广东中考数学专题训练三代数与几何综合题动态压轴问题

广东中考数学专题训练三代数与几何综合题动态压轴问题

广东中考数学专题训练（三）：代数与几何综合题（动态压轴题）‎ 一、命题特点与方法分析 以考纲规定，“代数与几何综合题”为数学解答题（三）中出现的题型．一般出现在该题组的第3题（即试卷压轴第25题），近四年都是以简单几何图形的动态问题作背景，综合考察几何证明与代数计算问题．‎ 近四年考点概况：‎ 年份 考点 ‎2014‎ 菱形的性质、相似三角形、直角三角形的性质、二次函数 ‎2015‎ 三角函数、二次函数 ‎2016‎ 正方形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、二次函数 ‎2017‎ 矩形的性质、三角函数、等腰三角形的性质、相似三角形、勾股定理、二次函数 由此可见，近年来25题题型稳定，考察方式也比较接近．除了17年的25题较为灵活，几何部分的难度一般比24题要低，重点在于对数形结合的考察．前些年的25题对计算量要求较高（尤其是15年），近两年有所降低．‎ 本题第（1）问近3年都是送分题，用于拉高平均分，基本没有讨论价值，而其余两问基本采取以下命题形式：‎ ‎1．最值问题，基本是必考问题，如14年第（2）问，15年第（3）问，16年第（3）问，17年第（3）问②．此处的最值问题基本是通过二次函数关系式求得，所以一般会先要求推出关系式．一般而言这类题是面积最值问题，用字母表示出面积的做法，无外乎作高现和割补，而17年求面积的思路则有较高要求．‎ ‎2．特殊时刻，如14年第（1）（3）问，17年第（2）问．对特殊时刻的设问无外乎某图形成为等腰、直角和相似三角形或者某点落在边上等．这类问题一般分两类做法：一是重代数，抓住各边的等量关系，列出式子解方程；二是重几何，寻找该时刻的特殊几何意义（全等，相似和特殊角），利用几何推理得出结果．第一种做法计算量大，第二种做法则更重视几何推理，两种做法没有绝对的界限，一般两种都有涉猎．‎ ‎3．纯几何证明，如16年第（2）问，17年第（3）问①．要注重几何证明与接下来的设问的关系，类似于17年第（3）问，①中的结论用于②，降低难度，几何证明的结论很可能对接下来的解答有所帮助．‎ 此类问题有以下命题特点：‎ ‎1．对基本图形的考察，而且常常需要作辅助线来补全基本图形．例如13年“触礁问题”，14年相似求高，15年面积割补，17年“一线三等角”，这些基本图形大多出自课本且常见，像“一线三等角”，即便考过也应该加强，很可能改头换面再出现．‎ ‎2．结合几何证明在近年来，动态问题中的构图慢慢复杂，比起类似于13、15年的纯计算动态问题，类似于16、17年的几何意义比较丰富的动态问题更加受到重视．16、17年都是改编自经典的正方形证明问题，平时应该重视这类问题的改编题．‎ ‎3．基本出现分类讨论，而且常有提示．特别是16、17年都配有两个图作为提示，在解答时一定注意解答的方法是否在不同配图下都适用，必要时要写下“图（2）‎ 也是同理”．‎ 二、例题训练 ‎1．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为正方形，点A(0，2)．点D为OB边上一动点，连接AD，向上作DE⊥AD并在DE上取DE=AD交BC于点F，连接CD、CE和BE，设点D的坐标为(x，0)．‎ ‎ （1）填空：点C的坐标为____；‎ ‎ （2）设y=SCDE，求y关于x的关系式，并求y的最小值；‎ ‎ （3）是否存在这样的x值，使CBE为等腰三角形？若存在，求出对应的x值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．