中考数学专题特训第二讲：实数的运算(含详细参考答案)

中考数学专题特训第二讲：实数的运算(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二讲：实数的运算 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 实数的运算。‎ ‎1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。‎ ‎2、运算法则：‎ 加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。‎ 减法，减去一个数等于 。‎ 乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。‎ 除法：除以一个数等于乘以这个数的 。‎ 乘方：(-a) 2n +1 = (-a) 2n = ‎ ‎3、运算定律：加法交换律：a+b= ‎ ‎ 加法结合律：(a+b)+c= ‎ ‎ 乘法交换律：ab= ‎ ‎ 乘法结合律：（ab）c= ‎ ‎ 分配律： （a+b）c= ‎ 二、零指数、负整数指数幂。‎ ‎ = （a≠0） a-p= （a≠0） ‎ ‎【提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）-1= 】‎ 三、实数的大小比较：‎ ‎1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。‎ ‎2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。‎ ‎【提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较的大小，可以先确定和的取值范围，然后得结论：+2 -2。】‎ ‎【重点考点例析】‎ 考点一：实数的大小比较。‎ 例1 （2012•西城区）已知的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2-a-b的值为 ．‎ 思路分析：由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，即得出a和b，然后代入代数式求值．‎ 解：∵3＜＜4，‎ ‎∴a=3，b=-3，‎ 则a2-a-b=32-3-（-3）=9-3-+3=9-，‎ 故答案为：9-．‎ 点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．‎ 例2 （2012•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=，乙=，丙=，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（　　）‎ A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲=乙=丙 ‎ 思路分析：本题可先估算无理数的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．‎ 解：∵3=＜＜=4，‎ ‎∴8＜5+＜9，‎ ‎∴8＜甲＜9；‎ ‎∵4=＜＜=5，‎ ‎∴7＜3+＜8，‎ ‎∴7＜乙＜8，‎ ‎∵4= ＜＜=5，‎ ‎∴5＜1+＜6，‎ ‎∴丙＜乙＜甲 ‎ ‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．‎ 对应训练 ‎1．（2012•南京）12的负的平方根介于（　　）‎ A．-5与-4之间 B．-4与-3之间 C．-3与-2之间 D．-2与-1之间 ‎1．B．‎ ‎2．（2012•宁夏）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b= ．‎ ‎2．7‎ 考点二：实数的混合运算。‎ 例3 （2012•岳阳）计算：．‎ 思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解：原式=3-+3-1+2× ‎ ‎=3-+3-1+ ‎ ‎=5．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．‎ 对应训练 ‎3．（2012•肇庆）计算：．‎ ‎3．解：原式= ‎ ‎= ‎ ‎=．‎ 考点三：实数中的规律探索。‎ 例4 （2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 ‎=ad-bc．例如：，．‎ ‎（1）按照这个规定，请你计算的值；‎ ‎（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，的值．‎ 思路分析：（1）根据符号的意义得到=5×8-7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；‎ ‎（2）利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2，则=，然后根据符号的意义得到3×1-4×1，再进行实数的运算．‎ 解：（1）=5×8-7×6=-2；‎ ‎（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴==3×1-4×1=-1．‎ 点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．‎ 对应训练 ‎【聚焦山东中考】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•泰安）下列各数比-3小的数是（　　）‎ A．0 B．1 C．-4 D．-1‎ ‎1．C ‎2．（2012•聊城）计算的结果是（　　）‎ A． B． C．-1 D．1 ‎ ‎2．A ‎3．（2012•菏泽）在算式的 中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）‎ A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 ‎ ‎3．D 二、填空题 ‎1．（2012•德州） ．（填“＞”、“＜”或“=”）‎ ‎1．＞‎ ‎2．（2012•济南）计算：2sin30°= ．‎ ‎2．-3‎ 解：2sin30° =2×-4=1-4=-3．‎ 故答案为：-3．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•重庆）在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是（　　）‎ A．-3 B．-1 C．0 D．2‎ ‎1．A ‎2．（2012•桂林）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是（　　）‎ A．桂林11.2℃ B．广州13.5℃ C．北京-4.8℃ D．南京3.4℃‎ ‎2．C ‎3．（2012•莆田）下列各数中，最小的数是（　　）‎ A．-l B．0 C．1 D． ‎ ‎3．A ‎4．（2012•肇庆）计算-3+2的结果是（　　）‎ A．1 B．-1 C．5 D．-5‎ ‎4．B ‎5．（2012•南通）计算6÷（-3）的结果是（　　）‎ A． B．-2 C．-3 D．-18 ‎ ‎5．B ‎6．（2012•滨州）-23等于（　　）‎ A．-6 B．6 C．-8 D．8‎ ‎6．C ‎7．（2012•黑龙江）若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（　　）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2012‎ ‎7．C ‎8．（2012•义乌市）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）‎ A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 ‎8．B ‎9．（2012•天津）估计的值在（　　）‎ A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 ‎ ‎9．B 二、填空题 ‎10．（2012•绵阳）比-1℃低2℃的温度是 ℃．（用数字填写）‎ ‎10．-3‎ ‎11．（2012•扬州）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是 ．‎ ‎11．8℃‎ ‎13．（2012•云南）写出一个大于2小于4的无理数： 。‎ ‎13．、、、π…（只要是大于小于无理数都可以）‎ ‎14．（2012•陕西）计算2cos45°-+= ．‎ ‎14．‎ ‎15．（2012•荆门）计算 ．‎ ‎15．-1‎ ‎16．（2012•沈阳）今年沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，则今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为 %（结果保留一位小数）．‎ ‎16．28.6‎ 解：∵沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，‎ ‎∴去年人均最低工资=900-200=700元，‎ ‎∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200 700 ≈0.286=28.6%．‎ 故答案为：28.6．‎ ‎17．（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：‎ 令 S=1+2+3+…+98+99+100 ①‎ S=100+99+98+…+3+2+1 ②‎ ‎①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050‎ 请类比以上做法，回答下列问题：‎ 若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= ．‎ ‎17．12‎ 解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，‎ 则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，‎ ‎①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，‎ 整理得，n2+2n-168=0，‎ 解得n1=12，n2=-14（舍去）．‎ 故答案为：12．‎ 三、解答题 ‎18．（2012•珠海）计算：．‎ ‎18．解：原式=2-1+1-2=0．‎ ‎19．（2012•株洲）计算：2-1+cos60°-|-3|．‎ ‎19．解：原式=．‎ ‎20．（2012•重庆）计算：．‎ ‎20．解：原式=2+1-5+1+9=8。 ‎