高考数学试卷分析理

高考数学试卷分析理

‎ 2013年高考数学试卷分析（理）‎ ‎ 承担校区 试卷分析人 ‎ 三、解答题 ‎18、本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)由题　意得 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)设数列（Ⅰ）得 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 综上所述，‎ ‎19.本题主要考查随机事件的概率和随机量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。‎ ‎(Ⅰ) ,由题意得 故　‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以的分布列为 ‎(Ⅱ)由题意知的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以 ‎ 化简得：‎ 解得 ‎20．（本题满分15分）如图，在四面体中，，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求的大小．‎ ‎【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的运用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。‎ ‎【解析】方法一：‎ ‎（1）取的中点，在线段上取点，使得，连结，‎ 因为，所以，且．‎ 因为分别为，的中点，所以是的中位线，‎ 所以，且．‎ 又因为点是的中点，所以，．‎ 从而．‎ 所以四边形为平行四边形，故．‎ 又，，所以．‎ ‎（2）作于点，作于点，连结．‎ 因为，，所以．‎ 又，，故，又，所以．‎ 又，，故，所以，．‎ 所以为二面角的平面角，即．‎ 设．‎ 在中，‎ ‎．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 所以．从而，即．‎ 方法二:‎ ‎（1）如图，取的中点，以为原点，所在射线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系．‎ 由题意知．‎ 设点的坐标为，因为，所以 ‎．‎ 因为是的中点，故，又是的中点，，故，所以．‎ 又平面的一个法向量为，故．‎ 又，所以．‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，‎ 由知：‎ 取得．‎ 易知平面的一个法向量为，于是 ‎，即①‎ 又，所以，故，即②‎ 联立①，②解得，‎ 所以．‎ 又是锐角，所以．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径．是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积取最大值时直线的方程．‎ ‎【分析】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。‎ ‎【解析】（1）由题意得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设．由题意知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为．‎ 又圆，故点到直线的距离为，‎ 所以．‎ 又，故直线的方程为．‎ 由消去，整理得．‎ 故．所以．‎ 设的面积为，则，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 所以所求的的方程为 ‎22.（本题满分14分）已知，函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求的最大值.‎ ‎【分析】本题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分析解决问题的能力。‎ ‎【解析】（1）由题意，故.‎ 又，所以所求的切线方程为.‎ ‎（2）由于，故 ‎ ①当时，有，此时在上单调递减，故 ‎.‎ ‎ ②当时，有，此时在上单调递增，故 ‎ ③当时，设，则 ‎ ，.‎ 列表如下：‎ 极大值 极小值 由于，‎ 故，‎ 从而，所以，‎ ‎1）当时，.‎ 又，‎ 故.‎ ‎2）当时，，且.‎ 又，‎ ‎ ①当时，，故 ‎ ②当时，，故 综上：‎