如图，RtABC和RtCDE全等（点B、C、E共线），∠B=∠E=90°，AB=CE=2cm，∠ACB=∠CDE=30°，连接CE，并取CE中点F．点M、N分别为BC、CD边上动点，分别用cm/s和2cm/s的速度以点B→C，点C→D的方向运动，连接FM、MN和FN，设运动的时间为t(s)(0≤t≤2)．‎ ‎ （1）填空：∠CAD =____°；‎ ‎ （2）设S=SFMN(cm2)，求S关于t的关系式，并求S的最大值；‎ ‎ （3）是否存在这样的t值，使FN与CD的夹角为75°？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(2，0)，点C(0，2)．点D为BC边上一动点，将COD沿OD对折成EOD，将点B沿点O和BA边上一点F的连线对折使其落在射线DE上的点G处．‎ ‎ （1）填空：∠ODF =____°；‎ ‎ （2）设点D(x，2)，点F(2，y)，求y关于x的关系式，并求出当x从0增大到2 时，点F的运动路程；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当点G落在x轴上时：‎ ‎ ①求证：CD=AG；‎ ‎ ②求出此时x的值．‎ 图（2）‎ 图（1）‎ ‎ ‎ ‎4．如图，在等腰三角形ABC中，BC=6cm，AB=2cm．点M、N分别从点B、C出发，分别用1cm/s、cm/s的速度在BA、CD边上运动到点A、B停止，以MN为斜边以如图所示方式在其右上方作等腰直角三角形MNO，设运动时间为t t(s)(0≤t≤2)．‎ ‎ （1）填空：∠BAC =____°；‎ ‎ （2）设S=SMNO(cm2)，求S关于t的关系式，并求S的最大值；‎ （3）是否存在这样的t值，使点O落在ABC的边上？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由．‎ 三、例题解析 答案：‎ ‎1．（1）(2，2)；‎ ‎（2）把CDE分割成CDF和CFE，分别作出CF边上的高，把面积的变化转化为CF长度的变化，再利用AOD∽DBF表示BF的长度；‎ ‎ y=-x+2=(x-1)2+；‎ ‎（3）①当CE=BE时，x=1；②当BC=BE时，x=；③当BC=CE时，x=2．‎ ‎【考点：正方形的性质、全等三角形、相似三角形、二次函数、等腰三角形】‎ ‎2．（1）45；‎ ‎ （2）连接FC，SFMN=SFCM+SFCN-SMCN，利用二次函数的性质求出S的最大值；‎ ‎ S=t2-t+3+，Smax=3+；‎ ‎ （3）用含t的式子表示FC的长；①当∠FND=75°，t=；②当∠FNC=75°，t=3-．‎ ‎ 【考点：全等三角形、三角函数、二次函数、解直角三角形】‎ ‎3．（1）90；‎ ‎ （2）利用相似求出关系式，路程分开y从2到最小值和从最小值到2两段；‎ ‎ y=-x+2=(x-)2+；运动路程长为3；‎ ‎ （3）①连接BG，四边形BGOD为平行四边形；②利用①和相似得出结论，此时x=．‎ ‎ 【考点：矩形的性质、相似三角形、平行四边形、二次函数】‎ ‎4．（1）120；‎ ‎ （2）把MNO的面积用MN2表示，而MN2用勾股定理求得；‎ ‎ S=(x-) 2+；‎ ‎ （3）①当落在AB边上，t=；②当落在BC边上，t=；‎ ‎③当落在AC边上，过点M、N向AC边做垂直，证出全等，t=．‎ ‎ 【考点：等腰三角形、三角函数、勾股定理、二次函数、全等三角形、解直角三角形】‎ 解析：主要的命题形式与例题对应：‎ ‎1．最值问题．‎ ‎ 【题1（2），题2（2），题3（2），题4（2）】‎ ‎2．特殊时刻．‎ ‎ 【题1（3），题2（3），题3（3），题4（3）】‎ ‎3．纯几何证明．‎ ‎ 【题1（2）过程，题3（3）①，题4（3）过程】‎