2015高考数学（理）（第七章 不等式、推理与证明）一轮过关测试题
第七章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若|a|>b，则a2>b2
C．若a>b，则a2>b2
D．若a>|b|，则a2>b2
3．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6 C．2 D．2
4．不等式y≥|x|表示的平面区域是( )
5．(2011·北京)如果x
n)都成立的是( )
A．|an－am|<
B．|an－am|>
C．|an－am|<
D．|an－am|>
9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则( )
A.＝G B.≤G C.>G D.0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________．
14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________，a＋b的取值范围是____________．
16．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1)．
18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)当0ax－5恒成立，求a的取值范围．
19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．
22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．
第七章 章末检测
1．A [∵x2＋x－6<0，∴－3＝G.]
10．D [∵M＝(－1)(－1)(－1)
＝··≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴M≥8.]
11．A [当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；
当x≠0时，a≥－＝－＝f(x)，
问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.
综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．]
12．B [x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·＝1＋＋＋2≥3＋2
＝3＋2，当且仅当＝时等号成立．]
13．－4,1
解析 由题意知，－1、4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.
14．1
解析 令b＝2x－y，则y＝2x－b，
如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，
当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.
15．[9，＋∞) [6，＋∞)
解析 ∵a＋b≥2，∴ab－3≥2.
解得，≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9，
a＋b＝ab－3≥6.
16.
解析 依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
17．解 ①当a>1时，有x－＋1≤－1，
∴x－＋2≤0，∴≤0.
∴≤0，∴x≤－3或01时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]；
当0ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以＝b，所以r＝－1.(5分)
(2)证明 由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·>.
(6分)
①当n＝1时，左式＝，右式＝.
左式>右式，所以结论成立，(7分)
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，
··…·>·
＝要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由均值不等式＝≥成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．(11分)
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．(12分)
