+3，‎ ‎∴k=2，‎ 即y=2x+3，‎ 当y=0时，x=﹣，‎ 即与x轴的交点坐标是（﹣，0），‎ 由图象可知：不等式kx+3＜0的解集是x＜﹣．‎ ‎19．（2012武汉）如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．‎ 考点：全等三角形的判定与性质。‎ 解答：证明：∵∠DCA=∠ECB，‎ ‎∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，‎ ‎∴∠DCE=∠ACB，‎ ‎∵在△DCE和△ACB中 ‎，‎ ‎∴△DCE≌△ACB，‎ ‎∴DE=AB．‎ ‎20．（2012武汉）一个口袋中有4个相同的小球，分别与写有字母A，B，C，D，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．‎ ‎（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果；‎ ‎（2）求两次抽出的球上字母相同的概率．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 解答：解：（1）如图所示：‎ 则共有16种等可能的结果；‎ ‎（2）由树形图可以看出两次字母相同的概率为=．‎ ‎21．（2012武汉）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．‎ ‎（1）画出线段A1B1，A2B2；‎ ‎（2）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．‎ 考点：作图-旋转变换；弧长的计算。‎ 解答：解：（1）所作图形如下：‎ ‎（2）由图形可得：AA1=，==，‎ 故点A经过A1到达A2的路径长为：+．‎ ‎22．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，‎ ‎（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；‎ ‎（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．‎ 考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。‎ 解答：（1）解：作直径CD，连接BD，‎ ‎∵CD是直径，‎ ‎∴∠DBC=90°，∠A=∠D，‎ ‎∵BC=4，sin∠A=，‎ ‎∴sin∠D==，‎ ‎∴CD=5，‎ 答：三角形ABC外接圆的直径是5．‎ ‎（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，‎ ‎∵AB=BC=4，I为△ABC内心，‎ ‎∴BF⊥AC，AF=CF，‎ ‎∵sin∠A==，‎ ‎∴BF=，‎ 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=，‎ AC=2AF=，‎ ‎∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，‎ ‎∴IE=IF=IG，‎ 设IE=IF=IG=R，‎ ‎∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，‎ ‎∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，‎ 即4×R+4×R+×R=×，‎ ‎∴R=，‎ 在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：AI=．‎ 答：AI的长是．‎ ‎23．（2012武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=‎16米，AE=‎8米，抛物线的顶点C到ED的距离是‎11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于‎5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 解答：解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），‎ ‎∴‎64a+11=8，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2+11；‎ ‎（2）水面到顶点C的距离不大于‎5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，‎ ‎∴6=﹣（t﹣19）2+8，‎ 解得t1=35，t2=3，‎ ‎∴35﹣3=32（小时）．‎ 答：需32小时禁止船只通行．‎ ‎24．（2012武汉）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6‎ ‎（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点M，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；‎ ‎（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．‎ ‎①请你在所给的网格中画出格点△A1B‎1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）‎ ‎②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．‎ 考点：作图—相似变换。‎ 解答：解：（1）①△AMN∽△ABC，‎ ‎∴=‎ ‎∵M为AB中点，AB=2，‎ ‎∴AM=，‎ ‎∵BC=6，‎ ‎∴MN=3；‎ ‎②△AMN∽△ACB，‎ ‎=，‎ ‎∵BC=6，AC=4，AM=，‎ ‎∴MN=1.5；‎ ‎（2）①如图所示：‎ ‎②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．‎ ‎25．（2012武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；‎ ‎（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则：‎ ‎，解得 ‎∴直线AB解析式为y=2x﹣2．‎ ‎∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴点C的坐标为（4，6）．‎ ‎（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．‎ ‎∴yD=4，yE=，∴DE=． ‎ ‎∵FG=DE=4：3，∴FG=2．‎ ‎∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．‎ ‎∴yF=‎2a﹣2，yG=a2﹣2‎ ‎∴FG=|‎2a﹣a2|=2，‎ 解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．‎ ‎（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；‎ 设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；‎ ‎∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．‎ ‎∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．‎ ‎∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴N（2﹣t，2﹣2t）．‎ NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，‎ ‎∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．‎ ‎∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，‎ ‎∴MO=OT，HT=HN ‎∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．‎ ‎∵PN平分∠MNQ，‎ ‎∴PT=NT，‎ ‎∴﹣t+t2=（2﹣t），‎ ‎∴t1=﹣2，t2=2（舍）‎ ‎﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．‎